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 #1 - 11-07-2011 16:46:45

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Des osmmes abstraites

Je vous propose de calculer des sommes avec indices "ordonnés".

Exprimer [latex]\sum_{i<j}a_ia_j[/latex] en fonction de [latex]\sum_i a_i[/latex] et de [latex]\sum_i a_i^2[/latex].


Exprimer [latex]\sum_{i<j<k}a_ia_ja_k[/latex] en fonction de [latex]\sum_i a_i[/latex]   , de [latex]\sum_i a_i^2[/latex] et de [latex]\sum_i a_i^3[/latex] .

Pour finir, exprimer [latex]\sum_{i<j<k<l}a_ia_ja_ka_l[/latex] en fonction de [latex]\sum_i a_i[/latex],    de [latex]\sum_i a_i^2[/latex],

de [latex]\sum_i a_i^3[/latex] et de [latex]\sum_i a_i^4[/latex].

Bon travail.smile

La première est simple, ensuite ça se corse un peu.



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 #2 - 11-07-2011 16:55:21

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

des sommes abstraiyes

Juste pour savoir les [latex]a_i a_j[/latex] sont deux nombres multipliés entre eux ou ce ne sont que des nombres de deux chiffres ?

Alors en faisant comme je le pense pour le premier :
[TeX]\sum_{i<j} a_i a_j = \sum_{i} a_i a_{i+1} = \sum_{i} a_i \left(\sum_{i} a_i +1 \right) = \sum_{i} a_i ^2+ \sum_{i} a_i[/TeX]


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #3 - 11-07-2011 17:17:26

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
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Lieu: Lille si j'y suis

des sommes zbstraites

Pour répondre à Shadock.
Ce sont des produits de nombres, ce n'est pas la concaténation  en base 10 de chiffres.


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 #4 - 11-07-2011 17:21:11

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

Des sommes abbstraites

[TeX](\sum_i a_i)^2=2\sum_{i<j}a_ia_j + \sum_i a_i^2[/TeX]
On verra pour la suite !

 #5 - 11-07-2011 17:21:45

Memento
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
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Des somms abstraites

Je post déjà la première :
[TeX]\sum_{i<j}a_ia_j = \frac{(\sum_i a_i)^2 - \sum_i a_i^2}{2}[/TeX]
Edit 1: Pour la deuxième, je propose:
[TeX]\sum_{i<j<k}a_ia_ja_k = \frac{(\sum_i a_i)^3-3*(\sum_i a_i\sum_i a_i^2)+2\sum_i a_i^3}{6}[/TeX]
Edit 2: Après correction:
[TeX]\sum_{i<j<k<l}a_ia_ja_ka_l=\frac{(\sum_i a_i)^4+8\sum_i a_i^3\sum_i a_i-6(\sum_i a_i)^2\sum_i a_i^2+3\sum_i a_i^2\sum_i a_i^2-6\sum_i a_i^4}{24}[/TeX]

 #6 - 11-07-2011 18:23:11

looozer
Expert de Prise2Tete
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Messages : 659
Lieu: Belgique

des sommes abstrautes

1. [latex]\frac{\left(\sum _i a_i\right){}^2-\sum _i a_i^2}{2}[/latex]

2. [latex]\frac{\left(\sum _i a_i\right){}^3+2 \sum _i a_i^3-3 \sum _i a_i \sum _i a_i^2}{6}[/latex]

3. [latex]\frac{\left(\sum _i a_i\right){}^4+3 \left(\sum _i a_i^2\right){}^2-6 \sum _i a_i^4-6 \sum _i a_i^2 \left(\sum _i a_i\right){}^2+8 \sum _i a_i \sum _i a_i^3}{24}[/latex]

J'aurais du mal à expliquer le raisonnement, car c'est plutôt du tâtonnement smile

 #7 - 11-07-2011 18:37:49

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Lille si j'y suis

des sommes zbstraites

Bravo à Memento pour la première et pour la deuxième.
Pour la dernière je ne suis pas arrivé au même résultat.


