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 #1 - 09-01-2011 17:28:46

Hamilkar
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 10

La trajectoire de l'aviion.

Bonjour,
aujourd'hui dans mon club de maths j'ai reçu une énigme sur laquelle je réclame votre aide si toutes fois vous le voulez bien.
Voici l'énoncé:

Un avion décolle d'une ville quelconque de l'hémisphère nord, non située sur l'équateur, en direction de l'ouest. Une fois en altitude, le pilote bloque les commandes (il va « tout droit »). Prouvez qu'il coupera l'équateur après avoir volé durant dix mille kilomètres exactement.

J'ai essayé de me représenter avec un schéma mais j'aimerai une confirmation.
Merci



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 #2 - 09-01-2011 18:32:47

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,567E+3

La trajectoire de 'avion.

En prenant en compte le méridien sur lequel il se trouve et en conservant une direction perpendiculaire à ce méredien, il suivra bien un cercle qui coupera l'équateur au bout de 10 000 km, se retrouvera à même distance à l'opposé au bout de 20 000 km, recoupera l'équateur au bout de 30 000 km et il se retrouvera à son point de départ en 40 000 km, si on considère que la terre est sphérique de diamètre 40 000 km.

En fait il suivra un anneau imbriqué exactement dans celui de l'équateur et orienté suivant la latitude de départ. Partant plein ouest, il se situe donc à 90° de l'équateur sur cet anneau.

 #3 - 09-01-2011 23:51:28

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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Lieu: Jacou

La trajjectoire de l'avion.

Il y a quelque chose que je ne comprends pas dans cette énigme.
S'il vole vers l'ouest il suit un parallèle et ne coupera donc jamais l'équateur non?

 #4 - 09-01-2011 23:52:38

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Paris

La trajectoire de l'aavion.

C'est exactement la question que je me pose ...

 #5 - 09-01-2011 23:58:13

racine
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1224

La trajectorie de l'avion.

Pas sur une sphère. Lorsqu'il bloque la commande, l'ouest signifie à gauche à 90° et à la même altitude.

 #6 - 10-01-2011 00:26:08

rivas
Elite de Prise2Tete
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a trajectoire de l'avion.

Je ne comprends toujours pas. L'ouest est défini par rapport au nord magnétique et donc sur terre (et dans le ciel), ouest veut dire: suivre le parallèle sur lequel on est non?

 #7 - 10-01-2011 00:29:42

gasole
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Toulouse

La trajectire de l'avion.

Ben non ... il démarre vers l'ouest mais après, il va TOUT DROIT, c'est à dire qu'il suit la tangente à son point de départ, il ne suit pas un parallèle ... en toute logique, il devrait même sortir de l'atmosphère :-)

 #8 - 10-01-2011 00:40:14

rivas
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Jacou

La trajcetoire de l'avion.

La seule façon de voir ce problème d'une façon différente c'est de dire que l'avion navigue à "cap constant". La courbe de se trajectoire forme alors une loxodromie et l'article donné en lien donne la réponse. Mais il ne semble que la direction initiale ne peut pas être l'ouest...

 #9 - 10-01-2011 01:02:31

dhrm77
L'exilé
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la trajectoite de l'avion.

En fait c'est tres logique. si on part d'un point quelconque est que l'on va tout droit dans une direction quelconque (c'est a dire a hauteur constante mais sans tourner a gauche ou a droite), on fera forcement 40000Km avant de se retrouver au point de depart. On croisera l'equateur 2 fois. De plus, au deux points les plus eloignés de l'équateur, (ou le plus pres des poles), on est exactement a 10000 Km de l'equateur (sur notre trajectoire) et notre direction se trouve exactement parrallele a l'equateur (c'est a dire plein Est, ou plein Ouest), mais pendant un bref instant. L'angle de notre trajectoire relatif a l'équateur est maximale a l'equateur et parrallele a l'equateur a mi-chemin entre 2 croisements.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #10 - 10-01-2011 01:05:41

rivas
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La trajectoire de l'aviion.

Je ne suis toujours pas convaincu Dan. Dans ton raisonnement, on reste sur un cercle dont le centre est le centre de la terre (pour faire 40000km avant de revenir au point de départ) et rien ne l'impose.
D'ailleurs une loxodromie n'est pas un arc de cercle mais de "spirale"...

