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 #1 - 08-11-2010 14:46:44

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

pmuviométrie

Un peu de géométrie de ma part (pour changer de l'arithmétique).

Lors des dernières fortes pluies, je voulais mesurer quelle hauteur d'eau il allait tomber.
J'ai donc placé ma poubelle de jardin au milieu d'une zone dégagée. La pluie tombait verticalement (pour simplifier smile).

Ma poubelle de jardin peut être assimilée à un tronc de cône parfait de 55 cm de hauteur. Le diamètre de la partie intérieure du fond est 32cm et celui de la partie la plus haute 40cm.

A la fin de l'épisode pluvieux, j'ai pu mesurer 11cm d'eau au fond de la poubelle.

Quelle était la hauteur d'eau reçue au sol pendant cet épisode? La case réponse valide la réponse en mm arrondi au plus proche.

Question subsidiaire: Avec les mêmes données, quelle aurait été cette hauteur si la pluie était tombée avec un angle constant de 30° avec la verticale?

Amusez-vous bien.



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 #2 - 08-11-2010 16:33:09

Yannek
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 60

Pluuviométrie

Soit h la distance du centre du fond de la poubelle au sommet du cône. D'après le théorème de Thalès (55+h)/h=40/32 soit h=220cm.

La distance du centre du disque formé par la surface de l'eau au sommet du cône est donc h'=220+11=231cm.

Le volume d'eau est [latex]V=\frac 13 231\times\left(16*\frac{231}{220}\right)^2\pi -\frac 13 220\times 16^2\pi=\frac{221936\pi}{75}~cm^3[/latex]

La surface correspondante est de [latex]S=0,2^2\pi=0,04\pi~m^2[/latex]

Or un centimère cube par mètre carré correspond à une hauteur de 0,001mm réparti sur une surface carrée de 1m.

Ainsi, la hauteur recherchée est :
[TeX]H=\frac V{0.04\pi}*10^{-3}=\frac{27742}{375}\approx 74mm[/TeX]
Si la pluie ne tombe pas verticalement, cela ne change rien... (pourvu que l'angle soit strictement inférieur à 90° smile

Edit Sauf erreur de ma part :

******                ******
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  \__/                  \__/

c'est pareil ! Le volume d'eau recueilli ne dépend que de la surface supérieure du récipient, pas de l'inclinaison de la pluie ! (d'ailleurs, comment pourrait-on mesurer les mm d'eau tombée, avec une pluie irrégulière et tourbillonante, s'il en était autrement ?)

 #3 - 08-11-2010 16:53:10

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Pluviométtrie

L'eau est tombée dans un cercle de 40 cm de diamètre, et a atterri dans une section de cône de diamètre minimal [latex]2 R_m = 32~cm[/latex] et de diamètre maximal [latex]2 R_M = 32+\frac{40-32}{5} = 33.6~cm[/latex] (vu que le diamètre varie linéairement avec la hauteur et que [latex]H = 11~cm[/latex] est à pile un cinquième de ladite hauteur).

Dommage que la surface ne varie pas linéairement avec le diamètre, sinon ça aurait été vite ficelé lol

Si je ne me suis pas planté dans mon intégration, l'aire de cette portion de cône est :
[TeX]A = \frac{\pi H}{3} (R_M^2 + R_m R_M + R_m^2)[/TeX]
Ici ça donne [latex]A = \frac{\pi H}{3} (16.8^2 + 16 \times 16.8 + 16^2) = \frac{807.04 \times 11}{3} \pi[/latex].

Sachant que c'est tombé sur un disque de diamètre 20 cm, on doit diviser ça par la surface de ce disque, soit [latex]400 \pi[/latex], pour obtenir la hauteur d'eau au sol :
[TeX]\frac{807.04 \times 11}{3 \times 400} = \frac{8877.44}{1200} = 7.3978666 \dots ~ cm[/TeX]
Je vais arrondir à 74 mm, ce que la case réponse me confirme.