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 #8 - 11-07-2011 18:50:17

Memento
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 176

Des ommes abstraites

J'ai trouvé mon erreur, je corrige mad

 #9 - 11-07-2011 18:55:32

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Ds sommes abstraites

Loozer c'est bon, plus qu'une.
Vos raisonnements m'intéressent.


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 #10 - 11-07-2011 19:37:28

Memento
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 176

Des sommes aabstraites

Voila, j’espère que c'est bon cette fois tongue

 #11 - 11-07-2011 20:34:58

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Des sommes aabstraites

Oui Memento c'est bon.


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 #12 - 12-07-2011 10:13:13

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

Des sommes abstraite

A chaque fois on cherche les sommes des différents produits de termes deux à deux, trois à trois, ...

Du coup:
1) [latex]\sum_{i<j}{a_i.a_j} = \frac{(\sum_{i}{a_i})^2-\sum_i{a_i^2}}{2}[/latex]
En effet on retrouve les différents produits (avec un facteur 2) dans le développement de la somme au carré, on élimine les autres termes et on divise par 2

2) On développe le cube de la somme, on enlève les termes en cube, tous les autres sont multiples de 3: on divise, puis on se préoccupe des termes en a.b^2. Pour les éliminer, on va ajouter des b^3 pour obtenir une factorisation "somme des carré.somme simple", qu'on élimine aussi. Il ne reste plus que les produits recherchés avec un facteur 2
[TeX]\sum_{i<j<k}{a_i.a_j.a_k} = \frac{(\sum_i{a_i})^3 + 2\sum_i{a_i^3}-3\sum_i{a_i^2}.\sum_i{a_i}}{6}[/TeX]
3) On développe la puissance 4 de la somme
On va commencer par le plus compliqué: les termes en a.b.c^2, qui sont précédés d'un facteur 12. L'idée est de les factoriser en c^2.somme des a.b; qu'on sait faire (cf l'étape 1), mais pour cela il nous faut des a.c^3 (autant que de a.b.c^2). Les termes a.c^3 sont précédés d'un facteur 4: il va en falloir 8 de plus
On remarque que le développement "somme des cubes.somme simple" nous donne ces a.c^3, avec un c^4 supplémentaire à chaque fois. Du coup "somme des cubes.somme simple - somme des puissances 4" 8 fois nous donne nos facteurs manquants.
Nos termes en 12.a.b.c^2 deviennent alors 12.c^2.(somme des ai aj) qu'on sait retirer.
Pour les termes en a^2.b^2 (facteur 6), on va les séparer en 2 : ceux qui deviendront a^2(somme des carrés) et ceux qui deviendront b^2(somme des carrés). Pour ça il va donc nous falloir 3 a^4 et 3 b^4 de plus (sachant qu'on en a 1 en rab, 2 suffiront); et on retire 3 "somme des carrés" au carré
Là, c'est tout bon il ne reste que nos termes avec un facteur 24
[TeX]\sum_{i<j<k<l}{a_i.a_j.a_k.a_l} = \frac{(\sum_i{a_i})^4-6\sum_i{a_i^4}+8\sum_i{a_i^3}.\sum_i{a_i}+3(\sum_i{a_i^2})^2-6\sum_i{a_i^2}.(\sum_i{a_i})^2}{24}[/TeX]

 #13 - 12-07-2011 10:57:37

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
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Lieu: Lille si j'y suis

des solmes abstraites

Bravo à Scarta qui, de plus, explique sa démarche.


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 #14 - 12-07-2011 11:41:40

fabb54
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 37

des solmes abstraites

Pour la première question :
[TeX]\sum_{i;j}a_i a_j = \sum_{i<j}a_i a_j +\sum_{i=j}a_i a_j + \sum_{i>j}a_i a_j[/TeX][TeX]\Leftrightarrow\left(\sum_i a_i \right)^2 = \sum_{i<j}a_i a_j +\sum_i a_i^2 + \sum_{i<j}a_i a_j[/TeX][TeX]\Leftrightarrow\sum_{i<j}a_i a_j = \frac{1}{2} \left(\left(\sum_i a_i\right )^2- \sum_i a_i^2\right) [/TeX]
Remarque 1 : Ce résultat fait échos à un autre bien connu des statisticiens :
[TeX]\sum_{i<j}cov(a_i a_j) = \frac{1}{2} \left(\left(var\sum_i a_i\right )- \sum_i var(a_i)\right) [/TeX]
Remarque 2 :

En fait, cette égalité se vérifie pour tout couple d'applications dont l'une est la forme quadratique associée à l'autre de forme bilinéaire symétrique.

