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 #1 - 30-07-2010 22:33:48

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

gzteau 18 rectification 2

Bon excuse moi vasimolo mais j'en propose une
Pour que ca soit plus facile je change les valeurs des diamètres

Mon patissier sur une génoise a posé 4 ronds de diamètre 2;4;6 et 12 cm.
J'ai remarqué qu'en tracant 3 droites les 4 ronds étaient tangents à ces droites. On note A, B et C les intersections des 3 droites
http://www.prise2tete.fr/upload/gabrielduflot-triangle.jpg


Quels sont les longeurs [AB]; [BC] et [AC]?


Spoiler : [Afficher le message] Le dessin n'est pas à l'échelle c'est juste une illustration



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 #2 - 30-07-2010 23:24:42

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 947

gateau 18 recrification 2

Mes premiers calculs me donnent un périmètre du triangle égal à [latex]80 \frac{\sqrt(3)}3[/latex]. Ça me semble bizarre...


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #3 - 01-08-2010 00:47:04

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4785

gateau 18 rextification 2

Je me suis peut être trompé mais j'aboutis à une erreur mad
[TeX]A=40 \sqrt{\frac{10}{17}[/latex] , [latex] p=\frac{431}{17}[/latex] or [latex]r=\frac Ap=\frac{680}{431}\sqrt{\frac{10}{17}}[/TeX]
Vasimolo

 #4 - 01-08-2010 20:13:02

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4785

Gateau 18 reectification 2

Pour la nouvelle version , il ne s'agît pas de simplifier le problème mais de le rendre soluble smile

Peux-tu me donner la solution de la première ou de la deuxième version de ton problème ?

Vasimolo

 #5 - 01-08-2010 23:25:16

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1927
Lieu: UK

Gateau 18 rectificatino 2

Le rectangle formé par les trois droites mesurent 3, 4 et 5cm

la connaissance des diametres des cercles exinscrits permet de definir une relation des cotes avec l'aire.
soit A aire du triangle, s demi perimetre et r(a), cercle exinscrit et tangent au cote a (ou BC)
r(a)= 2 A / ( -a+b+c)
r(b)= 2 A / (+a -b -c)
r(c)= 2 A / (+a+b -c)
la résolution de ces équations donnent a=3, b=4 et c=5cm cool

NB wink
Le diametre du cercle inscrit n'est pas necessaire a la resolution de cette enigme.
s= (a+b+c) /2
hors r(inscrit)=s A
donc
r(inscrit)=1/(1/r(a)+1/r(b)+1/r(c))
donc r(inscrit) doit etre 1cm quand les exinscrits ont 2, 3 et 6cm pour rayon.
http://www.prise2tete.fr/upload/franck9525-gato18.png
en magenta les bissectrices interieures, en bleu les bissectrices exterieures reliant les centres des exinscrits.


The proof of the pudding is in the eating.

 #6 - 01-08-2010 23:38:23

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 947

Gateau 8 rectification 2

Avec les nouvelles valeurs, les calculs sont plus engageants cool
Avec les formules donnant le rayon d'un cercle inscrit ou exinscrit, je trouve un demi-périmètre de 6 cm. Les côtés mesurent 3 cm, 4 cm et 5 cm ... ce sont les dimensions d'un fameux triangle rectangle.
D'une version à l'autre, la génoise a sérieusement rétréci lol

Pour vérification, ce triangle a une aire [latex]S[/latex] valant 6 cm².

Pour le cercle inscrit : [latex]r=\frac{2S}{a+b+c}=\frac{12}{12}=1[/latex]

Pour les exinscrits : [latex]r_A=\frac{2S}{-a+b+c}=\frac{12}{6}=2[/latex]

puis :[latex]r_B=\frac{2S}{a-b+c}=\frac{12}{4}=3[/latex]

et enfin : [latex]r_C=\frac{2S}{a+b-c}=\frac{12}{2}=6[/latex]


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #7 - 02-08-2010 14:33:57

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

Gateau 18 rectification

Bien, en utilisant les formules des rayons du cercle inscrit et des trois cercles exinscrit d'un triangle (dispo ici), ainsi que la formule de Héron pour calculer l'aire d'un triangle, j'ai réussi à monter un système d'équations tout chelou hmm
-3a + b + c  =  0
a - 2b + c  =  0
5a + 5b - 7c  =  0

Je vous passe les détails, mais j'ai fini, avec Excel, et ce système alakon, à déterminer une solution :
Ca fonctionne très bien avec le triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5.

Quand à savoir si c'est l'unique solution....... neutral

Si j'arrive d'ici ce soir à faire quelque chose de propre, j'éditerai mon message.

PS : mon dieu, je suis tout rouillé, ça fout les j'tons lol


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #8 - 02-08-2010 22:42:58

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 947

Gateu 18 rectification 2

C'est la seule solution. En utilisant les formules ici : http://mathafou.free.fr/themes/kincircle.html on aboutit d'abord à p^4=1296 où p est le demi-périmètre.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #9 - 03-08-2010 23:27:28

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Gataeu 18 rectification 2

et oui c'est la seule solution merci a ceux qui ont bien repondu

 #10 - 03-08-2010 23:40:44

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

gateai 18 rectification 2

Merci à toi !
C'était un beau gâteau smile


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.
 

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