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 #26 - 09-11-2010 20:11:31

supercab
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 43
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L'hotel dde l'infini

ce probleme ne me semble pas bien pose.

Je vois pas pourquoi. Il est évident que les chambres sont dénombrables puisqu'elle ont un chacun un numéro; de même pour les places des cars.

Comme l'a dit MthS, je fais des maths comme quelqu'un d'autre ferait des mots-croisés. J'ai appris des concept mathématiques qui représentent rarement quelque chose de réel, mais j'aime les manipuler et trouver des résultat surprenant.

D'ailleurs dernièrement j'ai découvert que [latex]\displaystyle\sum\limits_{pgcd(p,q)=1} \frac{1}{p^2q^2}=\frac{5}{2}[/latex] smile

Moi je trouve ça fou big_smile

#0 Pub

 #27 - 09-11-2010 21:00:07

MthS-MlndN
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L'hotel d el'infini

supercab a écrit:

[latex]\displaystyle\sum\limits_{pgcd(p,q)=1} \frac{1}{p^2q^2}=\frac{5}{2}[/latex]

SÉRIEUX ?!

As-tu une démonstration qui traîne quelque part sur le Web ? Parce que ce truc est quand même un résultat incroyable...


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 #28 - 09-11-2010 21:40:09

engine
Professionnel de Prise2Tete
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k'hotel de l'infini

Tu es le seul à t'émerveiller devant un tas de signes échafaudés tout droit sortis du système stellaire de l'étoile du centaure (ce sigma que je vois souvent dans vos réponses O_O).


plouf

 #29 - 09-11-2010 21:44:34

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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L'hotel de l'infii

Le sigma veut dire "somme".

Ce que la formule ci-dessus dit, c'est "je prends tous les couples d'entiers qui sont premiers entre eux, du genre 2 et 5, 14 et 33, 99 et 2000, et tous les autres possibles, ce qui fait quand même une sévère infinité de couples de nombres tous plus bizarres les uns que les autres ; je calcule l'inverse du produit des carrés des nombres de chaque paire, ce qui me fait une infinité de nombres rationnels tous plus moches les uns que les autres (par exemple, mes trois exemples donnent 1/100, 1/213444, et je pense que tu ne veux même pas voir à quoi ressemble le troisième lol) ; je les somme tous, et paf : deux et demi".

Il y a des matheux un peu tarés (dont je dois être, CQFD) qui trouvent une certaine magie dans ce genre de choses lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #30 - 09-11-2010 21:48:47

engine
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 37
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l'hotel de l'infibi

Je ne comprends pas comment la somme d'une infinité de nombres peut donner un nombre bien défini.

Et la somme de tous les entiers naturels ca fait quoi ? ET PAF : 8946532 ? (je crois que j'ai pigé le sigma :p)


plouf

 #31 - 09-11-2010 22:22:46

supercab
Habitué de Prise2Tete
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l'hotel de l'infoni

Oui, je l'ai envoyé en MP à MthS. Voulez-vous que je la poste dans ce topic?

 #32 - 09-11-2010 22:24:37

engine
Professionnel de Prise2Tete
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L'hote lde l'infini

Tu vas obtenir involontairement la prochaine médaille Fields. Je suppose que la démonstration tient dans la marge de ton petit cahier de brouillon.


plouf

 #33 - 09-11-2010 22:24:45

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
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L'hotel de l'iinfini

Oui, je veux bien. Même si à mon avis je ne vais pas y comprendre grand chose. Mais ça m'intéresse tout de même.

Désolé, j'ai fait une fausse manip et j'ai supprimé mon post précédent qui demandait à Supercab si il était sur de son résultat.

 #34 - 09-11-2010 22:30:42

supercab
Habitué de Prise2Tete
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L'hotel de ll'infini

Merci Engine, mais je pense pas que c'est avec ça que j'aurais la medaille Fields ^^. Et la démo ne tient pas dans la marge de mon cahier de brouillon, les 3 dernières lignes dépassent ^^.

