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 #1 - 23-06-2010 19:38:03

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4883

Gâeau 9

La 48 est finie , ça s'arrose avec un gâteau ... petit saut chez le pâtissier yikes

J'ai à peine franchi la porte qu'il me saute dessus en exhibant son nouveau gâteau . Le nappage illustre un pré découpage avec des parts de deux tailles différentes . Il y a un nombre pair de parts de chaque sorte et elles sont disposées complètement au hasard .

http://img684.imageshack.us/img684/2962/gateau9.jpg

Fervent adepte de l'asymétrie il est particulièrement déçu de pouvoir couper son gâteau en deux morceaux contenant exactement le même nombre de parts de chaque sorte .

Demain je change de pâtissier mais en attendant j'ai promis de l'aider une dernière fois . Il faut trouver un gâteau avec deux types de morceaux en nombre pair mais impossible à couper en deux parties égales en surface et en nombre de parts .

Est-ce possible ? A l'aide smile

Vasimolo



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 #2 - 23-06-2010 19:46:09

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Gâtteau 9

C'est horrible.

Instinctivement, je suis sûr à 100% qu'on pourra toujours découper un gâteau de ce genre en deux moitiés rigoureusement identiques.

Mathématiquement, pas d'idée pour le démontrer.

C'est horrible.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #3 - 23-06-2010 21:57:03

McFlambi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 144

gâteai 9

Si je note 0 et 1 les parts, et que je fais le tour en partant d'un bord de part, on a une sequence de parts du type :
00101001110100

On découpe au milieu :
0010100 - 1110100

et on fait la somme des 1 :
2 - 4

Si les sommes sont différentes (comme dans l'exemple), on décale la séquence dans un sens (on prend le premier chiffre et on le met en dernier par exemple, ca revient à partir du bord d'une autre part juste à côté), jusqu'à placer le nouveau milieu à la fin de la séquence de départ, et on arrive à la situation inverse :
4 - 2

Comme ces sommes ne peuvent varier que de 1 pour un décalage, il y a un moment ou l'on avait autant de 1 de part et d'autres :
3 - 3

Donc, si on a autant de 1 de chaque coté, comme on coupe au milieu (de la séquence), c'est qu'il y a aussi autant de 0 ! Et donc autant de parts de chaque coté.

Pauvre patissier !

 #4 - 24-06-2010 01:48:54

15129229518
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 17

gâreau 9

quatre 1/8 d'un côté, et 6/12 de l'autre car 4/8 vaut 1/2, et 6/12 valent 1/2, total 1/2+1/2=1... gâteaux entier. non?

 #5 - 24-06-2010 12:57:08

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

Gtâeau 9

Tu vas encore plus galérer que pour l'énigme 48 pour réaliser le nappage du pâtissier ^^.


Soit 2n le nombre de petites parts et soit 2N le nombre de grandes parts. Le gâteau est donc découpé en 2(n+N) parts.

Je choisis arbitrairement une part du gâteau. Je numérote les parts de 1 à 2(n+N) à partir de cette part et suivant le sens trigo par ex.

Je compte le nombre de petites parts parmi les parts de 1 à (n+N) si il y en a exactement n alors j'ai un découpage en 2 partie égale en surface et nombre de parts.

Sinon il y en a strictement moins que n mais strictement plus dans les parts (n+N+1) à 2(n+N)  ou inversement.

Si maintenant je considère les (n+N) parts à partir de la part 2, alors le nombre de petites parts change au maximum de 1 part rapport au cas précédent ou nous partions de la part 1 car il y a au pire un échange de type de part.

En répétant cette étape élémentaire nous allons partir d'un partage où nous avons strictement moins de n petites parts à un partage ou nous en avons  strictement plus que n en ne changeant ce nombre qu'au plus de 1.

Nous allons donc forcément passer part un partage de (n+N) parts successives dont n sont des petites c'est à dire un partage égal en surface et en nombre de parts.

 #6 - 26-06-2010 19:51:25

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4883

gâreau 9

Bonnes réponses de Mc Flambi et Nicouj , deux petits indices pour les autres :

Indice 1 : Spoiler : [Afficher le message] Prendre le gâteau du patissier et faire un partage en deux morceaux contenant chacun la moitié des parts .

Indice 2 : Spoiler : [Afficher le message] Si le partage n'est pas équitable , faire passer la dernière part de la première "moitié" sur la deuxième et de même en changeant le rôle des "moitiés" . 

Vasimolo

 #7 - 28-06-2010 23:54:45

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4883

âteau 9

Encore une fois peu de réponses mais la qualité remplace la quantité smile

C'est vrai qu'il faut être un peu tordu pour se poser ce type de questions et encore plus pour y répondre

Je propose une solution qui vient en complément de celles qui ont déjà été proposées .

On peut imaginer que l'on représente les différentes parts du gâteau par des morceaux de tailles égales sur un segment en partant d'une part quelconque choisie au hasard . Les parts de tailles différentes sont représentées par des couleurs différentes ( rouges ou bleues ) .

http://img94.imageshack.us/img94/8352/solutiono.jpg

On coupe le segment au milieu , si les deux morceaux sont équilibrés en couleur c'est fini . Sinon un morceau contient davantage de parts d'une couleur , le deuxième davantage de parts de l'autre et en déplaçant le curseur de parts en parts comme indiqué sur le schéma on passe de partie gauche à la partie droite . Chaque déplacement incrémente ou décrémente le nombre de parts de chaque couleur d'au plus un , on passera forcément par un équilibre des parts rouges et/ou bleues .

Le dessin est sûrement plus explicite que mes explications tongue

Encore merci aux participants smile

Vasimolo

 

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