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 #1 - 25-04-2011 12:13:00

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Une petite balaed géométrique...

Il était une fois un joli triangle ABC dont le segment BC avait une longueur de 6 cm et dont le diamètre du cercle circonscrit avait une longueur de 8 cm. Il y avait aussi un point P en dehors du triangle, distant de A de 4 cm. Il se projetait sur AB en H et sur le prolongement de AC en K.
Quelle était donc la longueur du segment HK ?



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 #2 - 25-04-2011 17:16:25

debutant1
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 116

Une pteite balade géométrique...

angle P = angle A
soit Cp le cercle rayon 4 centré en A.
H' , K', A' les intersection PK, PH,PA avec Cp.
comme angle P est constant la corde H'K' est constante et égale à BC(6).

Le quadrilatère PHAK est semblable à PH'A'K'.(rapport 1/2)
HK=H'K'/2= 3

 #3 - 25-04-2011 17:40:35

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

une petute balade géométrique...

La réponse étant supposée être une constante, rien ne m'empêche de me placer dans un cas particulier.

Je choisis donc ABC rectangle en C et je place P à 4cm de A sur la perpendiculaire à AB passant par A.

Les triangles ABC et PKH sont alors semblables puisqu'ils sont tous deux rectangles et que les angles P et B sont égaux (angles à côtés perpendiculaires).

Donc KH/4 = 6/8 et HK=3

http://www.prise2tete.fr/upload/looozer-baladegeom.jpg

 #4 - 25-04-2011 21:31:21

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Une petite balade géométirque...

HK=3cm

 #5 - 25-04-2011 23:45:03

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

Une petite balade géoméétrique...

Le segment KH a une longueur de 3 cm (la moitié de BC), et ce, quelque soit la position du point P. c'est effectivement très remarquable big_smile , mais la démonstration m'échappe ... sad

 #6 - 26-04-2011 12:00:34

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

une petite balade géométeique...

3 cm
L'arc HK du cercle de diamètre fixe AP est vu sous un angle inscrit constant.
La corde HK est constante.

 #7 - 30-04-2011 11:44:46

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

une petite balade géométroque...

Rien à ajouter, vous avez tout compris, notamment que HK était constante !  wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
 

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