Juste pour savoir les $a_i a_j$ sont deux nombres multipliés entre eux ou ce ne sont que des nombres de deux chiffres ?

Alors en faisant comme je le pense pour le premier :
$$\sum_{i<j} a_i a_j = \sum_{i} a_i a_{i+1} = \sum_{i} a_i \left(\sum_{i} a_i +1 \right) = \sum_{i} a_i ^2+ \sum_{i} a_i$$

$$(\sum_i a_i)^2=2\sum_{i<j}a_ia_j + \sum_i a_i^2$$
On verra pour la suite !

1. $\frac{\left(\sum _i a_i\right){}^2-\sum _i a_i^2}{2}$

2. $\frac{\left(\sum _i a_i\right){}^3+2 \sum _i a_i^3-3 \sum _i a_i \sum _i a_i^2}{6}$

3. $\frac{\left(\sum _i a_i\right){}^4+3 \left(\sum _i a_i^2\right){}^2-6 \sum _i a_i^4-6 \sum _i a_i^2 \left(\sum _i a_i\right){}^2+8 \sum _i a_i \sum _i a_i^3}{24}$

J'aurais du mal à expliquer le raisonnement, car c'est plutôt du tâtonnement

J'ai trouvé mon erreur, je corrige

Voila, j’espère que c'est bon cette fois

A chaque fois on cherche les sommes des différents produits de termes deux à deux, trois à trois, ...

Du coup:
1) $\sum_{i<j}{a_i.a_j} = \frac{(\sum_{i}{a_i})^2-\sum_i{a_i^2}}{2}$
En effet on retrouve les différents produits (avec un facteur 2) dans le développement de la somme au carré, on élimine les autres termes et on divise par 2

2) On développe le cube de la somme, on enlève les termes en cube, tous les autres sont multiples de 3: on divise, puis on se préoccupe des termes en a.b^2. Pour les éliminer, on va ajouter des b^3 pour obtenir une factorisation "somme des carré.somme simple", qu'on élimine aussi. Il ne reste plus que les produits recherchés avec un facteur 2
$$\sum_{i<j<k}{a_i.a_j.a_k} = \frac{(\sum_i{a_i})^3 + 2\sum_i{a_i^3}-3\sum_i{a_i^2}.\sum_i{a_i}}{6}$$
3) On développe la puissance 4 de la somme
On va commencer par le plus compliqué: les termes en a.b.c^2, qui sont précédés d'un facteur 12. L'idée est de les factoriser en c^2.somme des a.b; qu'on sait faire (cf l'étape 1), mais pour cela il nous faut des a.c^3 (autant que de a.b.c^2). Les termes a.c^3 sont précédés d'un facteur 4: il va en falloir 8 de plus
On remarque que le développement "somme des cubes.somme simple" nous donne ces a.c^3, avec un c^4 supplémentaire à chaque fois. Du coup "somme des cubes.somme simple - somme des puissances 4" 8 fois nous donne nos facteurs manquants.
Nos termes en 12.a.b.c^2 deviennent alors 12.c^2.(somme des ai aj) qu'on sait retirer.
Pour les termes en a^2.b^2 (facteur 6), on va les séparer en 2 : ceux qui deviendront a^2(somme des carrés) et ceux qui deviendront b^2(somme des carrés). Pour ça il va donc nous falloir 3 a^4 et 3 b^4 de plus (sachant qu'on en a 1 en rab, 2 suffiront); et on retire 3 "somme des carrés" au carré
Là, c'est tout bon il ne reste que nos termes avec un facteur 24
$$\sum_{i<j<k<l}{a_i.a_j.a_k.a_l} = \frac{(\sum_i{a_i})^4-6\sum_i{a_i^4}+8\sum_i{a_i^3}.\sum_i{a_i}+3(\sum_i{a_i^2})^2-6\sum_i{a_i^2}.(\sum_i{a_i})^2}{24}$$

Pour la première question :
$$\sum_{i;j}a_i a_j = \sum_{i<j}a_i a_j +\sum_{i=j}a_i a_j + \sum_{i>j}a_i a_j$$ $$\Leftrightarrow\left(\sum_i a_i \right)^2 = \sum_{i<j}a_i a_j +\sum_i a_i^2 + \sum_{i<j}a_i a_j$$ $$\Leftrightarrow\sum_{i<j}a_i a_j = \frac{1}{2} \left(\left(\sum_i a_i\right )^2- \sum_i a_i^2\right)$$
Remarque 1 : Ce résultat fait échos à un autre bien connu des statisticiens :
$$\sum_{i<j}cov(a_i a_j) = \frac{1}{2} \left(\left(var\sum_i a_i\right )- \sum_i var(a_i)\right)$$
Remarque 2 :

En fait, cette égalité se vérifie pour tout couple d'applications dont l'une est la forme quadratique associée à l'autre de forme bilinéaire symétrique.

Dans notre exemple, x est la forme bilinéaire symétrique et ² la forme quadratique qui lui est associée.
Dans l'exemple statistique, cov est la forme bilinéaire symétrique et var la forme quadratique qui lui est associée.

En utilisant le produit infini de $\frac{sin(\pi z)}{\pi z}$ trouver des relations entre les $\zeta(2k)$, en déduire des autres relations sur les nombres de Bernoulli.

Si un courageux trouve les sommes d'indices ordonnés de n'importe quel nombre de termes il aura des relations générales.

Scarta où est le produit infini et où sont les nombres de Bernoulli?

"c'est pas faux"