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 #1 - 17-02-2011 23:05:10

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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Lieu: Jacou

paradpxe de l'infini

Il est amusant de voir combien il est facile d'être pris au dépourvu dès qu'on manipule l'infini sans précaution. J'ai inventé ça il y a bien longtemps lorsque j'étais en terminale et ça m'est revenu récemment lors d'une discussion sur ce sujet (j'ai des discussions bizarres parfois smile ).

Comme c'est plutôt difficile à mettre sous forme d'énigme sous le format habituel, j'adapte un peu. Les mathématiciens et physiciens de ce forum, habitués à jouer avec l'infini ne seront sans doute pas surpris mais j'espère que certaines personnes seront engluées dans ce paradoxe (je suis un peu sadique smile ). Tous vos commentaires constructifs sont les bienvenus.

Comme tous les paradoxes de ce genre, la discussion ne porte pas sur un détail physique (du genre on ne peut pas contruire cet objet infini, le diamètre devient trop petit, ...) mais sur l'abstraction elle-même.

Je construis donc un entonnoir infini un peu spécial: je prends un tonneau cylindrique mathématique (parfaitement régulier donc) d'un mètre de rayon intérieur et d'un mètre de hauteur intérieure (intérieur veut dire ici surface et volume utile). Je pose dessous un tonneau cylindrique de 1/2 mètre de rayon intérieur et d'un mètre de hauteur intérieure. Puis encore dessous un tonneau de 1/3 de mètre de diamètre rayon intérieur et toujours d'un mètre de hauteur le long de l'axe de symétrie des cylindres.
Je supprime ensuite le disque central des faces supérieures et inférieures des tonneaux pour que le volume intérieur soit d'un seul tenant. Cela fabrique un entonnoir "discret".
Je continue mon entonnoir avec une infinité de tonneaux de plus en plus petits, les rayons diamètres étant de 1/n et les hauteurs de 1 mètre.

Question 1: Quelle est le volume intérieur de cet entonoir?
Question 2: Quelle est la surface intérieure des surfaces verticales?

La surface intérieure totale est plus grande puisque dans la question précédente, on n'a pas compté la surface des couronnes.

Quel est le paradoxe?

Spoiler : Pensée finale Le même genre de paradoxe en dimensions 1 et 2 est beaucoup plus facile à appréhender (peut-on tracer un trait de longueur infinie à l'intérieur d'une surface finie)



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 #2 - 17-02-2011 23:14:15

Seanbateman
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 321
Lieu: Toujours à l'énigme 3

Paradoxe de l'infni

J'ai inventé ça il y a bien longtemps lorsque j'étais en terminale et ça m'est revenu récemment lors d'une discussion sur ce sujet

Moi à 23h je ne me rappel même plus où sont mes lunettes.


Quand on ne sait rien, on peut tout de même trouver des choses, avec de l'imagination. [Boris Vian]

 #3 - 17-02-2011 23:30:13

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

paradoxe de l'ingini

Si j'ai bien tout pigé, ça aura une sorte de forme d'antenne téléscopique, c'est ça ?

Je sens venir la surface infinie et le volume fini, mais on va faire les calculs quand même big_smile

Volume d'un tonneau de hauteur 1 mètre et de rayon r : [latex]\pi r^2[/latex]
Surface de la paroi verticale du même tonneau : [latex]2 \pi r[/latex]

Volume de ton "entonnoir téléscopique" : [latex]\lim_{N \to \infty} \sum_{i=1}^N \frac{\pi}{i^2} = \frac{\pi^3}{6}[/latex] car, si je me souviens bien, on doit a Euler la superbe [latex]\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^2} = \frac{\pi^2}{6}[/latex].

Surface dudit entonnoir : [latex]\lim_{N \to \infty} \sum_{i=1}^N \frac{2 \pi}{i} = \infty[/latex].

On a donc, oh tiens, un solide de surface infinie et de volume fini.