Bon plus sérieusement:
Pour comprendre vous avez juste besoin de connaitre un peu les séries:
[TeX](\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2})^2=\sum\limits_{p=1}^n \frac{1}{p^2}*\sum\limits_{q=1}^n \frac{1}{q^2}

(\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2})^2=\sum\limits_{p=1}^n \sum\limits_{q=1}^n \frac{1}{q^2p^2}

(\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2})^2=\sum\limits_{p,q\in [\![1,n]\!] ^2}^n \frac{1}{q^2p^2}[/TeX]
En séparant astucieusement:
[TeX](\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2})^2=\sum\limits_{d=1}^n (\sum\limits_{pgcd(p,q)=d} \frac{1}{p^2 q^2})
[/TeX]
En gardant toujours [latex]p, q \in [\![1,n]\!] [/latex] (je dis ça parce que je n'arrive pas à écrire deux choses sous la somme.)

En effet, deux nombre compris entre 1 et n'ont pas un pgcd supérieur à n.

ensuite on fait le changement d'indice p'=p/d et q'=q/d:
[TeX](\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2})^2=(\sum\limits_{d=1}^n \frac{1}{d^4}) (\sum\limits_{pgcd(p\prime,q\prime)=1} \frac{1}{p\prime ^2 q\prime^2})
[/TeX]
avec encore et toujours [latex]p\prime, q\prime \in [\![1,n]\!] [/latex].

d'où:
[TeX]\sum\limits_{pgcd(p\prime,q\prime)=1} \frac{1}{p\prime ^2 q\prime^2}=\frac{(\sum\limits_{k=1}^\n \frac{1}{k^2})^2}{\sum\limits_{d=1}^\n \frac{1}{d^4}}[/TeX]
Et donc, en passant à la limite sur n:
[TeX]\sum\limits_{pgcd(p\prime,q\prime)=1} \frac{1}{p\prime ^2 q\prime^2}=\frac{(\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2})^2}{\sum\limits_{d=1}^\infty \frac{1}{d^4}}[/TeX]
avec [latex]p\prime, q\prime \in N [/latex]

Or les somme de Riemann se calculent:
[TeX]\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}
[/TeX]
et
[TeX]\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4}=\frac{\pi^4}{90}
[/TeX]
Donc finalement:
[TeX]\sum\limits_{pgcd(p\prime,q\prime)=1} \frac{1}{p\prime ^2 q\prime^2}=\frac{(\frac{\pi^2}{6})^2}{\frac{\pi^4}{90}}=\frac{5}{2} [/TeX]

 #35 - 09-11-2010 22:33:51

engine
Professionnel de Prise2Tete
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L'hhotel de l'infini

Très intuitif. neutral

Au passage, tu connais un tutoriel pour le code latex ?


plouf

 #36 - 09-11-2010 22:37:56

supercab
Habitué de Prise2Tete
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l'hotek de l'infini

Au passage, tu connais un tutoriel pour le code latex ?

Je connais une page qui résume quelques symboles mathématiques:
http://w2.syronex.com/jmr/tex/latex-symbols.

Mais sinon j'en ai pas de particulier; quand je cherche une commande, je demande à Google.

 #37 - 09-11-2010 22:39:14

engine
Professionnel de Prise2Tete
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l'hotek de l'infini

Merci.


plouf

 #38 - 09-11-2010 22:48:10

MthS-MlndN
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l'hotel de l'infinu

Plusieurs réponses en vrac :

@ tout le monde : je pense que la démonstration de supercab comporte une erreur, qui se corrige facilement, sans changer la validité du résultat ; débat à suivre ;

@engine :

- la page Wikipedia m'aide pas mal : http://fr.wikipedia.org/wiki/Aide:Formules_TeX

- si tu sommes des choses qui sont "de plus en plus petites" (qui tendent vers zéro), il est possible que tu obtiennes quelque chose de fini... c'est la fameuse histoire d'Hercule et la tortue : on fait une somme infinie de distances (100 m + 10 m + 1 m + 0,1 m + ...), mais au 112e mètre, la tortue s'est faite dépasser. Rien à voir avec ta somme des entiers, qui elle, pour le compte, ne donne que dalle, ce qui semble logique.


