Enigmes

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 #1 - 27-09-2009 19:56:46

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

PPuissances de 2

Un petit problème amusant mais demandant un peu de connaissances en arithmétique ( disons un bon niveau TS ) .

On se donne un entier quelconque par exemple 1730068495714 smile

Montrer qu'il existe une puissance de 2 dont les premiers chiffres ( en écriture décimale ) sont 1730068495714 .

Amusez-vous bien cool

Vasimolo



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 #2 - 27-09-2009 20:36:00

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Puissances de 22

"Un bon niveau TS" ?.. J'adore ta façon de considérer n'importe quel problème de maths comme simple... mad

(Je te hais wink)


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #3 - 28-09-2009 00:08:38

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2125

Pussances de 2

On va poser N= 1730068495714 et l'appeler comme ça pour la suite, histoire qu'il arrête de nous impressionner.

On cherche n tel que:

2^n = N*10^p + b

J'ai fini maths élem il y a très longtemps big_smile.
Mais Dirichlet et le principe des tiroirs déjà utilisé doit venir à mon secours. smile

La flemme de rédiger, un sherpa de P2T le fera à ma place.  lol


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #4 - 28-09-2009 19:50:36

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Puissances d e2

Plus généralement il faut montrer que pour tout n entier naturel il existe k;m et b tel  que [latex]n \times 10^m=2^k-b[/latex]

 #5 - 29-09-2009 00:55:42

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2991
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Puissances de

Considerant que :
multiplier un nombre par 2^10 = 1024, augmente la mantisse de ce nombre de 2.4%
multiplier un nombre par 2^103 = 1.0141204x10^31, augmente la mantisse de ce nombre de 1.4%
multiplier un nombre par 2^2136 = 1.0001628941376x10^643, augmente la mantisse de ce nombre de 0.01628%
et ainsi de suite.
On part d'un nombre proche de 173...
par exemple 16 = 2^4
on multiplie par 2^30:
2^34=17179869184
on multiplie par 2^196:
2^230=1.725436586697640*10^69
on continue en s'approchant de plus en plus de 17300684...:
2^21105 = 1.73004933678092711 *10^6353
En utilisant des puissances de 2 dont la mantisse est de plus en plus proche de 1.00000, on peut raffiner ce nombre de plus en plus pres du nombre a obtenir.

Voila, pas de demonstration mathematique... mais intuitivement on y arrive.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #6 - 30-09-2009 09:05:05

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1432

Puissances e 2

La réponse est vraiment censée être de niveau TS ???

La démo que j'ai trouvé, c'est de démontrer l'irrationnalité de log(2), donc la densité de {n.log(2)-k avec n entier et k entier relatif} dans [0,1[, et ensuite soit un entier N et un reel epsilon dans [0,1[, (N+epsilon)*10^k = 2^n ssi log(N+epsilon) = n.log(2)-k, etc... mais si on fait ça en TS maintenant roll
J'ai hate de voir à coté de quelle solution je suis passé big_smile

 #7 - 30-09-2009 22:34:31

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

puossances de 2

En fait le niveau que je donnais était un minimum vital smile

En terminale je connaissais le résultat suivant : "Les sous-groupes additifs de [latex]\mathbb{R}[/latex] sont monogènes ou denses dans[latex] \mathbb{R}[/latex]" . Mais je sais aussi qu'au lycée , aujourd'hui , on étudie moins les structures algébriques hmm

Vasimolo

 #8 - 30-09-2009 22:46:01

kosmogol
Banni
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Puissancs de 2

En terminale je connaissais le résultat suivant : "Les sous-groupes additifs de R sont monogènes ou denses dans R"

"C'est pas faux"


http://enigmusique.blogspot.com/

 #9 - 30-09-2009 22:54:28

Vasimolo
Le pâtissier
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puissances fe 2

kosmogol a écrit:

"C'est pas faux"

C'est bizarre ,  je sens poindre de l'ironie smile

Il y a quelque temps les structures de groupes , espaces vectoriels , anneaux , corps ... était étudiés dès la seconde ( et même un peu au collège ) .

