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 #1 - 02-05-2011 12:45:00

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

On fait la ccourse ?

On vous demande de participer à la conception d'un anneau de vitesse pour voitures de course. Cet anneau de vitesse est constitué de deux lignes droites d'une longueur de 500 m et de deux virages semi-circulaires d'un rayon intérieur égal à 40 m. La piste a une largeur constante de 20 m. Pour améliorer la tenue de route, l'ensemble de la piste est incliné à 45°. (L'extérieur de la piste est relevé par rapport à l'intérieur). La piste est divisée en deux bandes de même largeur.

1. Des courses sur un tour de piste sont organisées en duel entre deux voitures, avec une voiture sur chaque bande. Les commissaires de course désirent connaître l'avance à donner à la voiture située sur la partie haute de la piste pour qu'elle effectue exactement la même distance que l'autre voiture. On considère que les voitures roulent au milieu de chaque bande.

2. Quel est le volume total de béton nécessaire pour supporter l'ensemble de la piste ?



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C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
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 #2 - 02-05-2011 16:04:23

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

on fait la coyrse ?

Bonjour,

1- Une coupe de n'importe quelle partie du circuit perpendiculairement à la trajectoire est un triangle rectangle isocèle dont la base horizontale et le coté vertical font [latex]10\sqrt2[/latex]m de coté. L'hypothénuse inclinée de 45° fait elle 20m (largeur de la piste).
La première voiture roule à 5 m du bord bas de la piste et la seconde à 15m du même bord. En considérant les voitures comme des points ponctuels, la voiture du bas effectue dans le virage un arc de cercle horizontal de [latex]40+\dfrac{10\sqrt2}4[/latex] m et la seconde un arc de cercle horizontal de [latex]40+3.\dfrac{10\sqrt2}4[/latex] m. Sur les lignes droites elles effectuent un parcours de même longueur. La différence de marche est donc de: [latex]2\pi.\dfrac{10\sqrt2}2=10\pi\sqrt{2}[/latex], soit environ 44,43m.

2- En supprimant les sections droites pour le moment on obtient une sorte d'arène circulaire. Cette arène est un cyclindre de rayon [latex]R=10\sqrt2[/latex] et de hauteur R évidée d'un cône à 45° dont la pointe est en bas au centre du cylindre. Le cylindre à un volume de [latex]2\pi.R^2.R[/latex] et le cône que l'on lui retire a une volume de [latex]2\pi.R^2.\dfrac{R}3[/latex]. L'arène représentant les 2 virages à donc un volume total de: [latex]4\pi\dfrac{R^3}3=\dfrac{8000\pi\sqrt2}3[/latex].
Les sections droites ont un volume de [latex]500\dfrac{R^2}2=50000[/latex].

Le volume total de béton est donc environ: 61848 m3 de béton.


Merci pour cette énigme.
J'espère ne pas m'être trompé. J'ai fait les calculs de 2 façons différentes pour le volume des virages et je n'ai pas trouvé la même chose les 2 fois, j'ai gardé la façon la plus simple smile

Edit: Quel idiot je suis, si on enlève les parties droites, on n'a pas du tout ce que j'écris ci-dessus. C'est pour cela que je ne trouvais pas les mêmes résultats en appliquant Guldin sad

 #3 - 02-05-2011 17:28:48

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

on fait ka course ?

Bonjour,

Réponses:
1°) Ecart entre un tour de piste voitures du haut et du bas:
e = 2 x pi x 10 x V2 / 2 = env. 44,43 m
Le terme V2 / 2 est pour tenir compte du devers à 45°.
2°) Volume lignes droites:
V1 = 2 x 500 x (20 x V2 / 2)² / 2 = 100 000 m³
Volume cylindre:
V2 = pi x (40 + 20 x V2 / 2)² x (20 x V2 / 2) = 130 237 m³
Volume cône tronqué:
V3 = pi x [(40 + 20 x V2 / 2)² + 40² + 40 x (40 + 20 x V2 / 2)]
x (20 x V2 / 2) / 3 = 99 181 m³
Volume cherché = V1 + V2 - V3 = 131 056 m³

Remarques:
1°) Je travaille dans le BTP et suis donc ravi par cette énigme liée à mon métier.
2°) Je procède à une vérification rapide et grossière (comme cela est l'usage dans ma profession pour "éviter les grosses bourdes"):
V = env. 100 m² x (1000 m + 100 m x pi) = env. 131 400 m³ (je confirme donc mon résultat précis à 131 056 m³ qui à l'air juste).
3°) SaintPierre, un bon ingénieur dessinerait des poutres et des dalles (avec ferraillage) pour optimiser le volume de béton, mais ceci est une autre histoire (on cherche en fait à minimiser le coût global main d'oeuvre + coffrage + béton + ferraillage: pourquoi pas une prochaine énigme de mon cru sur le sujet ?)

