Réponse mathématique

h, les hommes, f les femmes et e les enfants.
On a  h+ f+e= 100 (effectifs)
       5h+4f+e = 200 (salaires)

D'où 4h+3f = 100.

On appelle h1 les hommes célibataires.
Une femme célibataire ne peut pas travailler, d'une part, et on privilégie les familles,d'autre part, donc toutes les femmes mariées travaillent.

On a alors h = f + h1
avec h1<f
Il vient 4h1+7f = 100 avec h1<f.
Une seule solution h1=4 f = 14.
Donc il y a 16 hommes, 12 femmes et 72 enfants.

Réponse sociologique

S'il y a autant d'hommes que de femmes (vraisemblable), 75% sont mariés.
La parité salariale est dans la réalité actuelle.
Les couples mariés ont six enfants en moyenne (en âge de travailler) et les deux parents travaillent.
Les femmes célibataires ne peuvent pas travailler.
On met vite les enfants au turbin.

A la génération d'après, les enfants forment 54 couples qui ont 324 enfants, il y a 9 hommes et 9 femmes célibataires.
Tout ça avec 24 grands-parents et 4 papys sans enfants, peut-être pas encore à la retraite et 4 mamys sans enfants.

L'entreprise c'est Roger Rabbit, Inc & daughters?

Bon, après avoir tâtonné sur excel, je trouve une unique solution
Spoiler : [Afficher le message] 16 hommes, 12 femmes et 72 enfants
16+12+72 = 100
16*50 + 12*40 + 72*10 = 2000
12 > 16/2 et 12<16


Mais ça se passe dans quel pays ton histoire ? Et est-ce que l'inspection du travail est au courant ?...

Spoiler : [Afficher le message] Posons x[i] le nombre de familles de i membres qui travaillent dans cette entreprise.
On a par exemple x[1] le nombre d'hommes célibataires, x[2] les couples, x[3] les couples avec un enfant etc...

Puisque 100 personnes y travaillent, on a somme(i>=1) i*x[i] = 100
Puisque le patron paye 2000 euros, on a 50x[1] + 90 x[2] + 100 x[3] + .... = 2000, qu'on va plutot écrire
50x[1] + somme (i>=2) ((70 + 10i)*x[i]) = 2000

somme(i>=1) i*x[i] = 100
donc somme(i>=1) 20*i*x[i] = 2000
et du coup 30x[1] + somme (i>=2) ((70-10i)*x[i]) = 0

on divise par 10:
3x[1] + somme (i>=2) ((7-i)*x[i]) = 0

Ensuite, petite astuce on va sortir le terme i=8 de la somme, on obtient:
3x[1] + somme (i>=2, i<>8) ((7-i)*x[i]) - x[8] = 0
3x[1] + somme (i>=2, i<>8) ((7-i)*x[i]) = x[8]

Du coup, notre somme du départ, qui était:
somme(i>=1) i*x[i] = 100
devient:
somme(i>=1, i<>8) i*x[i] + 8x[8] = 100
somme(i>=1, i<>8) i*x[i] +8*(3x[1] + somme (i>=2, i<>8) ((7-i)*x[i]) = 100
25x[1] + somme(i>=2, i<>8) i*x[i] + somme (i>=2, i<>8) (8*(7-i)*x[i]) = 100

On regroupe les deux sommes:
25x[1] + somme (i>=2, i<>8) ((8*(7-i)+i)*x[i]) = 100
25x[1] + somme (i>=2, i<>8) (56-8i+i)*x[i] = 100
25x[1] + somme (i>=2, i<>8) (56-7i)*x[i] = 100
25x[1] + 7*somme (i>=2, i<>8) (8-i)*x[i] = 100

Là, on comprend qu'il faut pour vérifier cette équation que 25x[1] % 7 = 100 % 7
Autrement dit, x[1] % 7 = 4, donc x[1] = 7k+4
Donc:
100 + 7*(25k + somme (i>=2, i<>8) (8-i)*x[i]) = 100
25k + somme (i>=2, i<>8) (8-i)*x[i]) = 0