 #11 - 10-01-2011 01:29:51

gasole
Elite de Prise2Tete
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La trajectorie de l'avion.

Je pense que le croquis suivant sera plus clair. Il ne s'agit pas d'une loxodromie (sinon l'angle initial avec le parallèle de départ étant 0, il resterait dessus), je ne suis pas spécialiste mais je crois que le résultat est une orthodromie. Sur une carte plane, la trajectoire de l'avion apparaîtrait courbe :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Or … dromic.png

Par contre, comptez-pas sur moi pour faire des calculs, je me contente du qualitatif sur ce coup ... ;-)

Il faut imaginer que les traits en bleus sont tangents au niveau du point de départ.
Il s'agit d'ailleurs de la projection en direction du centre de la Terre de la tangente (droite Est-Ouest) à la sphère
http://www.prise2tete.fr/upload/gasole-latitude.JPG

 #12 - 10-01-2011 01:40:44

rivas
Elite de Prise2Tete
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La trajeectoire de l'avion.

Merci pour ce dessin.

Je ne sais qu'en penser. Ca a l'air de correspondre mais le cercle est-il dans un plan contenant le centre de la terre?

 #13 - 10-01-2011 01:51:24

gasole
Elite de Prise2Tete
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La trajectoie de l'avion.

Oui, j'imagine que c'est le plan orthogonal au plan tangent du point de départ et qui passe par le centre de la Terre.

La trajectoire de l'avion est un équateur (un grand cercle ça s'appelle) en fait.

Alors qu'une loxodromie ne fait pas un équateur sans doute.

 #14 - 10-01-2011 02:29:18

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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La trajectoiree de l'avion.

J'ai eu moi aussi un peu de mal à voir le "truc", mais c'est vrai que notre habitude de voir le monde plat sur des cartes en 2D ne nous aide pas dans ce cas-là !

 #15 - 10-01-2011 07:04:20

franck9525
Elite de Prise2Tete
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La trajectoire de l'aion.

Quelques petites notes:

une orthodromie est un arc de grand cercle définit comme ayant pour centre le centre de la sphère. L'ortho est le chemin le plus court pour aller d'un point a un autre bien connu des trans-atlantiques. Le cap n'est pas constant et navigue 'à l'ortho' nécessite de fréquent changement de caps, notamment naviguer vers le 310 au départ de Brest (après le goulet pour les connaisseurs) puis décroître régulièrement jusqu'au 230.

A son point le plus nord, l'avion est effectivement bien oriente vers l'ouest car il est tangent à ce cercle. CEPENDANT, des commandes bloquées semblent indiquer un cap constant ce qui contredit l’hypothèse de l'ortho où, par rapport au nord vrai, le cap varie sans cesse.

Pour être effectivement à commandes bloquées, il faut que l'avion soit effectivement au cap 270 au point le plus nord du cercle  avec une inclinaison telle que son centre de gravité se trouve sur un axe centre de sphere - zenith. Il est à plat sur la sphère et va 'tout droit'. Par opposition, un avion au cap 270 constant parcours un petit cercle qui n'a pas pour centre celui de la sphère, l'avion n'est donc pas parfaitement à plat sur la sphère.

La difficulté vient sans doute de notre représentation habituelle de la navigation gouverné par la projection Mercator sur un cylindre englobant la dite sphère.


The proof of the pudding is in the eating.

 #16 - 10-01-2011 09:51:05

gasole
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1117
Lieu: Toulouse

La trajectoire de l'avio.

Franck, tu t'y connais visiblement mieux que moi, me trompé-je si je dis que "commandes bloquées" ne revient pas à "cap bloqué" ? Dans la proposition de réponse que je donne, justement en allant "tout droit" (pour autant qu'on le puisse) on ne garde pas le cap car l'angle au nord change tout le long du trajet.

 #17 - 10-01-2011 13:40:46

patg34
Amateur de Prise2Tete
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Messages : 9

La trajectoire de l'avon.

bonjour,
problemes d'énoncé : point de départ des 10000km (? en altitude), tout droit et non cap constant (sinon il n'est pas pres de voir l'équateur), vol a altitude constante (pour ne pas partir dans l'espace), distance parcourue de 10000km (en projection surface ou en l'air ?). (NB: l'équateur a été annexé par l'hémisphère nord ?)

