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 #1 - 07-06-2013 21:50:50

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Proabilité : Obtenir un triangle

Bonjour,

Je n'ai encore jamais proposé d'énigme (il faut dire aussi que toutes celles que je connais sont des classiques hmm) .
Mais j'ai vu dernièrement que vous semblez passionner par les probabilités wink ,
et cela m'a rappelé un problème de math que j'avais vu dans un encadré de
manuel scolaire de mathématiques des temps anciens  que voici :

Question 1 : Si on casse aléatoirement un bâton en trois morceaux, quelle est la probabilité de pouvoir former un triangle en mettant ces morceaux bout à bout ?

Je précise que "casser aléatoirement un bâton en trois morceaux" signifie :
Je ferme les yeux, je fais une marque au hasard sur le bâton ; ensuite je fais une deuxième marque en procédant de la même manière. Je casse ensuite le bâton là où j'ai fait les marques.

Avec deux autres questions bonus

Question 2 : Plus généralement, si on casse aléatoirement (dans le
sens décrit ci-dessus) un bâton en [latex]n[/latex] morceaux, quelle est la probabilité d'obtenir un polygone à [latex]n[/latex] cotés en mettant les [latex]n[/latex] morceaux bout à bout ?

Question 1bis : Même question que la question 1 mais cette fois
avec le mode opératoire suivant :

Je casse mon bâton en deux de manière aléatoire, ensuite je tire à pile ou face
quel morceau je vais de nouveau casser en deux aléatoirement.

Voilà, Voilà ...
Maintenant, à vos neurones ! lol


J'ajoute quelques indices :

Indice question 1 :
Spoiler : [Afficher le message]
Comme on tire deux nombres au hasard on peut essayer de représenter le premier sur un axe des abscisses, et le second sur un axe des ordonnées.


Remarque question 1bis :
Spoiler : [Afficher le message]
Pour cette question, il faut passer par un calcul d'intégrale. (du moins je n'ai pas trouvé de moyen comme pour la question 1 de l'évité).


Premier Indice question 2 :
Spoiler : [Afficher le message]
La probabilité d'obtenir un polygone est 1 - (probabilité de NE PAS pouvoir obtenir un polygone)


Deuxième indice Indice question 2 :
Spoiler : [Afficher le message]
APRÈS avoir fait toutes les marques sur le bâton je peux par exemple
noté [latex]x_0[/latex] une extrémité du bâton et ensuite par ordre croissant
des marques les noter [latex]x_1,\ldots,x_{n-1}[/latex], et noter [latex]x_n[/latex] la dernière extrémité du bâton.



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Il y a sûrement plus simple.
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 #2 - 07-06-2013 22:29:17

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

Probabiilté : Obtenir un triangle

Marrant. Comme ça j'aurais dit que peu importe comment on casse le bâton, on pourra toujours dessiner un polygone avec les morceaux.

 #3 - 07-06-2013 22:43:44

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Prboabilité : Obtenir un triangle

Il faut et il suffit qu'aucun morceau ne mesure plus d'un demi-bâton.
donc
Il faut et il suffit que la 2ème marque soit à moins d'un demi-bâton de la 1ère, mais dans l'autre moitié du bâton. Cette probabilité vaut :
[TeX]2 \int_{0}^{1/2} x ~\textrm{d}x = \frac{1}{4}[/TeX]

 #4 - 07-06-2013 23:09:08

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Probabilité : Obtenir un triaangle

@titoufred : pour ce qu'il y a avant le "donc" c'est l'idée, mais pour ce qu'il y a après... tu peut détaillé un peu plus ? je n'ai pas ce résultat là.


Il y a sûrement plus simple.

 #5 - 07-06-2013 23:53:09

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

probabilité : obtenir in triangle

OK je viens de piger. Soit a, b et c la taille des 3 morceaux et t la taille du bâton. Pour pouvoir construire un triangle, il faut que:

c=<a+b
b=<a+c
a=<b+c

Comme a+b+c = t il vient comme condition nécessaire et suffisante pour construire un triangle:

a=<t/2
b=<t/2
c=<t/2

Après, calculer ces probas là sur des variables aléatoires continues... Il faut y aller avec des intégrales ?

 #6 - 07-06-2013 23:54:16

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Probabilité : Obtenir un traingle

Je prends le bâton comme unité de longueur.

Les 2 marques vont déterminer 3 morceaux : 1 morceau central et 2 morceaux extrêmes. Pour pouvoir faire un triangle, il faut et il suffit que ces 3 morceaux mesurent moins de 1/2.