Dans notre exemple, x est la forme bilinéaire symétrique et ² la forme quadratique qui lui est associée.
Dans l'exemple statistique, cov est la forme bilinéaire symétrique et var la forme quadratique qui lui est associée.

 #15 - 12-07-2011 23:43:02

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

des qommes abstraites

Petite application pratique (par exemple):
la somme de tous les sous produits de 3 termes tous différents inférieurs à N vaut
[TeX]\frac{N^2.(N+1)^2.(N-1)(N-2)}{48}[/TeX]
Par exemple pour n = 6, 1*2*6 + 1*2*5 + 1*2*4 + 1*2*3 + 1*3*6 + 1*3*5 + 1*3*4 + 1*4*6 + 1*4*5 + 1*5*6 + 2*3*6 + 2*3*5 + 2*3*4 + 2*4*6 + 2*4*5 + 2*5*6 + 3*4*6 + 3*4*5 + 3*5*6 + 4*5*6 = (6*6*7*7*5*4)/48 = 735

 #16 - 13-07-2011 08:25:27

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

des sommes abstraires

En utilisant le produit infini de [latex]\frac{sin(\pi z)}{\pi z}[/latex] trouver des relations entre les [latex]\zeta(2k)[/latex], en déduire des autres relations sur les nombres de Bernoulli.

Si un courageux trouve les sommes d'indices ordonnés de n'importe quel nombre de termes il aura des relations générales.


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 #17 - 13-07-2011 10:38:13

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

Des soommes abstraites

En effet, et on trouve alors
[TeX]\sum_{a_1<a_2<...<a_q}^n{a_1a_2...a_q} = \sum_{i=1}^q\sum_{j=1}^i{\frac{(n+1+q)!(-1)^{j+1}j^{i+q}}{(n-q)!(n+1+i)(q-i)!(q+i)!j!(i-j)!}}[/TeX]
Mais non, je l'ai pas calculé, c'est un nombre de Stirling smile

Par exemple pour N=6 et q=3 (même exemple que précédemment) on retrouve 735.

A tout prendre, je trouve l'autre formule plus jolie smile smile smile

 #18 - 13-07-2011 11:05:36

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Des sommes asbtraites

Scarta où est le produit infini et où sont les nombres de Bernoulli?


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 #19 - 13-07-2011 11:34:38

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

des sommes abdtraites

Remplacés par leur équivalent en nombre de Stirling (de seconde espèce d'abord, puis de première espèce ensuite)
Comme je le disais, j'ai pas calculé tout ça : on peut bien sûr dire que la série entière de sin(z.pi)/(z.pi) est un polynôme qui admet tout entier relatif non nul comme racine, factoriser ça sous la forme d'un produit infini sur n de (1-z^2/n^2), identifier les coefficients des facteurs z^2k en développant le produit d'un côté et en utilisant la formule explicite de la série entière de l'autre, et calculer du coup les valeurs paires de zeta en fonction des nombres de Bernoulli; mais ça je sais faire uniquement parce que j'ai déjà vu comment Euler avait lui-même fait (sinon, avouons le franchement, je n'y aurai même jamais pensé).
Mais cependant, pourquoi s'arrêter là ? Les nombres de Bernoulli peuvent être remplacés par des formules faisant intervenir des nombres de Stirling, qui eux-mêmes peuvent être calculés via des opérations simples et en nombre fini...

 #20 - 16-07-2011 23:40:11

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

des sommes abstraitrs

"c'est pas faux"


http://enigmusique.blogspot.com/
 

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