Je me suis peut être trompé mais j'aboutis à une erreur
$$A=40 \sqrt{\frac{10}{17}[/latex] , [latex] p=\frac{431}{17}[/latex] or [latex]r=\frac Ap=\frac{680}{431}\sqrt{\frac{10}{17}}$$
Vasimolo

Le rectangle formé par les trois droites mesurent 3, 4 et 5cm

la connaissance des diametres des cercles exinscrits permet de definir une relation des cotes avec l'aire.
soit A aire du triangle, s demi perimetre et r(a), cercle exinscrit et tangent au cote a (ou BC)
r(a)= 2 A / ( -a+b+c)
r(b)= 2 A / (+a -b -c)
r(c)= 2 A / (+a+b -c)
la résolution de ces équations donnent a=3, b=4 et c=5cm

NB
Le diametre du cercle inscrit n'est pas necessaire a la resolution de cette enigme.
s= (a+b+c) /2
hors r(inscrit)=s A
donc
r(inscrit)=1/(1/r(a)+1/r(b)+1/r(c))
donc r(inscrit) doit etre 1cm quand les exinscrits ont 2, 3 et 6cm pour rayon.

en magenta les bissectrices interieures, en bleu les bissectrices exterieures reliant les centres des exinscrits.

Bien, en utilisant les formules des rayons du cercle inscrit et des trois cercles exinscrit d'un triangle (dispo ici), ainsi que la formule de Héron pour calculer l'aire d'un triangle, j'ai réussi à monter un système d'équations tout chelou
-3a + b + c  =  0
a - 2b + c  =  0
5a + 5b - 7c  =  0

Je vous passe les détails, mais j'ai fini, avec Excel, et ce système alakon, à déterminer une solution :
Ca fonctionne très bien avec le triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5.

Quand à savoir si c'est l'unique solution.......

Si j'arrive d'ici ce soir à faire quelque chose de propre, j'éditerai mon message.

PS : mon dieu, je suis tout rouillé, ça fout les j'tons

et oui c'est la seule solution merci a ceux qui ont bien repondu