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 #1 - 30-04-2009 20:30:20

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

De ssommes egales à 9 ou à 10

On prend 3 dés. On les lance et on fait leur somme.

Pour obtenir 9 il y a 6 façons: 1+2+6; 1+3+5; 1+4+4; 2+2+5; 2+3+4 et 3+3+3.
Pour obtenir 10 il y a 6 façons:1+3+6; 1+4+5; 2+2+6; 2+3+5; 2+4+4 et 3+3+4.

Si l'on programme un nombre de lancers extrêmement grand, on devrait trouver une probabilité pour trouver 9 et 10 égales grâce à la loi des grands nombres. Mais ce n'est pas le cas.

Pourquoi?



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 #2 - 30-04-2009 20:50:36

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Des sommes egales à 9 ou à 1

Pour l'historique j'ai cherché sur le web (j'avais complètement oublié que cela venait de Galilée).
extrait de la thèse d'Anne-Sophie GODFROY-GENIN -  23 janvier 2004

De la doctrine de la probabilité à la théorie des probabilités
Pascal, la Logique de Port-Royal, Jacques Bernoulli



Galilée l'a montré dans un texte rédigé entre 1613 et 1623 à la demande du Grand Duc de Toscane. (...)
Galilée remarque que les triples ne peuvent être produits qu’une seule manière :
le 3 composé de (1,1,1), le 6 composé de (2,2,2), etc.
Le résultats obtenus avec un double et un chiffre différent sont produits de 3
manières. Par exemple, un 4 obtenu avec deux as et un 2 peut être obtenu en faisant  (1,1,2), (1,2,1) ou (2,1,1).
Quant aux résultats obtenus en additionnant trois chiffres différents, ils peuvent
être produits de 6 manières différentes. Par exemple, un 8 obtenu en additionnant 1, 3 et 4 peut correspondre à (1,3,4), (1,4,3), (3,1,4), (3,4,1), (4,3,1), (4,1,3).
A partir de ce constat, Galilée construit une table qui indique de combien de
manières différentes un résultat est obtenu.  Il calcule que 9 peut apparaître de 25
manières différentes, alors que 10 apparaît de 27 manières différentes, parmi les 216 combinaisons possibles. Il est donc plus facile d’obtenir 10 que 9, mais la différence n’est que d’1/108.


http://enigmusique.blogspot.com/

 #3 - 30-04-2009 21:50:30

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 2×3121

DDes sommes egales à 9 ou à 10

En fait pour obtenir 9 il y a 25 façons :

1 2 6, 1 6 2, 2 1 6, 2 6 1, 6 1 2, 6 2 1
1 3 5, 1 5 3, 3 1 5, 3 5 1, 5 1 3, 5 3 1
1 4 4, 4 1 4, 4 4 1
2 2 5, 2 5 2, 5 2 2
2 3 4, 2 4 3, 3 2 4, 3 4 2, 4 2 3, 4 3 2
3 3 3

Et pour obtenir 10 il y a 27 façons :

1 3 6, 1 3 2, 3 1 6, 3 6 1, 6 1 3, 6 3 1
1 4 5, 1 5 4, 4 1 5, 4 5 1, 4 1 3, 5 4 1
2 2 6, 2 5 6, 6 2 2
2 3 5, 2 5 3, 3 2 5, 3 5 2, 5 2 3, 5 3 2
2 4 4, 4 2 4, 4 4 2
3 3 4, 4 3 4, 4 4 3

Donc il y a plus de chance d'obtenir 10 sur un grand nombre de lancers...

 #4 - 30-04-2009 23:02:20

Farlir
Visiteur

Des sommes egaales à 9 ou à 10

La réponse est simple: les choses sont présentées de façon trompeuses, il y a 6 façon de faire 9 ou 10 mais une probabilité est un rapport et on ne peut comparer deux quantités que si elles sont sur le même rapport.

Pour 3D6, il y a exactement 6^3=216 tirages possibles. Si nous appellons chacun des dés: A, B et C, voici les combinaisons qui peuvent sortir:

_Pour le 9: 1+2+6=>A=1, B=2 et C=6 ou A=1, B=6 et C=2... Je ne vais pas détailler toutes les combinaisons mais vous comprenez bien qu'il y a 6 posibilités pour obtenir ce tirage.
De même pour 1+3+5 et 2+3+4: 6 possibilités. Nous arrivons donc, pour l'instant, à 18 possibilités pour le nombre 9.
Pour la combinaison 1+4+4: soit c'est dé A qui vaut 1, soit c'est B, soit c'est le C; il y a donc 3 possibilités pour ce tirage. De même pour 2+2+5.
Nous arrivons donc à 24 tirages possible.
Pour la dernière combinaison, 3+3+3: il n'y a qu'une seule façon de le faire=>1tirage.