La 1ère marque est tirée au sort dans une certaine moitié du bâton. Alors

la condition (1) : "La 2ème marque est tirée dans l'autre moitié"
est équivalente à "Les 2 morceaux extrêmes mesurent moins de 1/2"

la condition (2) : "La 2ème marque est à moins de 1/2 de la 1ère"
est équivalente à "Le morceau central mesure moins de 1/2"

On peut donc former un triangle si et seulement si les conditions (1) et (2) sont réalisées.

 #7 - 08-06-2013 01:23:33

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Probabilité : Obtenir un trangle

@nombrilist : pas forcément (à part peut-être pour la question 1bis).

@titoufred : oui, tu as raison, (je viens de refaire mes calculs roll ). Pardon.


Il y a sûrement plus simple.

 #8 - 08-06-2013 11:35:59

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 679

Probabilité : Obtenirr un triangle

question 1 : 0.25
question 1 bis : ln(2)-0.5 = 0.1931...

 #9 - 08-06-2013 15:01:01

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Pobabilité : Obtenir un triangle

@masab: Oui !


Il y a sûrement plus simple.

 #10 - 08-06-2013 16:10:16

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Probabilité : Obbtenir un triangle

Pour la question 1-bis :
On tire une première marque, qui est à x d'un bord (0<=x<=1/2) puis, pour la 2ème : il faut tirer à pile ou face le plus grand bâton, ce qui arrive une fois sur 2, puis casser comme il faut le grand bâton qui mesure 1 - x, ce qui arrive avec une probabilité de x/(1-x)

La probabilité cherchée est donc :
[TeX]\frac{1}{2} \times 2 \int_{0}^{1/2} \frac{x}{1-x} ~\textrm{d}x = \ln(2) - \frac{1}{2}[/TeX]

 #11 - 08-06-2013 22:05:41

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Probabilité : Obteenir un triangle

@titoufred : exact !


Il y a sûrement plus simple.

 #12 - 09-06-2013 10:04:16

fix33
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Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Probabilité : Obtenir u triangle

Dans un espace euclidien, on ne peut former un triangle si un des bouts est plus long que la somme de tous les autres.

1. Il y a 1/2 chance que les 2 coupures se fassent dans la même moitié du bâton initial.

1bis. De même, il y a 1/2 chance (pile ou face) que la 2nde coupure se fasse sur le plus petit des 2 bâtons.

2. Pour les mêmes raisons, je pense qu'il y a (1/2)^(n-2) avec n bâtons. Par exemple, avec 4 morceaux, on aurait 1/4 chance que les coupures ne permettent pas la formation d'un quadrilatère.


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #13 - 09-06-2013 14:19:39

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Probabilité : Obtenir un trriangle

@fix33 : Non, par exemple sur un bâton de longueur 1 tu peux avoir la première
coupure à 0,1 et la deuxième coupure à 0,9, tu ne pourras pas faire de triangle et
pourtant les deux coupures sont sur une moitié différente du bâton.


Il y a sûrement plus simple.

 #14 - 10-06-2013 20:02:08

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

probabikité : obtenir un triangle

Personne pour le cas général ?
J'ai ajouté un indice de plus.


Il y a sûrement plus simple.

 #15 - 10-06-2013 20:29:34

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Probabiilité : Obtenir un triangle

Pour la question 2, j'ai trouvé [latex]p_n = 1 - \frac{n}{2^{n-1}}[/latex]

Est-ce la bonne réponse ?

J'écris mon raisonnement dès que possible.

 #16 - 10-06-2013 21:12:43

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Probaiblité : Obtenir un triangle

@titoufred : Oui ! Félicitation ! cool


Il y a sûrement plus simple.

 #17 - 10-06-2013 21:46:43

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Probaiblité : Obtenir un triangle

Question 1 : 1/4. C'est le rapport entre les deux triangles qui "définissent" les nombres l'un par rapport à l'autre.

Question 2 : Au pif, je propose 1/(n+1) ! 1 chance sur 5 d'avoir bon !lol

Je réfléchis à la question 1 bis ... mais à ce qu'il paraît, il faut utiliser le logarithme népérien (je viens de me le rappeler) et je ne sais même pas ce que c'est ...
Au fait, j'avais posé la question a ma prof et c'est elle qui m'a dit ça.

 #18 - 10-06-2013 21:54:29

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Probabilité : Obteir un triangle

@SabanSuresh : Question 1 : oui ; Question 2 : Euh.., non smile .


Il y a sûrement plus simple.