La flemme de m'attaquer à la question subsidiaire lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #4 - 08-11-2010 19:03:15

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

Pluviométri

Disons que [latex]D[/latex] et [latex]d[/latex] sont respectivement les diamètres des surfaces d'ouverture et du fond de la poubelle.
Appelons également [latex]H[/latex] sa hauteur et [latex]h[/latex], la hauteur d'eau qu'elle contient.
A l'aide du théorème de Thales, on peut montrer que le diamètre [latex]e[/latex], de la surface de l'eau est donné par:
[TeX]e=d+\frac h H (D-d)[/TeX]
On peut alors calculer le volume [latex]V[/latex] d'eau contenu dans la poubelle (volume d'un tronc de cône):
[TeX]V=\frac{\pi}{12}h(d^2+de+e^2)[/latex].

Pour une surface d'ouverture [latex]S=\frac{\pi}{4}D^2[/latex], on a recueilli un volume d'eau [latex]V[/latex].
Pour une surface d'ouverture de [latex]1m^2[/latex], on aurait donc recueilli un volume d'eau [latex]V/S[/latex], ce qui correspond à une hauteur [latex]z[/latex] d'eau en mm:
[latex]z=1000\frac V S[/latex], soit [latex]\fbox{z\approx 74 mm}[/TeX]
Maintenant, si la pluie tombe avec un angle de 30° par rapport à la verticale et que l'on a recueilli le même volume d'eau, c'est qu'il y avait un plus grand débit. En effet, tout se passe comme si la pluie tombait à la verticale dans une poubelle dont le contour de l'ouverture serait une ellipse ayant pour petit diamètre [latex]D\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex] et pour grand diamètre [latex]D[/latex], c'est à dire à travers une surface plus petite [latex]S'=S\frac{\sqrt 3 }{2}[/latex]. Ce qui correspondrait donc à une hauteur d'eau en mm:
[TeX]z'=\frac{2}{\sqrt 3 }z[/latex], soit [latex]\fbox{z'\approx 85 mm}[/TeX]
Sympathique problème, merci. smile

 #5 - 08-11-2010 20:34:27

supercab
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 43
Messages : 20

Plvuiométrie

Le volume "manquant" à la poubelle pour faire un cône complet est environ:
[TeX]Vm=5,8978*10\^7 mm\^{3}[/latex].

On en déduit le volum d'eau:

[latex]Ve=9,2964*10\^6 mm\^3[/latex].

La surface apparente de la poubelle est :

[latex]S_1=125664 mm\^2[/latex].

Donc la hauteur d'eau vaut:

[latex]h_1= \frac{Ve}{S_1} = 73,9788 mm [/latex].



Dans le cas de la question subsidiaire, la surface apparente est:
[latex]S_2 = S_1 * cos(\alpha)[/TeX]
où alpha=30°.

Donc:
[latex]h_2= \frac{h_1}{cos(\alpha)} = 85,4232 mm [/latex].

 #6 - 08-11-2010 21:46:52

gelule
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 778

Pluviométrei

soit:
R le rayon de la partie supérieure de la poubelle
r1 le rayon de la partie inférieure
r2 le rayon de la surface de l'eau
H la hauteur de la poubelle
h1 la hauteur d'eau dans la poubelle
h2 la hauteur d'eau tombée au sol
V le volume d'eau dans la poubelle

(R-r1)/H = (r2-r1)/h1       
r2=16,8 cm
(je vous fait grâce de la démonstration de la formule du volume d'un tronc de cône)
V= h1π/3(r1^2+(r1xr2)+r2^2)
h2= V/πR^2

h2= 11/R^2(r1^2+(r1xr2)+r2^2)

h2= 7,39cm   =74 mm

la hauteur d'eau tombée est, bien entendu, indépendante de l'angle de chute

 #7 - 08-11-2010 22:55:27

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Pluviomérie

C'est un peu laborieux mais amusant smile

La hauteur du cône complet h=275 ( Thalès )
Rayon de la surface de l'eau R=16,8 ( toujours Thalès ) 
Volume d'eau comme différence de deux cônes : V=887744.Pi/3
Hauteur de précipitation en regardant le cylindre de même base l=13871/1875 .

