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 #1 - 27-10-2017 18:43:07

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4981

gâyeau 147

Encore une petite miniature pour se distraire smile

On a tranché le gâteau carré ( côté 15 cm ) de mon pâtissier de deux coupes droites avant qu'il ait pu poser sa petite feuille de menthe qui est aussi carrée ( côté 5 cm ) .

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-gateau147.png

Est-il assuré de pouvoir la poser sur une des parts sans qu'elle déborde ?

Amusez-vous bien smile

Vasimolo



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 #2 - 27-10-2017 21:02:07

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 240

gâteai 147

Bonjour, 
découpons le gâteau en 9 carrés.
Si l'une des coupes passe strictement par 5 carrés, alors le seul moyen pour que les 2 coupes passent par les 9 carrés est de faire la coupe de 5 en "escalier" et la coupe de 4 passant par les 4 derniers carrés.
On remarque alors que les deux coupes passent par le carré central. En plaçant un coin du carré au point d'intersection des coupes, et en orientant le carré dans une direction ou l'angle formé par les coupes est obtus, on case le carré à l'aise.

 #3 - 28-10-2017 09:32:55

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3228

Gâteauu 147

Salut Vasimolo.

ça passe toujours !

Dans le pire des cas : intersection des coupes au centre et angle des coupes à Pi/2, ça passe quand on fait tourner d'un 1/4 de tour. Donc ça passe à fortiori dans les autres cas. Tout ça parce que V2 < 3/2.

 #4 - 28-10-2017 10:23:26

Bastidol
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 41

gâtrau 147

Bonjour le Pâtissier.

Je n'ai pas trouvé de cas où c'est impossible.

il faut distinguer 2 cas. Soit les coupes se croisent ou non et chercher le cas pire où les 3 ou 4 morceaux sont identiques.

3 morceaux rectangulaires de 15x5 ou 4 triangulaires obtenus par 2 coupes diagonales.

dans ces 2 cas le carré touchera les bords.

Ce raisonnement est dicté par mon intuition je ne saurais faire une démonstration.

Cordialement

 #5 - 28-10-2017 12:23:57

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4981

Gteau 147

@Caduk : oui smile
@Nodgim : c'est la bonne réponse mais "le pire des cas" ne veut pas dire grand chose vu le nombre des paramètres à prendre en considération ( deux coupes parallèles à 5 cm des bords constituent aussi un cas limite ) .
@Bastidol : oui , intuitivement tu as la réponse , mais les coupes peuvent s'intersecter en dehors du gâteau : il faut trouver la bonne idée pour solutionner "proprement" le problème , il y en a une ( au moins ) .

Vasimolo

 #6 - 28-10-2017 16:12:09

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3228

Gâteu 147

On ne peut pas couper les 9 carrés élémentaires 5*5 qui composent le carré 15*15.

 #7 - 28-10-2017 16:55:40

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4981

Gâteeau 147

@Nodgim : si smile

 #8 - 29-10-2017 06:46:58

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3228

Gâteauu 147

Oui, en effet, on peut.
Mais du coup, cette config est très restrictive pour le placement des 2 lignes (intersection dans le carré du milieu, orientation entre tg 1 et tg 3) et résout pratiquement le problème.

 #9 - 29-10-2017 18:29:08

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4981

Gâeau 147

C'est l'idée Nodgim , mais ce n'est pas facile à expliquer proprement sans passer par des "il clair que , on voit bien que , ..."

Vasimolo

 #10 - 29-10-2017 21:34:57

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 494

Gâteau 47

Salut Vasimolo,

j'ai une idée pour démontrer qu'il peut le faire, mais il y a peut être plus simple.

On commence par quadriller le gâteau en 3x3 carrés de 5 cm de côté. On s'intéresse ensuite aux carrés à l'intérieur desquels les deux coupes vont passer : si l'un des 9 carrés est épargné, il suffit d'y placer la feuille de menthe, et le problème est résolu.

Or, il n'existe qu'une façon de n'épargner aucun des 9 carrés, c'est quand chacune des coupes recouvre 5 carrés formant un pentamino "Z" (les deux pentaminos s'obtenant l'un à partir de l'autre par une rotation de 90°).

Les deux coupes s'intersectent alors dans le carré central. Autour du point d'intersection I, les deux coupes forment deux angles obtus opposés. On trace la bissectrice de ces deux angles, elle coupe le bord du gâteau en A et B. Comme AB >= 3 > 2*racine(2), on en déduit que IA ou IB > racine(2). Mettons que ce soit IA, on peut alors placer la feuille de menthe avec un sommet en I, et une diagonale dans la direction de IA.

 #11 - 29-10-2017 22:09:40

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4981

Gâtea u147

C'est ça Ebichu , nous sommes plusieurs à avoir la même approche , je ne sais pas si on peut faire plus simple smile

Vasimolo

 #12 - 30-10-2017 08:54:50

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 212

Gâtau 147

Bonjour ,

Je dirais que dans le pire des cas le gateau est partagé en 4 parts égales d'aire : 56.25
La feuille de menthe d'aire : 25 tient dans un des 4 quarts de cercle de rayon 5V2 .
et d'aire 39.27

http://nsa39.casimages.com/img/2017/10/30/171030092011411148.png

 #13 - 30-10-2017 12:11:51

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4981

gâyeau 147

On se fait tellement souvent avoir avec le "pire des cas" sad

Il faut trouver d'autres arguments smile

Vasimolo

 #14 - 30-10-2017 16:40:58

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,710E+3

Gâtaeu 147

Faisons simple, mais détaillé :

1 ) Une droite ne peut traverser que deux carrés en coin au plus, deux carrés sur le côté au plus et le carré central, soit 5 des 9 carrés de 5x5.

Une des deux droites doit donc en couper 5 strictement, et l'autre, au moins 4.
Cela ne peut se faire que de deux façons.
La première solution est impossible, car la seconde droite ne peut pas couper les 4 autres carrés. L'un d'entre eux resterait libre pour lui superposer la feuille de menthe.

On est donc, après un peu trop de blabla pour une évidence, dans le second cas de figure :
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-g1471PNG.png

2 ) Une droite coupe donc strictement deux côtés opposés du carré central et l'autre coupe les deux autres. On peut prolonger ces segments jusqu'au carré suivant.


3 ) Si un trait vert est plus grand que 5, il permet de caser la feuille de menthe au bord.  Chacun des traits verts est donc plus petit que le côté du carré central.
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-g1474PNG.png

L'aire en bleu clair est donc plus petite que la demi-somme des côtés par la hauteur, soit 25/2. Pareil pour son pendant.
L'espèce d'hélice, qui englobe le carré central strictement serait plus petite que le carré central, ce qui est impossible. Un des traits verts est donc plus grand que 5, on peut loger la feuille de menthe.

 #15 - 30-10-2017 17:51:45

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4981

Gâteau 17

Bel effort pédagogique de Gwen smile

On a tous intuité que les deux lignes de coupe devaient passer par la case centrale et que l'angle obtus le plus éloigné des bords allait contenir la feuille de menthe .

Après il faut justifier proprement et c'est bien plus délicat smile

Merci à tous smile

Vasimolo

 

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