Relations d'ordre et d'équivalence en 5ème , ça fait rêver ( ou pleurer ) hmm

Vasimolo

 #10 - 30-09-2009 23:29:18

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
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PPuissances de 2

Et pourtant, bien que plus jeune que papiauche (facile lol) je suis un vétéran ici !


http://enigmusique.blogspot.com/

 #11 - 01-10-2009 03:22:38

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Puissance de 2

Vasimolo a écrit:

En terminale je connaissais le résultat suivant : "Les sous-groupes additifs de [latex]\mathbb{R}[/latex] sont monogènes ou denses dans[latex] \mathbb{R}[/latex]"

Ta terminale doit dater (du coup il aurait fallut dire un niveau de Terminale C plutot que S, ça aurait été plus juste :p)... Je connais (connaissais) la démo de ce résultat, c'est un sujet de kholle sur lequel j'étais tombé en fin de ma sup

 #12 - 01-10-2009 11:41:28

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Puissances de

Vasimolo et dhrm77 vont bientôt monter un club Super-Mensa des surdoués de P2T. Tous ceux qui n'ont jamais :
- entendu le mot "matrice" avant le collège
- résolu l'équation de la chaleur en 3D avec un schéma de Runge-Kutta d'ordre 3 entre deux heures de cours de maths en première sur leur TI-92
- redémontré tout seul le théorème d'incomplétude de Gödel
- résolu un des 23 problèmes de Hilbert
(liste non exhaustive)
se verront refuser l'adhésion.

On pourra quand même être invités au cocktail d'inauguration ? lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #13 - 01-10-2009 13:30:28

gabrielduflot
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Enigmes résolues : 34
Messages : 609

puissances se 2

c'est dans les annees 60 que l'on faisait ce type de raisonnement au lycée

 #14 - 01-10-2009 17:03:18

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Puissances de

Je donne quand même ma démo smile

[latex]G=\{m.\ln(2)+n.\ln(10)\ \text{ avec } (m;n)\in \mathbb{Z}^2\}[/latex] est un sous groupe de [latex](\mathbb{R};+)[/latex] . Si [latex]G[/latex] est engendré par un réel [latex]x[/latex] alors alors il existe deux entiers [latex]p[/latex] et [latex]q[/latex] tels que [latex]\ln(2)=p.x[/latex] et [latex]\ln(10)=q.x[/latex] donc [latex]q.\ln(2)=p.\ln(10)[/latex] c'est à dire [latex]10^p=2^q[/latex] ce qui entraîne que [latex]p=q=0[/latex] qui est impossible . [latex]G[/latex] n'est pas monogène , il est donc dense dans [latex]\mathbb{R}[/latex] .

Appelons [latex]N[/latex] le grand entier qui doit être le début d'une puissance de 2 . On cherche alors deux entiers naturels [latex]m[/latex] et [latex]n[/latex] tels que : [latex]N.10^n\leq 2^m < (N+1).10^n[/latex] ce qui revient à [latex]\ln(N)\leq m.\ln(2)-n.\ln(10)<\ln(N+1) [/latex] . Il suffit donc de choisir un élément[latex] z=m.\ln(2)-n.\ln(10)[/latex] entre [latex]\ln(N)[/latex] et [latex]\ln(N+1)[/latex] et [latex]2^m[/latex] convient .

C'est en effet plus "sup" que "term" , mais bon , je voulais surtout prévenir les plus jeunes que l'exercice demandait "un peu" de bagage et qu'il n'était pas indispensable qu'ils passent des heures à sécher dessus big_smile

Vasimolo

 #15 - 01-10-2009 21:38:22

kosmogol
Banni
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Puuissances de 2

MthS-MlndN a écrit:

Vasimolo et dhrm77 vont bientôt monter un club Super-Mensa des surdoués de P2T. Tous ceux qui n'ont jamais :
- entendu le mot "matrice" avant le collège
- résolu l'équation de la chaleur en 3D avec un schéma de Runge-Kutta d'ordre 3 entre deux heures de cours de maths en première sur leur TI-92
- redémontré tout seul le théorème d'incomplétude de Gödel
- résolu un des 23 problèmes de Hilbert
(liste non exhaustive)
se verront refuser l'adhésion.

On pourra quand même être invités au cocktail d'inauguration ? lol

T'inquiètes pas Mathias, nous irons réconforter les infortunées recalées lol


http://enigmusique.blogspot.com/

 #16 - 02-10-2009 11:40:38

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
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Puissancees de 2

J'en re-recalerai volontiers quelques-unes roll


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
 

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