 #19 - 11-06-2013 01:17:04

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Probabilié : Obtenir un triangle

J'expose ma solution, qui n'est pas la plus simple je présume.
Je ne détaille pas tout, c'est déjà bien assez long. S'il y a des points obscurs, je donnerai des précisions.

Le bâton est assimilé au segment [0 ; 1].
[TeX]n[/latex] désigne un entier supérieur ou égal à 2.
On note [latex]x_1, x_2, ..., x_{n-1}[/latex] les nombres tirés aléatoirement dans [0 ; 1] pour découper le bâton en [latex]n[/latex] morceaux.

Pour pouvoir faire un polygone à [latex]n[/latex] côtés avec les [latex]n[/latex] morceaux de bâton, il faut et il suffit que le plus long de ces morceaux mesure moins de 1/2.

On appelle [latex]p_n[/latex] la probabilité de pouvoir faire un polygone à [latex]n[/latex] côtés avec un bâton coupé aléatoirement en [latex]n[/latex] morceaux,
[latex]X_n[/latex] la variable aléatoire correspondant à la longueur du plus grand des [latex]n[/latex] morceaux,
[latex]Y_n = 1-X_n[/latex] la variable aléatoire correspondant à la longueur restante du bâton,
[latex]f_n[/latex] la densité de probabilité de la variable aléatoire [latex]Y_n[/latex].

Nous allons chercher à établir la formule de la densité [latex]f_n[/latex], uniquement sur l'intervalle [0 ; 1/2].
Pour toute la suite, on considère [latex]0<x<1/2[/latex].

[latex]f_2(x)dx=P(x<Y_2<x+dx)=P(x<x_1<x+dx)+P(1-x-dx<x_1<1-x)[/TeX][TeX]f_2(x)dx=dx + dx = 2dx[/latex] et donc [latex]f_2(x)=2[/TeX]
Nous allons maintenant chercher une relation de récurrence sur les [latex]f_n[/latex].
[TeX]f_{n+1}(x)dx = P(x<Y_{n+1}<x+dx)[/TeX][TeX]f_{n+1}(x)dx = P(x<Y_{n+1}<x+dx \cap Y_{n+1}=Y_n) + P(x<Y_{n+1}<x+dx \cap Y_{n+1}>Y_n)[/latex]  (1)

On suppose que l'on a déjà virtuellement cassé le bâton en [latex]n[/latex] morceaux, et que le plus long de ces morceaux mesure plus de 1/2.
Ce plus long morceau a pour extrémités des points(nombres) [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex] et sa longueur vaut [latex]X_n = b-a[/latex]. La longueur restante du bâton est [latex]Y_n=1+a-b[/latex]. Remarquons que [latex]X_n >1/2[/latex] et donc [latex]Y_n <1/2[/latex].

Pour créer le [latex](n+1)^{ème}[/latex] morceau, on va tirer aléatoirement un [latex]n^{ème}[/latex] point noté [latex]x_n[/latex] dans [0 ; 1].

Le morceau le plus long ne va pas diminuer de longueur lorsque [latex]x_n[/latex] est tiré à l'extérieur de ce morceau, ce qui arrive avec une probabilité de [latex]Y_n[/latex].

Une fois que [latex]Y_n[/latex] est fixé, alors [latex]P(Y_{n+1}=Y_n) = Y_n[/latex]. Et donc :

[latex]P(x<Y_{n+1}<x+dx \cap Y_{n+1}=Y_n) = P(x<Y_n<x+dx) P(Y_{n+1}=Y_n)[/TeX][TeX]P(x<Y_{n+1}<x+dx \cap Y_{n+1}=Y_n) = f_n(x)dx \times x =  xf_n(x)dx[/latex]  (2)

Le morceau le plus long va diminuer tout en restant supérieur à 1/2 dans deux cas bien distincts :
lorsque [latex]a<x_n<b-1/2[/latex] ou lorsque [latex]a+1/2<x_n<b[/TeX][TeX]Y_n[/latex] étant fixé, pour [latex]x[/latex] tel que [latex]Y_n<x<1/2[/latex], on obtient :

[latex]P(x<Y_{n+1}<x+dx) = P(a+x-Y_n<x_n<a+x-Y_n+dx) + P(b+Y_n-x-dx<x_n<b+Y_n-x)[/TeX]
et donc [latex]P(x<Y_{n+1}<x+dx) = 2dx[/latex]

Ainsi :
[TeX]P(x<Y_{n+1}<x+dx \cap Y_{n+1}>Y_n) = P(0<Y_n<x)P(x<Y_{n+1}<x+dx)[/TeX][TeX]P(x<Y_{n+1}<x+dx \cap Y_{n+1}>Y_n) = \int_{0}^{x} f_n(t) ~\textrm{d}t  2dx[/latex]  (3)