J'ai commencé la question subsidiaire mais je tombe sur une équation de degré 3 pas très drôle : j'ai laissé tomber mad

Vasimolo

 #8 - 09-11-2010 07:04:32

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

pluviométroe

1/volume du pluviometre

il faut rapporter le diametre moyen de l'eau à celui du haut du cone (400mm)
d=320+110/550/2=328mm

la pluie entrée dans le cone est
[TeX]x=110 \frac{328^2}{400^2}=74mm[/TeX]
le pluviomètre ne capte que 0.125 m²

ce qui donne pour 1 m²,  592 mm de pluie ce qui est a peu prés ce qui tombe à Paris chaque année.

2/l'incidence ne aucun effet dans ce calcul


The proof of the pudding is in the eating.

 #9 - 09-11-2010 07:14:32

McFlambi
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 144

Pluvioétrie

pour la question subsidiare c'est la meme chose non ?

 #10 - 09-11-2010 10:14:55

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 434

Pluviométriee

Salut,

Je cherche d'abord le Rayon supérieur du volume d'eau en fonction de la hauteur :

R(h) = a h + b

avec R(0) = 16 et R(55) = 20
donne

R(h) = (4/55) h + 16

En utilisant la formule du volume d'un tronc conique;

V
= pi h/3 (R² + Rr + r²)
= pi 11/3 [ ((4/5)+16)² + 16 ((4/5)+16) + 16²)
= pi 11/3 [ 282,24 + 268,8 + 256 ]
= pi 8877,44 / 3

La hauteur H d'eau au sol vaut :
H
= V / 400 pi
= 8877,44 / 1200
= 7,3978667 cm
~ 74 mm

Et l'inclinaison de la pluie ne modifie pas le problème.

 #11 - 09-11-2010 10:41:17

rivas
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Jacou

Pluviométri

Ca fait plaisir de voir le nombre de réponses.

Pour la partie "non-subsidiaire", très bonnes réponses de tout le monde.
(Vasimolo, tu aurais pu faire l'application numérique smile, Franck a une solution originale, Mathias aime la difficulté, ma solution est très proche de celle de luthin que je vais donc citer en référence ici pour quand le temps sera écoulé).

Pour la question subsidiaire par contre, nous ne sommes pas tous d'accord smile
De mon côté, je suis d'accord avec luthin et supercab.
Il vous reste du temps. Voici un indice: Spoiler : [Afficher le message] La quantité d'eau tombée ne dépend pas de l'angle bien sûr, mais celle recueillie par la poubelle si...

 #12 - 09-11-2010 18:28:44

gelule
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 778

Pluviommétrie

OK je vois ce que tu veux dire, en fait la surface de projection au sol du même cynlindre d'eau selon un angle de 30° est une éllipse d' axes 2R (R= rayon supérieur de ta poubelle) et 2R/cos30°
Donc ta poubelle ne receuillera que le rapport entre la surface de celle-ci  S1 et la surface de l'éllipse S2

S1/S2=( πR^2)/(π x R x R/cos30°)
S1/S2= cos 30°=0.866

la hauteur d'eau sera donc : 74x 0.866 = 64mm
dis moi si je me trompe

 #13 - 11-11-2010 10:11:37

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 931

pluviométroe

Dans la partie remplie d'eau, le diamètre moyen se trouve à 5,5 cm de hauteur. Il vaut donc 32+(10% de 8) soit 32,8 cm. D'où un rayon de 16,4 cm à comparer au rayon supérieur qui vaut 20 cm.