En remplaçant ta somme par une intégrale, on tombe sur la trompette de Gabriel :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Trompette_de_Gabriel

Et cet article fait superbement ressortir ledit paradoxe : on pourrait remplir complètement cet entonnoir avec un volume d'eau fini, mais on a l'impression qu'il nous faudrait un volume infini d'eau pour recouvrir la paroi. L'erreur que l'on fait est d'associer toujours une certaine épaisseur a la couche d'eau qui "couvrirait" la paroi intérieure, alors que cette épaisseur deviendra forcément plus petite que la demi-section de l'entonnoir après une distance finie.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #4 - 17-02-2011 23:33:58

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1448

Paradoxe ed l'infini

Le volume d'un cylindre étant de Pi/4n^2, le volume total est donc de [latex]\frac{\pi}{4} \sum^\infty \frac{1}{n^2}[/latex], qui converge vers [latex]\frac{\pi^2}{24}[/latex]

La surface d'un cylindre est de Pi/n, la surface totale est donc de [latex]\pi \sum^\infty \frac{1}{n}[/latex] qui diverge: surface infinie donc

 #5 - 17-02-2011 23:49:30

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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Lieu: Jacou

parasoxe de l'infini

Très bonne réponse de Mathias (en 15 minutes seulement, tu restes rivé devant ton ordinateur ou quoi? smile).
Et merci pour la référence. Je ne connaissais pas mais je suis content d'avoir découvert ça. Je n'avais pas pensé à en faire une version continue.

scarta y est presque, juste une petite correction et une petite conclusion.

 #6 - 17-02-2011 23:51:41

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Rouen

Paradoxe de 'infini

Je ne suis pas rivé devant mon ordi, j'ai juste fait ma petite visite de P2T "avant le coucher" au moment où tu postais ton énigme smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #7 - 18-02-2011 00:27:12

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3324

Paradoxe ed l'infini

Le paradoxe c'est que le volume est fini alors que l'aire est infinie.


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #8 - 18-02-2011 01:06:26

L00ping007
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Lieu: Paris

Paradoxe de l'infin

Le volume se calcule en sommant les volumes de chaque cylindre de hauteur h et de rayon [latex]\frac1n[/latex]
[TeX]V = \sum_{n=1}^{+\infty}h\pi (\frac1n)^2[/TeX]
On obtient (après correction de la petite boulette)  [latex]V = \frac{\pi^3}{6}[/latex]


Pour la somme, je calcule la somme jusqu'à N seulement (je sens venir l'infini ...) des volumes intérieurs des cylindres de hauteur h et de rayon [latex]\frac1n[/latex]
[TeX]S_N=\sum_{n=1}^Nh.2\pi\frac1n[/TeX]
et [latex]S_N=2\pi h\sum_{n=1}^N\frac1n[/latex] qui tend vers l'infini quand N tend vers l'infini.

Notre entonnoir a donc un volume fini, alors que sa surface est infinie ! Je vois poindre le bout du nez d'un paradoxe, ici smile

Curieux, je cherche un peu et tombe sur cette page, qui évoque la version continue de ton entonnoir, inventée par Torricelli au XVIIème et qu'il nomma Trompette de Gabriel.

Nous sommes choqués par l'idée d'un objet ayant un volume fini, mais une surface infinie, car pour nous la notion de surface est liée à la quantité de peinture qu'il nous faudrait pour recouvrir entièrement l'objet. Alors comment se peut-il que nous puissions remplir le volume avec une quantité finie de peinture, mais que pour le peindre, il nous en fasse une infinité ?

Tout simplement parce qu'à partir d'un certain moment, nous ne pouvons plus peindre ! Le rayon du cylindre devient trop petit comparé à l'épaisseur (forcément non nulle) de notre couche de peinture smile Pendant que nous nous arrêtons de peindre, le volume continue indéfiniment.