Bonne soirée à tous.
Frank

 #4 - 02-05-2011 19:47:38

Kikuchi
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 46
Messages : 91

nO fait la course ?

1. Il n'y a aucune différence de longueur parcourue sur les lignes droites, on s'intéressera donc uniquement aux parties courbes.

Avec ce schéma:
http://www.prise2tete.fr/upload/Kikuchi-CourseAvance.png


On a [latex]R_1=40+AD_1\times \cos(45^{\circ})=40+5 \dfrac{\sqrt{2}}{2}[/latex]
Et de la même manière [latex]R_2=40+AD_2\times \cos(45^{\circ})=40+15 \dfrac{\sqrt{2}}{2}[/latex]

La différence de longueurs sur les deux demi-cercles est donc de:
[TeX]2\pi R_2 - 2\pi R_1=2\pi \left(40+15 \dfrac{\sqrt{2}}{2}-\left(40+5 \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)=2\pi \times 10\dfrac{\sqrt{2}}{2}=10\pi \sqrt{2}\approx 44,43 m[/TeX]
2. Pour ce qui est du volume de la piste, avec [latex]\mathcal{A}[/latex] l'aire de la section de la piste (le triangle rectangle isocèle d'hypothénuse [latex]20 m[/latex]) qui vaut:
[TeX]\mathcal{A}=\left(\dfrac{20}{\sqrt{2}}\right)^2*\dfrac{1}{2}=100m^2[/TeX]
- On a alors le volume pour les deux sections rectilignes qui vaut :
[TeX]2\times \mathcal{l}\times \mathcal{A}=2\times 500\times 100=10^5m^3[/TeX]
- On a le volume pour les deux sections circulaires qui vaut, d'après le théorèmes de Guldin:
[TeX]2\pi \times \mathcal{d} \times \mathcal{A}[/TeX]
Reste à trouver [latex]\mathcal{d}[/latex], la distance de l'axe de rotation au centre de gravité du triangle.

D'après ce schéma:
http://www.prise2tete.fr/upload/Kikuchi-CourseVolume.png
[TeX]\mathcal{d}=40+AC-GM[/TeX]
On a [latex]CI=AI=10 \text{ et }CG=\dfrac{2}{3}CI=\dfrac{20}{3}[/latex]
Et [latex]GM[/latex] vaut: [latex]\dfrac{20}{3}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{10\sqrt{2}}{3}[/latex]

Ainsi : [latex]\mathcal{d}=40+\dfrac{20\sqrt{2}}{2}-\dfrac{10\sqrt{2}}{3}=10\left(4+\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{3}\right)=10\left(\dfrac{12+2\sqrt{2}}{3}\right)=20\left(\dfrac{6+\sqrt{2}}{3}\right)[/latex]

Et donc:
[TeX]2\pi \times \mathcal{d} \times \mathcal{A}=2\pi \times \dfrac{20}{3}(6+\sqrt{2})\times 100=4000\dfrac{\pi}{3}(6+\sqrt{2})\approx 31\;057m^3[/TeX]
Le volume total de béton étant au final:
[TeX]4000\dfrac{\pi}{3}(6+\sqrt{2})+10^5\approx 131\;057m^3[/TeX]


There's no scientific consensus that life is important

 #5 - 04-05-2011 03:40:10

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1988
Lieu: Paris

On fiat la course ?

1. La voiture à l'intérieur fait des virages d'une circonférence de 45m, l'autre à l'extérieur 55m. Les virages sont deux demi-cercles, donc chaque voiture parcourt un cercle, dont les rayons diffèrent de 10m.
La différence de distance parcourue est donc de [latex]\fbox{20\pi}[/latex]

Joli calcul foireux ...
Les rayons des cercles ne différent pas de 10m, mais de \frac{10}{\sqrt2}m, il ne faut pas oublier la projection. Cela fait donc une différence de distance de [latex]\frac{20\pi}{\sqrt2} \approx \fbox{44,43m}[/latex]