L'eau recueillie occupe un volume de pi*11*16,4². Dans un cylindre de rayon 20, ce serait pi*h*20².
J'en déduis la hauteur d'eau réelle en centimètres : [latex]h=11\frac{16,4^2^}{20^2^}=7,3964[/latex]

Avec une pluie oblique, je ne vois pas ce qui change : l'eau recueillie correspond toujours à la même surface rollrollroll

_____________

Oups ! J'ai été un peu approximatif dans mon calcul !
J'avais oublié que [latex]V\ =\ \frac{\pi h}{3} \times (r_1^2 + r_1 \times r_2 + r_2^2)[/latex]...
Mais cela ne touche que le 4ème chiffre significatif !

Pour l'averse oblique, il faudrait se mettre d'accord sur les données.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #14 - 12-11-2010 10:17:35

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Pluvioométrie

Beaucoup de bonnes réponses à cette question pour au moins la question principale. Je vais citer celle de luthin par exemple, très propre dans sa rédaction. Que les autres ne se sentent pas offensés smile

La question subsidiaire donne lieu à un débat entre les tenants du "ça ne change pas" et ceux du "ça change".

Je pense pour ma part que cela change. Certains arguments on fait vaciller ma conviction sans la faire tomber pour autant.

Voici l'argument clé:
Si la pluie tombe inclinée, la surface mouillée au sol n'est pas la même.
Cette dernière subit une affinité de rapport sin60 par rapport au petit diamètre de l'ellipse d'intersection. Imaginons que le nuage soit parfaitement circulaire et homogène et que donc la pluie tombe dans un cylindre. Si ce cylindre est incliné, la zone mouillée au sol est une ellipse. Toute la quantité d'eau tombe sur une surface plus grande que si le cylindre était vertical. Chaque section au sol reçoit donc moins d'eau que si la pluie tombait à la verticale. D'une certaine façon la "densité de collecte" n'est pas la même. Ce qui est constant est la quantité totale d'eau qui tombe, pas la surface de collecte.

luthin donne la bonne explication: l'intersection d'un cylindre dont l'axe est celui de la pluie et le diamètre celui du haut de la poubelle avec l'ouverture de la poubelle est une ellipse de section plus petite. La quantité d'eau est plus faible donc en réalité il est tombé plus d'eau sur une zone "ouverte" au sol: les 85mm (74/sin60).

On peut s'en convaincre de 2 façons: faire tendre l'angle entre le sommet de la poubelle et l'axe de la pluie vers 90°: il est manifeste qu'en approchant de 90° il y aura moins d'eau dans la poubelle.
Une expérience pratique sinon: prendre une pile et un morceau de papier. Faire un trou dans le papier du diamètre exact de la pile et y introduire la pile. Pencher la pile: cela déforme le papier, justement à cause de l'ellipse qui serait nécessaire alors qu'on a un cercle...

Comme j'ai quand même douté a posteriori, j'ai cherché et trouvé cela qui m'a conforté dans mon idée (cet article n'est pas de moi smile)
http://fr.wikipedia.org/wiki/Pluviom%C3 … _au_climat

Je réalise que la question est ambigüe.
J'aurais du demander: Si on a recueilli 74mm pour une pluie inclinée à 30°, combien aurait-on recueilli pour une pluie verticale de même force (sous-entendu même débit). Et la la réponse est bien 74/sin60=85mm

Si la question a été comprise comme: Si pour une averse "verticale", on a relevé 74 mm d'eau dans la poubelle, combien aurait-on relevé dans la poubelle si pour la même quantité d'eau tombée, celle-ci était tombée constamment orientée à 30°. Et la la réponse aurait été: 74*sin60=64mm. C'est gelule qui a donné la bonne solution.

@Yannek: tu as raison, les relevés de pluie en cas de fort vent ne sont pas fiables sad sauf si le vent tourbillonnant compense parfaitement...

Merci d'avoir répondu. J'espère vous avoir convaincu.

 #15 - 12-11-2010 18:31:02

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 931

Pluviommétrie

La réponse dépend du modèle pris pour représenter le nuage.
Si le nuage est une boule, je veux bien qu'il pleuve sur une ellipse.
Mais si le nuage est un disque horizontal, il pleuvra sur un disque (en plaine, bien sûr).


