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 #1 - 06-05-2019 20:27:32

TOUFAU
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 44

c’esr du gâteau

Bien le bonsoir.

Beaucoup de problèmes de gâteaux sur ce site. Souvent sophistiqués. J’en propose un simple pour changer (pas vu à priori sur le site).

Nous dînons, avec ma femme et nos 3 enfants. Arrive le dessert. Beau gâteau. Rond. Simple. Mais à diviser en 5… Je précise tout de suite qu'on se fout de savoir comment (ce qui va sans doute en décevoir certains).

Encore affamé, je décide que la règle du tiers s’applique. Et me sers 1/3 du gâteau. Sans souci de savoir vivre, ni d’éducation. Ma femme s’empresse d’en faire de même, et prend 1/3 de ce qui reste. Suivi successivement de chaque enfant. Chacun prenant 1/3 du reste son tour venu.

Ayant entre temps fini ma part, je recommence selon la même règle. Suivi par le reste de la famille. Jusqu’à épuisement du gâteau (oui on arrive à couper de très petites parts. Et dans un temps diminuant géométriquement, comme la taille des parts. Je précise ça pour traiter les objections que je sens venir).

A la fin, quel taux du gâteau initial aurais-je mangé (et hop, un futur antérieur) ?



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 #2 - 06-05-2019 22:06:34

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 822

C’est du gteau

Salut,

on trouve 81/211. Un exemple de démonstration élémentaire : si ma première part fait 1 unité, la première part de ma femme fait 2/3, et celles de mes 3 morveux (2/3)^2, (2/3)^3, (2/3)^4. Puis on recommence selon les mêmes proportions, même si ce sont de bien plus petites parts : au final, les parts de chacun sont proportionnelles aux premières parts.  Il ne reste plus qu'à sommer le tout, et à inverser la somme.

Au fait, bienvenue, cela fait plaisir d'avoir un nouveau contributeur en énigmes smile

 #3 - 07-05-2019 07:41:28

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2931
Lieu: Luxembourg

c’est di gâteau

P = 2^0/3^1 + 2^5/3^6 + 2^10/3^11 + 2^15/3^16 + … + 2^(5n)/3^(5n+1)
=> P - 1/3 = P . (2/3)^5 => P = (1/3) / (1-(2/3)^5) => P = 81/211 validé
Merci pour ce petit divertissement

 #4 - 07-05-2019 09:53:10

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 300

C’est du gâtaeu

Je mange 1/3 du gateau, et j'en laisse 2/3. Tout les autre membres de la famille en font autant. Au bout d'un tour de table, je me retrouve donc avec 2^5/3^5.
J'en reprend un tiers (donc 1/3 + 2^5/3^5*1/3), et au bout d'un autre tour, il reste 2^10/3^10.

Au total, je mangerai la 1/3 fois la somme des (2/3)^5k, soit 1/3*1/(1-(2/3)^5)
On obtient au final 3^4/(3^5-2^5) = 81/211

 #5 - 07-05-2019 21:19:58

seb
Visiteur

C’esst du gâteau

quelque chose comme ça : 1/3*(1/(1-(2/3)⁵)) soit ~0,38

 #6 - 08-05-2019 02:08:48

Migou
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 57
Lieu: Ville 2/N près 2*i

c’esy du gâteau

hmmm, en supposant que le gâteau a été initialement coupé en 6 parts égales.

j'obtiens ... 22,865% environ...

1 / 6 + 1215 / 19602 (pour être précis)

détail du calcul.

soit M le mari, F sa femme, E, E et E les trois enfants, on a une répartition comme suite

M F E E E : 1/6, puis M & F : 1/18 chacun E & E : [latex]\frac{1}{18}.3^{-1}[/latex] E & M : [latex]\frac{1}{18}.3^{-2}[/latex] F, E : [latex]\frac{1}{18}.3^{-3}[/latex] E,E : [latex]\frac{1}{18}.3^{-4}[/latex]
puis on boucle : M & F : [latex]\frac{1}{18}.3^{-5}[/latex] ...

au final, la part de M est [latex]\frac{1}{6} + \frac{1}{18}.(1+3^{-2})\sum_{i=0}^{\infty} (3^{-5})^i[/latex]

Or on sait (enfin wikipedia sait) que la valeur d'une série géométrique [latex]\sum_{i=0}^{\infty} q^i[/latex] vaut [latex]\frac{1}{1-q}[/latex]. Donc ici [latex]\frac{1}{1-3^{-5}}[/latex] = [latex]\frac{3^5}{3^5-1}[/latex]

in fine, la part de gâteau consommée est [latex]\frac{1}{6} + \frac{1}{18}.(1+3^{-2}).(\frac{3^5}{3^5 - 1})[/latex] = [latex]\frac{1}{6} + \frac{1}{18}.\frac{10}{9}.(\frac{243}{242})[/latex] = [latex]\frac{1}{6} + \frac{5.243}{9.9.242}[/latex] = [latex]\frac{1}{6} + \frac{1215}{19602}[/latex]

Hmm, ou alors y'a une grosse astuce et j'ai cherché pour rien ?

 #7 - 08-05-2019 10:30:37

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3587

C’est du gâtau

Les parts restantes valent successivement (2/3) ^ n, n de 0 à l'inf.

Le premier qui se sert prend 1/3 des restes de (2/3) ^ 5n = (32/243) ^ n , dont le total vaut ( série bien connue) 243/211. 

Le premier qui se sert prendra donc le 1/3 de cette somme, soit 81/211 = 0,383....

 #8 - 08-05-2019 11:33:47

TOUFAU
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 44

C’est ddu gâteau

Bravo Ebichu, Franky, Caduk et Nodgim, sur la méthode et le résultat.

Seb bon résultat. Bonne méthode aussi sans doute, vu la forme de la solution.

Migou, je me demande si tu ne pars pas sur 1/6 et non 1/3… Ton résultat est inférieur à 1/3, que je mange déjà au 1er tour. Quant à l’existence d’une grosse astuce, disons qu’il y a un raisonnement qui évite de ‘taper dans le dur’ niveau calcul. Ce que tu as fait, de façon élégante toutefois 😊

 #9 - 08-05-2019 23:59:43

Migou
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 57
Lieu: Ville 2/N près 2*i

CC’est du gâteau

Aaaaah, je n'avais pas compris que chacun prenait un tiers de 2/3 restants.

J'étais parti du principe qu'au moment ou il ne reste plus qu'une part, celle-ci est redecoupée en trois. Les deux suivants prendront 1/3 chacun puis le troisieme convive decoupe le tiers restant en 3 pour faire des neuvièmes...

Je trouvais aussi que ca donnait qqc de compliqué mais bon. Et vive latex :-P

 

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