Oui, indéfiniment en surface, et même en longueur, et c'est un second paradoxe qui a beaucoup perturbé les savants de l'époque. Comment un solide de longueur infinie pouvait avoir un volume fini ?


Notons qu'à l'époque, le calcul intégral n'existait pas encore (merci Newton/Leibniz), et donc dans sa version continue, Torricelli a du appliquer la méthode des indivisibles pour calculer volume et surface. Cette méthode inventée par son maître Cavalieri est en fait précurseur du calcul infinitésimal.



Merci pour cette petite énigme qui m'a appris plein de chose smile

 #9 - 18-02-2011 03:36:20

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
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Lieu: dans une chambre universitaire

paradoxe fe l'infini

Le volume totale de l'entonnoir est la somme de chaque volume cylindrique :
[TeX]V_t=\sum \pi R^2 h \\[/TeX]
avec h=1 on revient à :
[TeX]V_t=\sum \pi R^2\,=\,\pi + \frac{\pi}{2^2}+...+\frac{\pi}{n^2}\,=\,\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi}{n^2}\,=\,\pi \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\,=\,\pi \, \frac{\pi^2}{6}\,=\,\frac{\pi^3}{6}[/TeX]
Pour la surface on résout de la même manière :
[TeX]S_t=\sum 2\pi R h \\[/TeX]
avec h=1
[TeX]S_t=\sum 2\pi R \,=\,2\pi + \frac{2\pi}{2}+...+\frac{2\pi}{n}\,=\, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\pi}{n}\,=\, 2\pi \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \,=\, 2\pi \, \infty\\
S_t=\infty[/TeX]
Le paradoxe se caractérise par le fait que l'on ait un objet de volume fini, mais de surface infini. Ce qui parait plutôt aberrant en soit mais bien réel.

Pour la pensée finale on se trouve dans le même cas, si l'on trace un trait d'épaisseur infinitésimale, alors on pourra obtenir un trait de longueur infini dans une surface finie.

Pour la culture générale, on se ramène a des objets tels que les fractales, dont la surface est infini également, par exemple le flocon de neige.

 #10 - 18-02-2011 07:02:19

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Lieu: UK

Paadoxe de l'infini

Les séries de Riemann s’écrivent ainsi :
[TeX]S_\alpha=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n^\alpha}[/TeX]
La surface intérieure des tonneaux est [latex]2\pi S_{\alpha=1}[/latex], résultat proportionnel à la suite harmonique qui diverge.

Le volume intérieure des tonnes est égal à [latex]\pi S_{\alpha=2}[/latex], résultat qui converge vers [latex] \frac{\pi^3}{6}[/latex].

Donc, pour un volume borné, la surface peut être infinie...

Je laisse aux autres les élucubrations autour de ce paradoxe.


The proof of the pudding is in the eating.

 #11 - 18-02-2011 08:55:12

rivas
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Jacou

paradoxe de l'unfini

@shadock: réponse minimaliste mais correcte sur le paradoxe.
@L00ping007: Petite erreur de calcul sur le volume mais ne faussant pas le résultat final. Merci pour les idées partagées dans l'analyse du paradoxe.
@mitsuidewi: Très bonne réponse. Par contre je ne pense pas que la phrase sur les fractales soit vrai dans le cas général ni dans le cas du flocon: sa surface est par exemple entièrement comprise dans un carré de dimensions finies.
@franck: Bonne réponse. Dommage de n'avoir pas élucubré un peu avec nous smile

@Autres (et surtout à ceux qui ne répondent pas habituellement): n'hésitez pas à vous lancer. Il n'y a besoin que de 2 tous petits résultats mathématiques facilement trouvables sur Internet.  Spoiler : [Afficher le message] http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Riemann . Après vous pourrez jouer (ou mieux à une lettre près) du paradoxe smile

 #12 - 18-02-2011 09:23:06

gasole
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paradoxe de l'ingini

Personnellement, je connais. Je vais me contenter de gloser smile

Alors, on essaie de fabriquer des instruments de musique bizarres ? wink : http://fr.wikipedia.org/wiki/Trompette_de_Gabriel

Pour la pensée finale, je dirais que l'analogue en dimension inférieure est "peut-on enfermer une surface finie dans un périmètre infini ? Et la réponse est oui bien sûr, il n'y a qu'à considérer la surface sous le graphe de la fonction f(x)=exp(x) entre 0 et 1.