Finalement, de (1), (2) et (3), on tire que :

[latex]f_{n+1}(x)dx = xf_n(x)dx + \int_{0}^{x} f_n(t) ~\textrm{d}t ~2dx[/TeX]
Ou plus simplement, on obtient la relation de récurrence suivante :
[TeX]f_{n+1}(x) = x f_n(x) + \int_{0}^{x} 2 f_n(t) ~\textrm{d}t[/latex]  (4)

On prouve alors par récurrence que :

[latex]f_n(x) = n(n-1)x^{n-2}[/latex]  (5)

Démonstration de l'hérédité :

[latex]f_{n+1}(x) = x f_n(x) + \int_{0}^{x} 2 f_n(t) ~\textrm{d}t = n(n-1)x^{n-1} + \int_{0}^{x} 2n(n-1)t^{n-2} ~\textrm{d}t[/TeX]
donc [latex]f_{n+1}(x) = n(n-1)x^{n-1} + 2nx^{n-1} = n(n+1)x^{n-1}[/latex]

Ce qui prouve l'hérédité.

Finalement,
[TeX]p_n= 1- \int_{0}^{1/2} f_n(x) ~\textrm{d}x =1- \int_{0}^{1/2} n(n-1)x^{n-2} ~\textrm{d}x=1-[nx^{n-1}]_0^{1/2} = 1-\frac{n}{2^{n-1}}[/TeX]

 #20 - 11-06-2013 22:24:20

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Probabilité : Obtenir u ntriangle

titoufred, franchement, bravo !

J'expose ma solution, qui n'est pas la plus simple je présume.

En effet, j'avais en tête quelque chose d'un peu plus simple. lol

Encore une fois, chapeau bas smile


Il y a sûrement plus simple.

 #21 - 12-06-2013 16:17:42

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 1203

Probabilité : bOtenir un triangle

Pour la Q1:Après un raisonnement logique je trouve 25%.
Pour les autres questions c'est titou qui joue.cool

 #22 - 12-06-2013 17:14:02

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Probabilité : Obtenir un trangle

@PRINCELEROI : Oui, c'est à peu près ça wink


Il y a sûrement plus simple.

 #23 - 13-06-2013 03:17:06

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

probabilité : pbtenir un triangle

D'abord merci, pour vos participations.

Pour ce problème, on peut modéliser le bâton par le segment [latex][0;1][/latex]
Les endroits où l'on coupe le bâton sont des nombres tirés aléatoirement entre 0 et 1.

On peut faire un triangle (ou un polygone) ssi tous les morceaux sont plus petits que 1/2.

Question 1 :

Pour le triangle, on tire deux nombre aux hasard entre 0 et 1.
On peut représenter le premier nombre sur un axe des abscisses, et l'autre sur un axe des ordonnées.
Ensuite on peut déterminer les régions qui sont des cas favorables ou défavorables, on obtient la figure suivante :

http://www.prise2tete.fr/upload/cogito-fig_q1.png

Les cas défavorables sont en rouges et les cas favorables en verts. Par exemple, si un point se trouve dans le carré rouge en bas à gauche, alors cela signifie que les deux coupure sont dans le segment  [latex][0;{1\over 2}][/latex]  , donc nous avons un morceau plus grand que 1/2 on ne peut donc pas faire de triangle.

Le rapport des cas favorables (les triangles vert) sur les cas possible (carré de coté 1) est de 1/4.
On a donc 1/4 d'avoir un triangle.

Question 1bis :

Soit [latex]x[/latex] le premier tirage. Supposons [latex]x<{1\over 2}[/latex] .
Nous avons donc un petit bâton de longueur [latex]x[/latex], et un grand bâton de longueur  [latex]1 - x[/latex]. Pour pouvoir faire un triangle il faut que le plus grand bâton soit choisit, et ce bâton à 1/2 d'être choisit.