Il y a donc 25 tirages sur 216 qui donnerons la valeur 9.

_Pour la valeur 10, et en faisant la même analyse: 1+3+6 et 1+4+5 et 2+3+5 => 6 possibilités pour chaque => 18 tirages. 2+2+6 et 2+4+4 et 3+3+4 => 3 possibiités pour chaque => 9 tirages.
18+9=27. Il y a donc 27 tirages sur 216 qui donneront la valeur 10.

27/216 n'est pas égal à 25/216. CQFD cool

 #5 - 01-05-2009 12:54:30

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Des sommes egaless à 9 ou à 10

tout simplement parce que l'énoncé est faux.

il n'y a qu'une seule facon de faire 3+3+3 (chaque cube doit avoir un 3)
mais il y a 6 facons de faire 10 avec : 1+6+3:
- 1,3,6
- 1,6,3
- 3,1,6
- 3,6,1
- 6,1,3
- 6,3,1

Donc sans réaranger les cubes, il y a en fait :
- 25 facons de faire un 9 a cause de la permutations des cubes
- 27 facons de faire un 10 pour la meme raison.
Nous avons en conclusion plus de chances d'obtenir un 10.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #6 - 02-05-2009 04:01:48

Bamby
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 4
Messages : 41

Des sommes egalse à 9 ou à 10

tout simplement car chaque "facon" n'est pas equiprobable.

Pour obtenir 9 il y a 6 façons: 1+2+6; 1+3+5; 1+4+4; 2+2+5; 2+3+4 et 3+3+3.
1+2+6 a 6 chances de sortir,
135 aussi,
144 3 chances,
225 3 chances,
234 6 chances,
333 1 chances

soit un total de 25 chances sur 6*6*6 = 216
soit 11.57%

Pour obtenir 10 il y a 6 façons:1+3+6; 1+4+5; 2+2+6; 2+3+5; 2+4+4 et 3+3+4.
136 : 6 chances
145 :  6
226 : 3
235 : 6
244 : 3
334 : 3
soit 27 chances sur 216 :  12.5%

 #7 - 02-05-2009 23:39:30

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Des ssommes egales à 9 ou à 10

Bravo a tous ceux qui ont répondu. A part pour la derniere réponse, tout le monde a trouvé

 

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(2) — Explication par galilee du paradoxe du duc de toscane (2) — Enigme mathematiques grand duc de toscane (2) — Probleme du duc de toscane arbres (2) — Probleme du duc de toscane de galil (2) — Historiques le prince de toscane deaenda un jour a galilee probabilite seconde (2) — Enigme toscane ac ii (2) — Activite de maths galile (2) — Probleme du grand duc solution (2) — Dm maths duc de toscan (2) — On lance 3 deux galilee toscane math (2) — Triple possible pour la somme 10 (2) — Probleme du grand duc toscane (2) — Probleme du duc d toscane resolue par galile (2) — Resolution au probleme du duc de toscane (2) — Le probleme du grand duc de toscane(resolu par galilee xvii) (2) — Exercice de propabilite du duc de troscane (2) — Solution de galilee pour le lancer de des (2) — Resoudre le probleme de toscane (2) — Probleme de duc de toscane (2) — Duc de toscane les 5 possibilite (2) — Probleme duc de toscane galilee (2) — Probleme du prince de toscane (2) — Mathematique duc de toscane (2) — Probabilite avec 3 des somme 9 et 10 (2) — Dm math paradoxe du duc de toscane (2) — Dm probabilite duc de toscane (2) — Jeu du duc de toscane (2) — Differente facons dobtenir 9 avec 3 des (2) — Differentes facon de trouver 10 avec 3 lances de des (2) — Lancement 3 des 9 ou 10 (2) — Mathematiques le probleme du duc (2) — Probleme de galile probabilite (2) — Probabilite d\ avoir une somme egale a 10 (2) — Exercice probabilite duc de toscane (2) — Probleme du duc de toscane probabilites (2) — Comment obtenir un exercice avec 10 un egale trois (2) — G.galilee grand duc toscane 3 des (2) — Resolution probleme du duc de toscane galilee (2) — Uel esle paradoxe du grand duc de toscane (2) — Arbre l obtention de 10 proble de duc toscane (2) — Je suis egal au triple de la somme de quatre et du double de deux ? 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