Mais même avec une courbe fermée, c'est possible, c'est ce que permettent les fractales (le flocon de Koch ferait l'affaire. Et ce flocon en 3D permet d'enfermer un volume fini dans une surface infinie FERMÉE ce que n'est pas la trompette de Gabriel !

En revanche (comme dit dans l'article wikipedia), il est impossible d'enfermer un volume infini dans une surface finie.

 #13 - 18-02-2011 10:03:41

halloduda
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aradoxe de l'infini

Le lapsus dans l'énoncé a été corrigé, c'est le rayon du 3ème cylindre qui vaut 1/3 mètre, pas le diamètre.

Q1)
Le volume total est la somme des volumes des cylindres, soit [latex]\pi(1+\frac 1 {2^2}+\frac 1 {3^2}+...)[/latex] = [latex]{\frac {\pi^3} 6}[/latex].
Q2)
La surface intérieure est la somme de [latex]\pi[/latex] (surfaces horizontales)
et de [latex]2\pi(1+\frac 1 2+\frac 1 3+...)=\infty[/latex] (surfaces verticales).

A propos du paradoxe, un volume fini peut très bien avoir une surface infinie.
Il suffit qu'il ait une ou plusieurs "pointes" infiniment fines, ou un nombre infini de pointes.

Le même genre de paradoxe en dimensions 1 et 2 est beaucoup plus facile à appréhender (peut-on tracer un trait de longueur infinie à l'intérieur d'une surface finie)

Oui, on peut.
Etant donné L arbitrairement grand, on peut toujours construire une spirale de longueur L+1 dans la surface finie, c'est la définition de l'infini.
Ou y mettre une fractale (surface finie à périmètre infini).

 #14 - 18-02-2011 11:16:38

rivas
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paradoxe de l'infinu

Bonne réponse d'halloduda qui me fait remarquer une erreur dans l'énoncé (que m'a aussi fait remarquer scarta par MP). Je l'ai corrigée et on ne parle plus que de rayons. Cela ne change que le résultat numérique de Q1 et Q2 mais pas la nature du problème.

@halloduda: Le résultat reste quand même paradoxal au premier abord et perturbe l'intuition. On peut lever le paradoxe par un raisonnement mathématique évidemment.

 #15 - 18-02-2011 12:19:39

gasole
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paradoxe de l'indini

Et pour compléter ma réponse, à la question "est-il possible d'enfermer une courbe (de longueur) infinie dans une surface finie ?", la réponse est encore oui, et le flocon de Koch encore un exemple : son périmètre est infini et pourtant il est entièrement enfermé dans ce qu'on veut, un cercle disons.

http://storage.canalblog.com/28/18/210892/27880180.png

 #16 - 18-02-2011 12:19:48

Franky1103
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aradoxe de l'infini

Bonjour,
En effet, V=pi x somme (1/n2) qui est convergent et S = 2 x pi x somme (1/n) qui est divergent (et "encore plus" car S est "sous-évaluée"): nous avons donc un volume fini dans une surface infinie.
Au lycée, j'avais un "cauchemar" similaire: je prend un parallélipipède "unitaire" 1 x 1 x 1 (on appelle ça un cube, je crois) et, à chaque étape je l'allonge 4 fois en divisant par 2 ses deux autres côtés: le volume ne change pas (=1), mais la surface enveloppe tend vers l'infini.
Bonne journée.
Frank

 #17 - 18-02-2011 12:46:33

mitsuidewi
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pzradoxe de l'infini

JE pense que tu es tombé dans ton propre paradoxe, enfin si je ne m'abuse. Car pour l'exemple du flocon de neige, il a bien une surface limité, comme tu le dis, par contre concernant le périmètre c'est autre chose. Le but du fractal est que tu peux toujours le prolonger par sa même forme mais en plus petit. Je m'exprime mal, mais google le fait très bien lui.
Le paradoxe est le même, à une dimension près. Ici la surface est finie, alors que le périmètre est infini.

