soit b la racine de a.
la positivité de rac(5) = b - 1/b entraîne b > 1,  donc a = b^2 > 1.
b - 1/b = rac (5) a pour carré b^2 + 1/b^2 - 2, soit a + 1/a - 2 et vaut 5.
a est donc racine de l'équation : a - 7 + 1/a = 0, soit : a^2 - 7 a + 1 = 0.
C'est un trinôme du 2nd degré dont les racines sont (7+rac(45))/2 et (7-rac(45))/2.
La 2nde racine est l'inverse de la 1ère qui est supérieure à 1 : c'est donc a.
L'écart a - 1/a vaut donc  (7+rac(45))/2 - (7-rac(45))/2 = rac(45) = 3 rac(5)

La réponse est donc 3 rac(5)

ça m'est revenu quand tu me l'as marqué. Et je me suis dit: "mais quel c..."
C'est loin tout ça, ça me rajeunit pas.

@ Scrablor
[TeX]\sqrt{a}^{n+1}-\frac 1{\sqrt{a}^{n+1}}=\left(\sqrt{a}^{n}-\frac 1{\sqrt{a}^{n}\right)\times\left(\sqrt{a}+\frac 1{\sqrt{a}\right)-\left(\sqrt{a}^{n-1}+\frac 1{\sqrt{a}^{n-1}\right)[/TeX]
Si l'on note
[TeX]\sqrt{a}^{n}-\frac 1{\sqrt{a}^{n}}=u_n\sqrt{5}[/TeX]
Ce qui précède permet d'obtenir par récurrence
[TeX]u_0=0[/latex] (convention), [latex]u_1=1[/latex] et pour n>1, [latex]u_{n+1}=3u_{n}-u_{n-1}[/TeX]
C'est une série de Lucas, dont on peut avoir l'expression du terme général en remplaçant directement la racine de a par sa valeur.

Joli coup, Yannek

Non je ne pense pas c'est du niveau première dans toutes les séries

On n'a aucune idée de ce qu'est "Stan", à vrai dire.

Et vu que personne ici ne pense que cet exercice soit du niveau 3me, il va nous falloir des preuves Regarde les dernières pages :

http://cache.media.education.gouv.fr/fi … _33525.pdf

Je ne vois pas de discriminant, et il n'y a que des calculs "élémentaires" sur les racines carrées.

Je crois que Stan, c'est l'abréviation de Stanislas, un lycée parisien.
A l'époque, des gars de mon école y avaient fait leur classe prépa.
Ceci étant dit, l'énigme a été résolue par certains sans discriminant.
Quelques identités remarquables "basiques" (et de l'astuce) ont suffi.

Edit: grillé par racine

Effectivement, je n'avais pas gardé à l'esprit qu'on pouvait s'en sortir sans équations du second degré.

Mais c'est quand même sacrément balaise à donner à des pauvres petits 3me

Tu es sûr que ce sont les 3èmes qui l'étudient en 3ème ?

Oui, mais des étudiants chinois autorisés a quitter le pays au début des années 80, ça devait pas être les plus mauvais.