Pour pouvoir faire un triangle, il faut que le deuxième tirage soit dans l’intervalle  [latex][{1\over 2};x+{1\over 2}][/latex]  (sinon on aurait un morceau plus grand que 1/2).
Cet intervalle est de longueur [latex]x[/latex], et la probabilité d'être dans un intervalle de longueur [latex]x[/latex] sur un bâton de longueur  [latex]1-x[/latex]  est  [latex]{x\over {1-x}[/latex].
Donc en faisant varié [latex]x[/latex] entre 0 et 1/2 on a la probabilité d'avoir un triangle qui est:
[TeX]{1\over 2} \int_0^{1\over 2}{x \over {1 - x}}\hbox{ d}x [/TeX]
Et nous avons la même probabilité pour [latex]x[/latex] variants entre 1/2 et 1. Donc la probabilité finale d'avoir un triangle est :
[TeX]\int_0^{1\over 2}{x \over {1 - x}}\hbox{ d}x = \ln(2) - {1\over 2} [/TeX]
Question 2 :

Faisons [latex]n-1[/latex] marque aléatoirement sur le bâton.
Ensuite posons  [latex]x_0 = 0[/latex] , [latex]x_n = 1[/latex] , et notons [latex]x_1,\ldots, x_{n-1}[/latex] les [latex]n-1[/latex] marques dans l'ordre croissant.

Nous avons donc [latex][x_i;x_{i+1}][/latex] qui représente le (i+1)-ème morceau.

Calculons la probabilité de pas obtenir de polygone :

Soit [latex]p[/latex] cette probabilité.
On ne peut pas obtenir de polygone ssi il existe un morceau plus grand que 1/2.
Notons  [latex]E_i[/latex] l’événement  [latex][x_i;x_{i+1}] > {1\over 2}[/latex]  (c'est un abus de notation pour dire que la longueur de l'intervalle [latex][x_i;x_{i+1}][/latex] est plus grande que 1/2.

La probabilité de ne pas avoir de polygone est donc égal à la probabilité que
l'un des événements E_i soit réalisé c'est-à-dire :
[TeX]p = P(\bigcup_{i=0}^{n-1} E_i)[/TeX]
Or les événements [latex]E_i[/latex] sont disjoints (en effet, il est impossible d'avoir deux morceaux plus grand que 1/2), nous avons donc :
[TeX]p = \sum_{i=0}^{n-1} P(E_i)[/TeX][TeX]P(E_i)[/latex] représente la probabilité que le (i+1)-ème morceaux soit plus grand que 1/2.

En supposant que l'on ait un morceau plus grand que 1/2, comme les [latex]x_i[/latex] ont été tirés uniformément, tous les morceaux ont chacun une chance équiprobable d'être celui qui est plus grand que 1/2.  Cela signifie que [latex]P(E_i)[/latex] ne dépend pas de [latex]i[/latex]. Car si pour [latex]i\ne j[/latex] nous avons :
 
  [latex]P(E_i)=a[/TeX]
[TeX]P(E_j)=b[/TeX]
Si a < b alors comme l'événement E_j est plus probable que l'événement E_i,
alors le {j+1}-ème morceau aura plus de chance d'être le morceau plus grand
que 1/2 que le morceau (i+1). Nous avons donc a = b (car on a un raisonnement symétrique pour a > b).

Et donc :
[TeX]p = \sum_{i=0}^{n-1} P(E_0) = n * P(E_0)[/TeX]
Or [latex]P(E_0)[/latex] est la probabilité que l'intervalle [latex][x0; x_1][/latex]  soit plus grand que 1/2, et cela signifie que les  [latex]n-1[/latex] tirages sont dans le segment [latex][{1\over 2};1][/latex] et cela a [latex]1\over{2^{n-1}}[/latex] d'arrivé.

Ainsi [latex]p = {n\over{2^{n-1}}[/latex]  et donc la probabilité de pouvoir faire un polygone à  [latex]n[/latex] cotés est :

[latex]1 -  {n\over{2^{n-1}}[/latex].


Il y a sûrement plus simple.

 #24 - 13-06-2013 09:44:04

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

probabilité : pbtenir un triangle

cogito a écrit:

En supposant que l'on ait un morceau plus grand que 1/2, comme les [latex]x_i[/latex] ont été tirés uniformément, tous les morceaux ont chacun une chance équiprobable d'être celui qui est plus grand que 1/2

Je ne vois pas du tout pourquoi. Pourrais-tu expliquer ?

 #25 - 13-06-2013 21:31:24

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Probabilié : Obtenir un triangle

Euh..., non (smiley avec les joue rose)

Cela fait assez longtemps que j'ai vu ce problème, et cela m'avais assez marqué pour que je me souvienne des grandes lignes, mais cette partie là, je n'ai pas réussi à la retrouvé sad

Je suis désolé, quand je me suis rappelé cette énigme, je me suis dit que c'était une occasion de poster  une énigme sur Prise2Tete, mais j'aurai du d'abord vérifier que j'avais tous les éléments.

La prochaine fois je ferais attention neutral


Il y a sûrement plus simple.

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