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 #1 - 30-07-2010 22:33:48

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

gateau 18 rectificatiob 2

Bon excuse moi vasimolo mais j'en propose une
Pour que ca soit plus facile je change les valeurs des diamètres

Mon patissier sur une génoise a posé 4 ronds de diamètre 2;4;6 et 12 cm.
J'ai remarqué qu'en tracant 3 droites les 4 ronds étaient tangents à ces droites. On note A, B et C les intersections des 3 droites
http://www.prise2tete.fr/upload/gabrielduflot-triangle.jpg


Quels sont les longeurs [AB]; [BC] et [AC]?


Spoiler : [Afficher le message] Le dessin n'est pas à l'échelle c'est juste une illustration



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 #2 - 30-07-2010 23:24:42

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 933

Gateau 18 rectification

Mes premiers calculs me donnent un périmètre du triangle égal à [latex]80 \frac{\sqrt(3)}3[/latex]. Ça me semble bizarre...


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #3 - 01-08-2010 00:47:04

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gateau 18 rectificayion 2

Je me suis peut être trompé mais j'aboutis à une erreur mad
[TeX]A=40 \sqrt{\frac{10}{17}[/latex] , [latex] p=\frac{431}{17}[/latex] or [latex]r=\frac Ap=\frac{680}{431}\sqrt{\frac{10}{17}}[/TeX]
Vasimolo

 #4 - 01-08-2010 20:13:02

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gateauu 18 rectification 2

Pour la nouvelle version , il ne s'agît pas de simplifier le problème mais de le rendre soluble smile

Peux-tu me donner la solution de la première ou de la deuxième version de ton problème ?

Vasimolo

 #5 - 01-08-2010 23:25:16

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Gateau 18 rectiffication 2

Le rectangle formé par les trois droites mesurent 3, 4 et 5cm

la connaissance des diametres des cercles exinscrits permet de definir une relation des cotes avec l'aire.
soit A aire du triangle, s demi perimetre et r(a), cercle exinscrit et tangent au cote a (ou BC)
r(a)= 2 A / ( -a+b+c)
r(b)= 2 A / (+a -b -c)
r(c)= 2 A / (+a+b -c)
la résolution de ces équations donnent a=3, b=4 et c=5cm cool

NB wink
Le diametre du cercle inscrit n'est pas necessaire a la resolution de cette enigme.
s= (a+b+c) /2
hors r(inscrit)=s A
donc
r(inscrit)=1/(1/r(a)+1/r(b)+1/r(c))
donc r(inscrit) doit etre 1cm quand les exinscrits ont 2, 3 et 6cm pour rayon.
http://www.prise2tete.fr/upload/franck9525-gato18.png
en magenta les bissectrices interieures, en bleu les bissectrices exterieures reliant les centres des exinscrits.


The proof of the pudding is in the eating.

 #6 - 01-08-2010 23:38:23

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 933

Gateau 18 rectiification 2

Avec les nouvelles valeurs, les calculs sont plus engageants cool
Avec les formules donnant le rayon d'un cercle inscrit ou exinscrit, je trouve un demi-périmètre de 6 cm. Les côtés mesurent 3 cm, 4 cm et 5 cm ... ce sont les dimensions d'un fameux triangle rectangle.
D'une version à l'autre, la génoise a sérieusement rétréci lol

Pour vérification, ce triangle a une aire [latex]S[/latex] valant 6 cm².

Pour le cercle inscrit : [latex]r=\frac{2S}{a+b+c}=\frac{12}{12}=1[/latex]

Pour les exinscrits : [latex]r_A=\frac{2S}{-a+b+c}=\frac{12}{6}=2[/latex]

puis :[latex]r_B=\frac{2S}{a-b+c}=\frac{12}{4}=3[/latex]

et enfin : [latex]r_C=\frac{2S}{a+b-c}=\frac{12}{2}=6[/latex]


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #7 - 02-08-2010 14:33:57

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

Gatea 18 rectification 2

Bien, en utilisant les formules des rayons du cercle inscrit et des trois cercles exinscrit d'un triangle (dispo ici), ainsi que la formule de Héron pour calculer l'aire d'un triangle, j'ai réussi à monter un système d'équations tout chelou hmm
-3a + b + c  =  0
a - 2b + c  =  0
5a + 5b - 7c  =  0

Je vous passe les détails, mais j'ai fini, avec Excel, et ce système alakon, à déterminer une solution :
Ca fonctionne très bien avec le triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5.

Quand à savoir si c'est l'unique solution....... neutral

Si j'arrive d'ici ce soir à faire quelque chose de propre, j'éditerai mon message.

PS : mon dieu, je suis tout rouillé, ça fout les j'tons lol


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #8 - 02-08-2010 22:42:58

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 933

Gateau 1 rectification 2

C'est la seule solution. En utilisant les formules ici : http://mathafou.free.fr/themes/kincircle.html on aboutit d'abord à p^4=1296 où p est le demi-périmètre.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #9 - 03-08-2010 23:27:28

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

gateay 18 rectification 2

et oui c'est la seule solution merci a ceux qui ont bien repondu

 #10 - 03-08-2010 23:40:44

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

Gateau 1 8rectification 2

Merci à toi !
C'était un beau gâteau smile


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.
 

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