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #16 - 12-11-2010 19:58:02

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

PPluviométrie

Je comprends ton argument: la translation d'un disque reste un disque (sauf si le disque pivote pour devenir perpendiculaire au vent).
Mais je crois qu'on chipote un peu non ? smile Et puis un nuage, surtout du genre à donner 74 mm de pluie, c'est souvent un peu épais.
Mais enfin comme je l'ai dit, ma question était ambigüe.

 #17 - 13-11-2010 13:49:17

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Pluviomtérie

rivas a écrit:

J'aurais du demander: Si on a recueilli 74mm pour une pluie inclinée à 30°, combien aurait-on recueilli pour une pluie verticale de même force (sous-entendu même débit). Et la la réponse est bien 74/sin60=85mm

Ca depend comment on mesure le debit (ou la force), horizontalement ? ou perpendiculairement a la chute de la pluie?
Moi je pense que la reponse est "la meme". tout simplement parce que le vent ne fait que causer une translation de la pluie horizontalement, qui crée un angle de 30°. Il ne cause pas la pluie a tomber plus vite ou moins vite, et l'etalement au sol n'est due qu'au fait que la zone avant et arriere ne recoivent pas la pluie pendant la duree totale de la pluie. Si le nuage recouvre toute la terre, la zone est la meme, la quantité de pluie est la meme.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #18 - 15-11-2010 12:53:13

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

pliviométrie

On s'en fout de l'inclinaison de la pluie puisqu'on compare deux mesures de hauteur d'eau sur deux surfaces parallèles, le haut de la poubelle qui est horizontal et le sol qui est horizontal.
Et si le sol n'est pas horizontal (rien ne l'indique dans l'énoncé), la mesure, elle, est normalisée pour une surface horizontal.
Et même avec une inclinaison du sol, celle-ci restant constante, on s'en fout.
Et on s'en fout d'autant plus le sol étant incliné, la poubelle l'est aussi et les surfaces restent parallèles.
Bref on s'en fout.

PS: bien sûr, si le nuage fait la taille de la poubelle, l'inclinaison de la pluie et la hauteur du nuage font leur office. Mais franchement, on s'en fout aussi.

 #19 - 09-02-2015 15:02:39

Eddy
Visiteur

Pluviométie

smile

gelule a écrit:

OK je vois ce que tu veux dire, en fait la surface de projection au sol du même cynlindre d'eau selon un angle de 30° est une éllipse d' axes 2R (R= rayon supérieur de ta poubelle) et 2R/cos30°
Donc ta poubelle ne receuillera que le rapport entre la surface de celle-ci  S1 et la surface de l'éllipse S2

S1/S2=( πR^2)/(π x R x R/cos30°)
S1/S2= cos 30°=0.866

la hauteur d'eau sera donc : 74x 0.866 = 64mm
dis moi si je me trompe

Bien reflechi, la reponse a la question subsidiaire est 64.34 mm de hauteur. En effet dans le deuxieme cas la surface efficace de la poubelle est une ellipse qui est dans un rapport de 0.866 et 1 avec la surface de la poubelle dans le cas d'une pluie verticale.

Bravo a toi!!!!

 #20 - 11-02-2015 09:50:42

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 200

oluviométrie

salut.

pour la question subsidiaire : le vent ne change en rien les précipitations . sinon le pluviomètre ne donnerait que des résultats erronés.

On n'aurait plus qu'à l'incliner en fonction de la vitesse du vent.

Je m'explique : s'il tombe des hallebardes et qu'il n'y a point de vent . alors elles sont plantées verticalement dans le sol à raison d'une hallebarde au cm² , si vous tracez un cercle de surface   1 m² , il y a donc 10000 hallebardes à l'intérieur du cercle. s'il y avait eu du vent les 10000 hallebardes seraient plantées dans le sol inclinées de 30° puisque les précipitations sont les mêmes. Elles seraient plus serrées dans la direction du vent (direction du petit axe de l'ellipse ).

 

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