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 #39 - 09-11-2010 23:38:40

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
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l'hoyel de l'infini

J'ai beau me torturer l'esprit, je n'arrive pas à comprendre d'où sort cette égalité par rapport à ce qui précède. Et que sont p et q dans cette histoire ?
[TeX](\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2})^2=\sum\limits_{d=1}^n (\sum\limits_{pgcd(p,q)=d} \frac{1}{p^2 q^2})<br />[/TeX]

 #40 - 10-11-2010 00:09:43

MthS-MlndN
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L'hhotel de l'infini

[TeX]\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}[/latex] te donne [latex]\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{n^2}[/latex].

Au carré : [latex]\left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \right)^2 = \left( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{n^2} \right) \left( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{n^2} \right)[/TeX]
Si tu développes, ça te donnera [latex]\sum_{p=1}^n \sum_{q=1}^n \frac{1}{p^2} \frac{1}{q^2}[/latex] (on choisit de nommer nos variables p et q, mais ce sont des variables "muettes", tu peux leur donner d'autres noms si tu veux... Le principe, c'est juste que tu développes un produit de deux sommes, ce qui te donne la somme de tous les produits que tu peux former en prenant un élément dans la première somme et un élément dans la deuxième.

Cette somme qu'on obtient, on peut la séparer comme on veut. Et vu qu'on veut arriver à des [latex]pgcd[/latex], on choisit de séparer toutes les paires [latex](p,q)[/latex] possibles (pour n'importe quel p entre 1 et n et n'importe quel q de 1 à n) selon le [latex]pgcd[/latex] de p et q. C'est un simple choix. On sait que deux nombres inférieurs ou égaux à n auront un [latex]pgcd[/latex] inférieur ou égal à n, donc on peut séparer la grande somme en "somme pour les paires de pgcd 1 + somme pour les paires de pgcd 2 + ... + somme pour les paires de pgcd n" (en fait, le "s" à la fin du dernier "sommes" ne sert à rien, mais on s'en fout lol).

J'espère que tu as compris mon explication smile

C'est l'étape d'après qui me gêne, je dois en rediscuter avec supercab big_smile


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 #41 - 10-11-2010 11:22:53

rivas
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L'hotel de l'innfini

Je pense aussi que je bloque dans le changement de variable. Il me semble que des choses existants plusieurs fois ne sont comptées qu'une fois.

Une façon simple de se faire une idée serait une application numérique. Ce genre de suite converge très vite en général, on pourrait donc voir très vite si ca s'approche de 5/2 ou pas.

Sur le fond, je trouve personnellement une certaine beauté artistique aux mathématiques et aux concepts que l'on y rencontre, comme on peut le faire pour de la musique ou de la peinture (ou tout autre art). Et comme pour la musique et la peinture une formation est nécessaire pour pouvoir réellement les apprécier et en comprendre toute la beauté/complexité. Cela n'est pas faire injure à ceux qui n'ont pas eu la chance d'avoir cette formation de le dire mais cela n'est pas "fair-play" non plus de dire à ceux, chanceux, qui l'ont reçu et qui peuvent le voir qu'ils sont "malades" smile

C'est aussi pour cela que j'aime énormément l'arithmétique parce que cette beauté s'y exprime grâce aux concepts mathématiques les plus simples: les nombres. En fait ce ne sont pas les plus simples mais ceux avec lesquels nous croyons être les plus familiers (les fonctions et les vecteurs par exemple sont à mes yeux des concepts beaucoup plus simples que les nombres dans leur plus grande généralité). D'ailleurs à une question de mon fils: "Papa, qu'est-ce c'est les nombres?" je dois dire que j'ai eu beaucoup de mal à répondre...
[TeX]e^{i\pi}+1=0[/TeX]
Somme et conjecture de Riemann
Théorème de Fermat
Pi
Nombres transcendants (Liouville)

 #42 - 10-11-2010 13:06:08

MthS-MlndN
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l'hptel de l'infini

