Salut,

on trouve 81/211. Un exemple de démonstration élémentaire : si ma première part fait 1 unité, la première part de ma femme fait 2/3, et celles de mes 3 morveux (2/3)^2, (2/3)^3, (2/3)^4. Puis on recommence selon les mêmes proportions, même si ce sont de bien plus petites parts : au final, les parts de chacun sont proportionnelles aux premières parts.  Il ne reste plus qu'à sommer le tout, et à inverser la somme.

Au fait, bienvenue, cela fait plaisir d'avoir un nouveau contributeur en énigmes

Je mange 1/3 du gateau, et j'en laisse 2/3. Tout les autre membres de la famille en font autant. Au bout d'un tour de table, je me retrouve donc avec 2^5/3^5.
J'en reprend un tiers (donc 1/3 + 2^5/3^5*1/3), et au bout d'un autre tour, il reste 2^10/3^10.

Au total, je mangerai la 1/3 fois la somme des (2/3)^5k, soit 1/3*1/(1-(2/3)^5)
On obtient au final 3^4/(3^5-2^5) = 81/211

hmmm, en supposant que le gâteau a été initialement coupé en 6 parts égales.

j'obtiens ... 22,865% environ...

1 / 6 + 1215 / 19602 (pour être précis)

détail du calcul.

soit M le mari, F sa femme, E, E et E les trois enfants, on a une répartition comme suite

M F E E E : 1/6, puis M & F : 1/18 chacun E & E : [latex]\frac{1}{18}.3^{-1}[/latex] E & M : [latex]\frac{1}{18}.3^{-2}[/latex] F, E : [latex]\frac{1}{18}.3^{-3}[/latex] E,E : [latex]\frac{1}{18}.3^{-4}[/latex]
puis on boucle : M & F : [latex]\frac{1}{18}.3^{-5}[/latex] ...

au final, la part de M est [latex]\frac{1}{6} + \frac{1}{18}.(1+3^{-2})\sum_{i=0}^{\infty} (3^{-5})^i[/latex]

Or on sait (enfin wikipedia sait) que la valeur d'une série géométrique [latex]\sum_{i=0}^{\infty} q^i[/latex] vaut [latex]\frac{1}{1-q}[/latex]. Donc ici [latex]\frac{1}{1-3^{-5}}[/latex] = [latex]\frac{3^5}{3^5-1}[/latex]

in fine, la part de gâteau consommée est [latex]\frac{1}{6} + \frac{1}{18}.(1+3^{-2}).(\frac{3^5}{3^5 - 1})[/latex] = [latex]\frac{1}{6} + \frac{1}{18}.\frac{10}{9}.(\frac{243}{242})[/latex] = [latex]\frac{1}{6} + \frac{5.243}{9.9.242}[/latex] = [latex]\frac{1}{6} + \frac{1215}{19602}[/latex]

Hmm, ou alors y'a une grosse astuce et j'ai cherché pour rien ?

Bravo Ebichu, Franky, Caduk et Nodgim, sur la méthode et le résultat.

Seb bon résultat. Bonne méthode aussi sans doute, vu la forme de la solution.

Migou, je me demande si tu ne pars pas sur 1/6 et non 1/3… Ton résultat est inférieur à 1/3, que je mange déjà au 1er tour. Quant à l’existence d’une grosse astuce, disons qu’il y a un raisonnement qui évite de ‘taper dans le dur’ niveau calcul. Ce que tu as fait, de façon élégante toutefois 😊