# Je viens de remarquer que j'avais écris le contraire lors de mon précédent poste, désolé pour ça. #

 #18 - 18-02-2011 18:25:41

looozer
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Paradoxe de l'infin

Pour le volume : Pi³/6
Pour l'aire : l'infini

On a donc un volume fini et une aire infinie, je suppose que c'est le paradoxe.
Ca me fait penser aux fractales qui ont souvent ce comportement.

 #19 - 18-02-2011 21:18:03

Nombrilist
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Paraadoxe de l'infini

Le volume est fini, mais la surface semble infinie ? Effectivement, ça perturbe la tête.

 #20 - 21-02-2011 14:44:19

rivas
Elite de Prise2Tete
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Paradoxe de l'ifini

Bonne réponse des derniers participants.

Le paradoxe apparent (car ce n'en est pas un en réalité) est qu'on pourrait remplir ce volume de peinture et même le faire déborder sans pourtant avoir assez de peinture pour en couvrir les faces.

De bonnes réponses expliquent pourquoi, je ne répeterai donc pas.

Merci pour les liens sur la trompette de Gabriel.

Qui pourrait donner un exemple simple à concevoir en dimensions 3 et 4? Un volume de dimension 3 infini dans une volume fini en dimension 4? Je n'arrive pas à trouver une représentation simple?

Merci d'avoir participé.

 #21 - 21-02-2011 16:35:41

scarta
Elite de Prise2Tete
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Paraadoxe de l'infini

Image le croisement d'une bouteille de Klein et d'une fractale smile

 #22 - 21-02-2011 17:54:25

rivas
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Paradoxxe de l'infini

C'est malin, j'ai un torticolli maintenant smile

Dans un espace de dimension 4: X,Y,Z,T (temps).
Plus sérieusement: Est-ce qu'un volume infini qui n'existe qu'entre 2 instants t1 et t2 répond à la question? J'aurais tendance à dire oui mais c'est délicat. J'atteins mes limites abstractives... smile

 #23 - 21-02-2011 19:18:15

gasole
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Paradoxe de li'nfini

@Rivas : en 3D, comme je te l'ai signalé, le flocon en version 3D fait l'affaire, je suppose qu'on peut sans problème concevoir un flocon en 4D : tu pars d'un hyper-tétraèdre (toute les coordonnées sont finies) et tu appliques l'algorithme de construction du flocon... ne pas chercher à le visualiser sous peine de folie furieuse.

En revanche, icise trouve une magnifique explication vidéo des dimensions supérieures...

 #24 - 21-02-2011 23:26:28

rivas
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Paradoxe d l'infini

@gasole: Merci pour ce lien.
J'en ai regardé des petits morceaux, ça a l'air très pédagogique. Je regarderai tout ça.

Je ne suis pas sûr de ta phrase: en 3D, le flocon 3D fait l'affaire. Pour moi un flocon 3D est une surface, donc de la D2 dans un espace 3D.

L'idée de l'hyper-tetraèdre est plus sympa mais aussi un peu délicate à visualiser, d'où ma question sur le temps...

 #25 - 22-02-2011 09:55:02

scarta
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1448

Paradoxe de l''infini

De toutes façons, pour tout ce qui dépasse les 3 dimensions, on ne peut visualiser que la projection dans un espace en 3D; un peu comme quand on dessine un objet 3D sur une feuille: c'est la projection 2D de cet objet

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