Ce genre de suite converge très vite en général

Pas persuadé sur ce coup-là, à cause de la quantité énorme de paires de nombres (p,q) (même "ordre de grandeur" que le cardinal de N x N) telles que pgcd(p,q)=1 et des carrés au dénominateur.
Si un Scarta fou veut essayer... big_smile


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 #43 - 10-11-2010 17:27:25

supercab
Habitué de Prise2Tete
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L'hotel de l'ifnini

En effet il y a un problème:

J'ai écrit:

ensuite on fait le changement d'indice p'=p/d et q'=q/d:
[TeX](\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2})^2=(\sum\limits_{d=1}^n \frac{1}{d^4}) (\sum\limits_{pgcd(p\prime,q\prime)=1} \frac{1}{p\prime ^2 q\prime^2})[/TeX]
avec encore et toujours : [latex]p\prime, q\prime \in [\![1,n]\!][/latex] .

En fait,  [latex]p\prime, q\prime \in [\![1,\lfloor\frac{n}{d}\rfloor]\!][/latex]

Pour résoudre ce problème, il faut dire que [latex]\sum\limits_{\{{pgcd(p\prime,q\prime)=1\\p,q\in \mathbb{N}}} \frac{1}{p\prime^2 q\prime^2}[/latex]  existe car la suite [latex](\sum\limits_{\{{pgcd(p\prime,q\prime)=1\\p,q\in [\![1,n]\!]}} \frac{1}{p\prime^2 q\prime^2})_{n\in \mathbb{N}}[/latex] est croissante et majorée par [latex]\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4}[/latex] ;

On peut ainsi passer à la limite sur n plus tôt, ce qui nous donne:
[TeX](\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2})^2=\sum\limits_{d=1}^\infty (\sum\limits_{pgcd(p,q)=d} \frac{1}{p^2 q^2})
[/TeX]
Puis le changement d'indice:
[TeX](\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2})^2=\sum\limits_{d=1}^\infty \frac{1}{d^4}\sum\limits_{pgcd(p\prime,q\prime)=1} \frac{1}{p\prime^2 q\prime^2}
[/TeX]
Et donc on retrouve correctment :
[TeX]\sum\limits_{\{{pgcd(p\prime,q\prime)=1}\\p,q\in \mathbb{N}} \frac{1}{p\prime ^2 q\prime^2}=\frac{(\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2})^2}{\sum\limits_{d=1}^\infty \frac{1}{d^4}}=\frac{5}{2}[/TeX]
J'espère que c'est bon maintenant big_smile

 #44 - 10-11-2010 18:38:36

engine
Professionnel de Prise2Tete
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Lh'otel de l'infini

MthS-MlndN a écrit:

Plusieurs réponses en vrac :

@ tout le monde : je pense que la démonstration de supercab comporte une erreur, qui se corrige facilement, sans changer la validité du résultat ; débat à suivre ;

@engine :

- la page Wikipedia m'aide pas mal : http://fr.wikipedia.org/wiki/Aide:Formules_TeX

- si tu sommes des choses qui sont "de plus en plus petites" (qui tendent vers zéro), il est possible que tu obtiennes quelque chose de fini... c'est la fameuse histoire d'Hercule et la tortue : on fait une somme infinie de distances (100 m + 10 m + 1 m + 0,1 m + ...), mais au 112e mètre, la tortue s'est faite dépasser. Rien à voir avec ta somme des entiers, qui elle, pour le compte, ne donne que dalle, ce qui semble logique.

Je connais effectivement ce problème. Alors déjà on fait gaffe à la réalité quand on fait ça, ce n'est pas des maths totalement pures smile ouf
Et dans l'infiniment grand ?Parce que dans l'infini petit OK, mais dans l'infiniment grand, on s'arrête quand ?


plouf

 #45 - 10-11-2010 19:44:49

Nombrilist
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L'hotel de l'infinni

Dans l'infiniment grand, la série ne converge pas, et donc, on ne peut pas lui donner de valeur. Le calcul s'arrête là.