2. Le volume sous chaque ligne droite est facile à calculer : 50 000m3.
Je découpe chaque virage en couches horizontales. Le volume d'un virage est donc l'intégrale des aires des couronnes. Chaque couronne a une aire de [latex]\pi((40+r)^2-40^2)[/latex] (je somme les 2 virages) où r varie entre 0 et 20 [latex]10\sqrt2[/latex] (même remarque que pour le 1):
[TeX]v=\pi\int_0^{10\sqrt2}(r^2+80r)dr
v=\pi(\frac{2000\sqrt2}3+8000) \approx 28 095m3[/TeX]
On additionne 2 lignes droites + ce volume, et le volume totalde béton vaut :
[TeX]\fbox{V=128095m^3}[/TeX]

 #6 - 04-05-2011 07:44:37

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,472E+3

on faot la course ?

1 )

2pi (40 + 15/rac2 ) - 2pi (40 + 5/rac2 )
= 20pi / rac2
=44,428 m

2 ) 10/rac2 pi ( (40+20/rac2)^2 - 40^2 ) + 1000 ( 20^2 /4 )
=  10/rac2  pi ( 1600/rac2 + 200 ) + 100 000
= (8000+1000rac2 ) pi  + 100000
=129575,6 m3

 #7 - 04-05-2011 09:01:49

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

On fait la couurse ?

1.
Il ne faut pas tenir compte des sections droites puisqu'elles ont même longueur pour les deux voitures.
La différence apparait sur les deux tronçons en demi-cercle, ce qui constitue un cercle complet. Il n'y a qu'à faire la différence entre les deux trajectoires. Soit L la longueur d'avance:
L
= 2pi R' - 2pi R"
= 2pi (R' - R")
= 20pi sin45°
= 44,43 m

Et on se rend compte que ce résultat est indépendant du rayon de courbure de la piste, il ne dépend que de sa largeur.

2.
Franchement là, il faut demander ça à un bureau d'étude composé d'architectes et d'ingénieurs en construction. Ca dépend de trop de chose.
Si tu demandes le volume sous la piste, il faut utiliser une formule de calcul des volumes de révolution.
Le rayon R de révolution est:
R
= 40 + 2/3 20 sin45
= 49,43 m
Et le volume total V vaut:
V
= 20²/2 * (1000 + 2piR)
= 262 113,17 m³


Edit: je me suis troupé dans l'air du trangle mdr.
V
= [10*rac(2)]² * (1000 + 2piR)
= 131056,59 m³

Mais ce n'est qu'une supposition.

 #8 - 04-05-2011 18:44:22

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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Lieu: UK

O fait la course ?

1.
[TeX]R_{ext}=20+15cos(45)[/TeX]
[TeX]R_{int}=20+5cos(45)[/TeX]
[TeX]avance=2\pi[R_{ext}-R_{int}]=10\pi\sqrt2[/TeX]
L'avance de la voiture extérieure est de 44.4m

Edit: R=40 et non 20

2.
L'aire de la piste est un demi-carré de coté [latex]20cos(45)=10\sqrt2[/latex] m
l'aire est 100 m²
Le volume de la partie rectiligne est [latex]\rm 2*500*100=100 000 m^3[/latex]
Le centre de gravité du triangle est à 10 m du cote intérieur, le rayon de G est de 30 m.
Le volume de la partie circulaire est [latex]\rm2\pi*aire*R_G=6000\pi\approx18 850 m^3[/latex]
Le volume de béton est de 118 850 m³

Edit: R=40 et G est mal placé !


The proof of the pudding is in the eating.

 #9 - 05-05-2011 14:19:01

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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in fait la course ?

J'avais fait 2 calculs foireux, j'ai édité mes réponses.
Pas de souci pour le 1, tout le monde trouve pareil.

En revanche pour le 2, je ne comprends pas pourquoi avec mon calcul d'intégrale je ne tombe pas sur le résultat de franck. Qqun peut me dire pourquoi ? J'oublie du béton à un endroit, mais où ?!

 #10 - 05-05-2011 15:58:42

rivas
Elite de Prise2Tete
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on fait la coursz ?

Le calcul de Kikuchi me semble correct et l'explication aussi.
Il donne la même réponse que Frank avec une méthode tout à fait différente.

Looping, ton intégrale n'est pas bonne, ou plus précisemment la formule de la couronne n'est pas bonne par rapport aux bornes entre lesquelles tu intègres.

