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 #1 - 11-10-2010 23:14:34

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

factorielles et qommes

Je viens de découvrir un résultat mathématique que je ne connaissais pas, et que je trouve fort élégant. Je vous fait partager.

A quoi est égal [latex]\sum_{i=1}^ni.i![/latex] ?



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 #2 - 11-10-2010 23:30:10

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

factorielles et sommeq

Amusant, pas difficile mais je ne connaissais pas:
[TeX]S=\sum_1^ni.i!=\sum_1^n(i+1)i!-i!=\sum_1^n(i+1)!-\sum_1^ni!=\sum_2^{n+1}i!-\sum_1^ni!=(n+1)!-1[/TeX]
Merci d'avoir partagé.

 #3 - 11-10-2010 23:48:30

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

Factrielles et sommes

[TeX]
\sum_{i=1}^n i.i! = \sum_{i=1}^n(i+1)i! \quad -\sum_{i=1}^n i! = \sum_{i=1}^n (i+1)! \quad -\sum_{i=1}^n i! = (n+1)! -1
[/TeX]
Effectivement c'est assez joli, merci.

 #4 - 12-10-2010 00:43:57

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3762
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

factorielles et solmes

Bonjour,

Effectivement, je trouve :
[TeX]\sum_{i=1}^ni.i! = (n+1)! - 1 [/TeX]
Amusant !

L'explication :
Appelons [latex]Sn[/latex] la somme recherchée.
Alors [latex]Sn+ \sum_{i=1}^ni! = \sum_{i=1}^n{(i+1)}! = \sum_{i=2}^{n+1}i![/latex]
D'où le résultat [latex]Sn = (n+1)! - 1[/latex]


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #5 - 12-10-2010 08:07:07

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

FFactorielles et sommes

On peut remarquer que :

(n+1)!=(n+1)n!
(n+1)!=nn!+n!
(n+1)!=nn!+n(n-1)!
(n+1)!=nn!+(n-1)(n-1)!+(n-1)!
(n+1)!=nn!+(n-1)(n-1)!+(n-1)(n-2)!
...
(n+1)!=nn!+(n-1)(n-1)!+...+1.1!+0!

Et donc la somme annoncée vaut (n+1)!-1 smile

Vasimolo

 #6 - 12-10-2010 21:03:31

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

factorielles et simmes

Je n'ai aucune notion sur les sommes en générale, désolé,mais je pense que
[latex]\sum_{i=1}^ni.i![/latex]est un nombre impair qui tend vers l'infini, après c'est la seule chose que je peux te dire vue mes connaissances sad mais j'ai hate de savoir comment faire big_smile
Merci pour cette énigme quand même


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #7 - 12-10-2010 22:27:38

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Factoriellles et sommes

[TeX]
\sum_{i=1}^{2}i.i!=1!+2\time2!=1+4=5=3!-1
\sum_{i=1}^{3}i.i!=1!+2\time2!+3\time3!=1+4+18=23=4!-1

\sum_{i=1}^{n}i.i!=(n+1)!-1


\sum_{i=1}^{n+1}i.i!=\sum_{i=1}^ni.i!+(n+1)(n+1)!=(n+1+1)(n+1)!-1=(n+2)!-1
[/TeX]
merci à Scarta qui m'a fait remarqué que 2*2!=4 et non 5
cool


The proof of the pudding is in the eating.

 #8 - 13-10-2010 23:19:34

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

Factorielless et sommes

La bonne réponse était bien [latex]\sum_{i=1}^n i.i! = (n+1)! - 1[/latex]

Il y a 2 manières principales pour démontrer ça:
I) Par récurrence. Pour cela, il faut bien sûr avoir une idée préalable du résultat (en ayant écrit les premiers termes par exemple).
[TeX]\sum_{i=1}^1 i.i! = 1 = (2)! - 1[/TeX]
[TeX]\sum_{i=1}^n i.i! = (n+1)! - 1 \Rightarrow \sum_{i=1}^{n+1} i.i! = (n+1)! - 1 + (n+1).(n+1)! = (n+1+1).(n+1)! -1 = (n+2)!-1 [/TeX]
II) Directement. Pour cela, il faut remarquer que [latex](i+1)! = (i+1).i! = i.i! + i![/latex]
[TeX]\sum_{i=1}^n i.i! = \sum_{i=1}^n (i+1)! - i! = \sum_{i=1}^n (i+1)! - \sum_{i=1}^n i! = \sum_{i=2}^{n+1} i! - \sum_{i=1}^n i! = (n+1)! - 1 [/TeX]
J'espère que vous avez aimé.

 #9 - 14-10-2010 17:20:52

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Factorielles et smmes

oui! big_smile


The proof of the pudding is in the eating.
 

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