En tout cas cette affaire me fait bigrement penser à l'écliptique et l'équateur celeste (cas particulier de l'obliquité de 23°), l'avion (soleil)  croisant l'équateur au point vernal (equinoxe). Par suite l'écliptique n'étant parallele aux latitudes qu'a 90° du point vernal dans le plan de l'"écliptique, la distance de 10000km entre le point de décolage et croisement de l'équateur.

un joli dessin http://dpelletier.ep.profweb.qc.ca/Astr … d2_3_1.htm

 #18 - 10-01-2011 14:29:36

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

La trajectoirre de l'avion.

Apparemment, cette discussion a bien plus intéressé ceux qui y ont répondu que celui/celle qui l'a lancée.

 #19 - 10-01-2011 14:35:30

Hamilkar
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 10

La trajectoire de l'avio.

Au contraire ca m'a vivement intéréssé,
d'ailleurs vos réponses me rassurent j'ai pensé comme vous.
Merci.
Comme vous l'avez dit sa trajectoire a comme point de départ l'ouest et non tout le long ( sa trajectoire serait une suite de spirales) mais en allant tout droit sa trajecoire devient un grand cercle de la terre .

 #20 - 10-01-2011 14:36:10

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

la trzjectoire de l'avion.

Heureux de le savoir la discussion était intéressante :-)

 #21 - 10-01-2011 17:59:42

zikmu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 277

la trajectoure de l'avion.

Bonsoir à tous,

je pense personnellement que dire qu'après 10 000 km l'équateur  terrestre sera coupé est forcément FAUX...

1ère hypothèse : ce n'est pas un avion mais un vaisseau spatial qui va toujours droit et qui a la faculté de satelliser comme préconisé plus avant... s'il décolle d'Oslo et qu'on suit le raisonnement de la tangence terrestre, il lui faudra bien plus de 10 000 km... ou s'il décolle du pôle il sera tangent au cercle polaire et équatorial et ne le rencontrera jamais...????

2nde hypothèse ( la mienne ) : Je sais c'est un avion...! Donc il va prendre un cap de 270° constant et immuable et une altitude qu'on va donner constante ( environ 10000 pieds ) pour éviter les obstacles ( (surtout extra-terrestres )...
Et alors que fait cet avion ?...
il suit bien un méridien terrestre...!...eh oui !... car lui ne suit pas la carte mais la terre... ( assimilée à un ellipsoïde ou une boule, peu importe, ça c'est de l'arrondi... )

Donc il ne croisera jamais l'équateur puisqu'il lui sera parallèle...

La gravité s'exerçant au centre de la terre( ou pas loin ) c'est un cône de révolution tangent comme dans une vieille projection Lambert, la route de notre avion...et ça ça me rassure quelque part quand je prends l'avion...

Dans les deux cas je ne croise "JAMAIS" le cercle équatorial...wink

et je ne pense même pas que les maths "pures" puissent affirmer le contraire...
( enfin c'est mon avis )

 #22 - 10-01-2011 18:09:09

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

La trajecctoire de l'avion.

Non, Zikmu, tu as mal (ou pas) lu : il ne suivra pas un cap constant si c'est un avion, quant à l'option "vaisseau spatial" on l'avait déjà évoquée et écartée (bien qu'elle nous simplifie la vie ;-) )

 #23 - 10-01-2011 18:09:24

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

a trajectoire de l'avion.

Je pense que vous avez tous tort, en fait j'en suis même CONVAINCU (ce qui me donne le droit de mettre des termes en gras pour faire joli), mais ce n'est que mon avis lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #24 - 10-01-2011 18:11:07

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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la trajectoire de l'acion.

La , je ne suis pas du tout d'accord, si on pars d'un point d'une sphère dans une direction donnée, on parcourt toujours un périmètre de cette sphère. C'est inévitable. Dans ce cas précis, la direction perpendiculaire à un méridien au départ fait que ce périmètre sera traversé en son quart par l'équateur.

 #25 - 10-01-2011 18:11:18

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
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Lieu: Toulouse

La trajectoire de 'lavion.

et mon oncle, lui, est convaincu d'être ma tante big_smile

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