Merci Mths, j'ai bien compris sur le principe, mais je n'arrive pas à imaginer que
[TeX]\sum\limits_{d=1}^n (\sum\limits_{pgcd(p,q)=d} \frac{1}{p^2 q^2})<br />[/TeX]
et
[TeX]\sum\limits_{p=1}^n \sum\limits_{q=1}^n \frac{1}{q^2p^2}<br />[/TeX]
soient la même chose. Autrement dit, que les deux façons de faire balaient les entiers de la même manières. Mais je suppose que ça n'est pas possible d'expliquer. Soit on le voit, soit on ne le voit pas.

Et dire que j'ai quand même fait BCPST.

 #46 - 10-11-2010 20:23:27

rivas
Elite de Prise2Tete
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l'hotel se l'infini

Sinon, on pourrait écrire des choses comme:

S=1+2+4+8+16+32+64+...

1+2+4+8+16+32+64+...=1+2(1+2+4+8+16+32+...)

Donc S=1+2S
Donc S=-1

1+2+4+8+16+32+64+...=-1

Ceci étant dit, il y a des problèmes sans qu'on ait besoin de l'infiniment grand:
S=1-1+1-1+1-1+1-1+....
S=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+....=1+0+0+0+...=1
Mais S=(1-1)+(1-1)+(1-1)+...=0+0+0+0+...=0
Lorsqu'il y a une infinité de nombres, l'addition n'est plus associative sans une condition supplémentaire...

 #47 - 10-11-2010 21:59:10

engine
Professionnel de Prise2Tete
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l'hotem de l'infini

Nombrilist a écrit:

Dans l'infiniment grand, la série ne converge pas, et donc, on ne peut pas lui donner de valeur. Le calcul s'arrête là.

là ? où ça ? Si la réponse exige encore de grandes formules mathématiques avec plein de [latex]\sum[/latex] dans tous les sens, ce n'est pas la peine. hmm


plouf

 #48 - 10-11-2010 23:38:29

nono2
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 308

L'hottel de l'infini

ouf ! tant qu'on est dans l'ensemble N on peut tout essayer. Mais perso je n'arrive pas à valider (et vérifier) tant d'égalités et d'équivalences comme ça, en changeant (trop abruptement) les variables...

application possible ? Précisions sur les intervalles ? j'ai du mal avec les changements de variables (ben oui) et les écritures avec les exponentielles, là.

 #49 - 11-11-2010 11:28:18

Yannek
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Messages : 60

L'hottel de l'infini

D'accord avec la démo (corrigée) de supercab :

@rivas : ce que tu écris est vrai, mais ici, pas de problème d'associativité, avec les séries à termes positifs, tout est permis ! (si elles convergent, c'est absolument, ce qui autorise l'interversion des termes sans changer la somme, et si elles ne convergent pas absoluement c'est qu'elles divergent, elles tendent vers l'infini quelque soit l'ordre de sommation)

@Nombrilist : les deux sommes indiquées sont bien identiques : deux nombres entre 1 et n ont un (et un seul!) pgcd entre 1 et n.
Donc
[TeX]\{(p,q)|1\leq p,q\leq n\}=\bigcup_{d=1}^n\{(p,q)|1\leq p,q\leq n\text{ et } pgcd(p,q)=d\}[/TeX]
où l'union est bien sûr disjointe (deux nombres n'ont qu'un pgcd).

 #50 - 11-11-2010 11:54:19

rivas
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l'hitel de l'infini

@Yanneck: la série n'est pas à termes positifs si tu parles de celle pour laquelle je parle d'associativité smile +1 -1 ... La condition supplémentaire pour que l'associativité existe est justement la convergence de la série, que nous n'avons pas ici (2 valeurs d'adhérence: les sous-suites de rangs pairs et impairs par exemple).

Les 2 exemples ont toutefois le même but: montrer que les opérations usuelles et les règles habituelles de manipulation ne sont valides que pour un nombre fini de termes. Lorsque le nombre de termes devient infini, des conditions supplémentaires pour pouvoir continuer à les appliquer sont nécessaires (convergence simple ou absolue suivant les cas) ce qui est la source d'un très grand nombre de paradoxes.

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