Puisque la moitié des hommes au plus sont célibataires, on sait que pour chaque célibataire qui coute 50, on a un couple qui coute 90.
Donc pour ne pas dépasser un total de 2000, il faut prendre k=0 ou 1
Or, pour k=1, on aurait 11 célébataires, donc au moins 11 couples en plus, soit au moins 1540 euros de dépensés, soit au plus 46 enfants. On ne peut donc pas atteindre 100 personnes
Reste donc k=0: on a donc 4 hommes célibataires. La grosse somme est alors nulle, on a
somme (i>=2, i<>8) (8-i)*x[i]) = 0
somme (2<=i<=7) (8-i)x[i] = somme (9<=i) (i-8)x[i]
De cette égalité, on tire un ensemble de solutions par exemple:
4 célibataires, 11 couples sans enfant et 1 couple avec 72 enfants
4 célibataires, 10 couples sans enfant, 1 couple avec 1 enfant et 1 couple avec 71 enfants
4 célibataires, 10 couples sans enfant, 1 couple avec 2 enfants et 1 couple avec 70 enfants
...
4 célibataires

Pour répondre à la question de base en tout cas, il y a (quelle que soit la solution retenue)
16 hommes dont 4 célibataires, 12 femmes et 72 enfants; soit 4 célibataires et 12 familles 

Il devrait s'agir de : 19 hommes + 8 femmes et 73 enfants.

On notera que 22 Hommes + 4 Femmes + 74 Enfants marchent aussi
On écartera bien sûr 25 hommes avec 75 enfants ...

72 enfants
16 hommes
12 femmes

16 hommes 12 femmes et donc 72 enfants !

Je ne sais pas ce qu'en pensent les autres mais la manière bulldozer (terriblement efficace) de Scarta me bluffe à chaque fois!

Voilà ma réponse :
Soit X le nombre d'hommes, Y le nombre de femmes et Z le nombre d'enfants.
On a X + Y + Z = 100
Et 50X + 40Y + 10Z = 2000

On obtient un système de 2 équations à 3 inconnues que l'on peut exprimer en fonction de Z ainsi :

X = 3Z - 200
Y = 300 - 4Z

La dernière donnée importante est que si une femme travaille alors son mari travaille et au moins la moitié des hommes travaillent avec leur femme. Donc on a une nouvelle inéquation : X<Y<X/2.

Prenons Y = X,
3Z - 200 = 300 - 4Z
7Z = 500
Z = 500/7 soit environ 71.42 enfants

Prenons Y = X/2,
(3Z - 200)/2 = 300 - 4Z
600 - 8Z = 3Z - 200
11Z = 800
Z = 800/11 soit environ 72.73 enfants

Comme le nombre d'enfants est un entier naturel Z=72.
On en déduit que X=16 et Y=12

Ainsi il y a 16 hommes, 12 femmes et 72 enfants qui travaillent. (4 hommes seuls et 12 couples/familles)

Cette solution est unique.

JustineF a écrit:

dhrm77 a écrit:

Je trouve interressant que (presque) tout le monde ait trouvé au moins une réponse, mais personne ne les a toutes trouvé...
Les solutions sont donc:
16 hommes, 12 femmes et 72 enfants   ( ce que la plupart ont trouvé )
19 hommes, 8 femmes et 73 enfants. (d'apres Sauny)
22 Hommes, 4 Femmes et 74 Enfants (d'apres Sauny)
25 hommes, 0 femmes et 75 enfants (que Sauny a écarté, mais qui marche quand même, les femmes ne sont pas obligées de travailler)

Sauny ne prend pas en compte tous les éléments de l'énoncé, qui précise que la moitié des hommes sont marié (et donc leurs femmes présentes dans l'entreprise). Dans la mesure où on parle d'un employeur et non d'un foyer d'hébergement, les femmes qui sont là vont travailler.
Le nombre de femmes dans la solution doit donc être supérieur à la moitié du nombre d'hommes. Ce qui ne laisse plus qu'une seule solution

Je suis aussi partisant de solutions uniques, mais j'ai bien relu l'énoncé.
Effectivement au moins la moitié des hommes sont mariés, mais, si "Il n'autorise aucune femme à travailler sans son mari", ca signifie qu'il peut y avoir des femmes  non-mariées qui ne peuvent pas travailler, donc il n'y a aucune raison pour que des femmes mariés ne puisse pas rester egalement à la maison. il n'est pas ecrit qu'il n'autorise pas les hommes mariés à travailler sans leur femme. Donc une fois de plus, je proteste, dans l'etat actuel de l'énoncé, il y a 4 solutions.

Promis, je ferai un énoncé plus clair la prochaine fois, mais je dois bien avouer que je n'avais pas envisagé cette possibilité ^^