L'aire d'une couronne est: [latex]\pi((40+10\sqrt2)^2-(40+x)^2)[/latex].
Ou x est la distance au centre de la couche à intégrer.
Il faut donc calculer: [latex]\pi\int_0^{10\sqrt2}(40+10\sqrt2)^2-(40+x)^2dx[/latex]

Ce qui donne bien environ 31056 et on retrouve les résultats précédents.

 #11 - 05-05-2011 16:10:46

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Paris

O fait la course ?

En te lisant, j'ai percuté, merci ! Du coup on arrive quand même à quelque chose avec une approche intégrale.
Mais l'approche du cylindre et du cône était vraiment astucieuse wink

 #12 - 05-05-2011 16:25:22

rivas
Elite de Prise2Tete
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On fait la courrse ?

Merci pour l'astuce. En fait c'était un cylindre moins un 'tronc' de cône smile

 #13 - 05-05-2011 16:25:34

franck9525
Elite de Prise2Tete
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On faait la course ?

Oh zut, j'ai placé G avec des médiatrices et non des médianes ! mad
et pis r=40 et non 20 bref j'ai tout faux lol


The proof of the pudding is in the eating.

 #14 - 05-05-2011 16:30:13

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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on fait la courde ?

Bonjour,
Avez vous remarqué comment on a vite fait de se tromper dans un bête calcul de volume de béton sur un chantier ? Et quand ça arrive, vous avez les oreilles qui sifflent !!!
Bonne journée à tous.
Frank
Edit: A bientôt pour une énigme de mon cru (en cours).

 #15 - 05-05-2011 16:33:40

franck9525
Elite de Prise2Tete
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on fait la coursr ?

A toi la main pour une énigme de ton cru comme tu le proposes si gentillement smile


The proof of the pudding is in the eating.

 #16 - 05-05-2011 17:40:23

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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On fait la couurse ?

Pas si simple, en effet...

http://nsa25.casimages.com/img/2011/05/05/110505053534334320.jpg
http://nsa26.casimages.com/img/2011/05/05/110505054512474419.jpg
Soit avec R = 40, une avance de 44,4 m et des poussières...


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #17 - 05-05-2011 17:57:22

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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on fait la couese ?

... et la suite:

http://nsa26.casimages.com/img/2011/05/05/110505054728661957.jpg
http://nsa26.casimages.com/img/2011/05/05/110505055133764563.jpg
Soit avec les valeurs, un volume d'environ 164 000 mètres cube !
Sauf erreur de ma part, SaintPierre.


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #18 - 05-05-2011 18:23:43

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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Lieu: UK

On fait lla course ?

Oh que c'est inutilement compliqué et incorrect.

La réponse de Kikuchi est bien meilleure. C'est le théorème de Guldin qu'il faut utiliser ici.


The proof of the pudding is in the eating.

 #19 - 05-05-2011 18:25:44

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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Lieu: Annecy

On fiat la course ?

Incorrect ?


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #20 - 06-05-2011 05:08:28

Kikuchi
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 46
Messages : 91

on fzit la course ?

Tout le raisonnement est correct mais une petite maladresse à la fin, tu écrit :
[TeX]\dfrac{R^2L}{8}+\dfrac{\pi R^3}{48}(\sqrt{2}+6)=\dfrac{R^2}{48}\left[ 8L+\pi R(\sqrt{2}+6) \right][/TeX]
Alors que ça devrait être:
[TeX]\dfrac{R^2L}{8}+\dfrac{\pi R^3}{48}(\sqrt{2}+6)=\dfrac{R^2}{48}\left[ 6L+\pi R(\sqrt{2}+6) \right][/TeX]
Pour arriver au final à:
[TeX]R^2\left(\dfrac{L}{8}+0.485R\right)\approx 131\:040 m^3[/TeX]


There's no scientific consensus that life is important

 #21 - 06-05-2011 14:21:20

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

On fait la coures ?

Sauf quand même que l'ingénieur qui utilise autant de béton, il peut rentrer chez lui. Les romains utilisaient déjà du béton alvéolé pour alléger leurs constructions (voir notamment la coupole du Panthéon à Rome).

Par contre, j'ai une erreur d'un facteur 2 dans mon calcul et je trouve pas l'erreur.

Edit: Ah ben si, j'ai pris 20 comme coté du triangle au lieu de 10rac(2).

J'obtiens pareil: 131056,5851 m²

Merci pour le rappelle du nom de la formule, je ne me souvenais plus.

 #22 - 06-05-2011 15:42:13

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

On fait la ocurse ?

Ah merci Kikuchi, le 6 au lieu du 8, pfff... roll


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
 

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