Enigmes

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 #1 - 28-08-2010 23:26:25

falcon
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 106

rebenu de vacances en avion

Apres un long sejour sur une ile paradisiaque, je dois rentrer en avion.
C'est un petit avion de 100 places et 99 passagers (tout cela sans compter les pilotes, hotesses, etc ...) attendent , comme moi, de monter à bord.
Entrant le premier, je me place au hazard sans preter attention au siege qui m'était attribué.
Je remarque alors que tous les passagers réagissent de la meme maniere : si leur place est libre, ils s'y installent, sinon, ils choisissent une place au hazard parmis les places restantes.

d'apres vous qu'elle est la probabilité que le dernier passager à monter dans l'avion se retrouve t 'il à sa place ?



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Réponse :

Il vaut mieux pomper meme s'il ne se passe rien que risquer qu'il se passe quelque chose de pire en ne pompant pas
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 #2 - 28-08-2010 23:45:13

racine
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1224

Revenu de vacacnes en avion

A vue de nez, il y a un problème de formulation.

 #3 - 29-08-2010 10:54:23

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Revenu de vacances ne avion

La question n'est pas claire : "Qu'elle est la probabilité que les 100 ieme passager se retrouve à sa place ?"

Si on cherche la probabilité pour que le 100me retrouve sa place c'est 0,5 , tout ce passant comme si 98 passagers avaient pris leurs places et que les deux derniers se partageaient le reste au hasard .

Mais la case réponse ne veut pas de mon 0,5 sad

Vasimolo

Edit : j'ai trouvé , il fallait proposer 0.5 ( à l'américaine )

 #4 - 29-08-2010 15:56:55

falcon
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 106

Revenu de vacancess en avion

bonne réponse de Vasimolo


Il vaut mieux pomper meme s'il ne se passe rien que risquer qu'il se passe quelque chose de pire en ne pompant pas

 #5 - 29-08-2010 16:27:18

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Revenu de vacances en avio

En fait, quelques soit le nombre de places dans l'avion, si le premier passager s'assoit au hasard, le dernier passager a une chance sur deux d'avoir sa place libre.

demonstration non rigoureuse:
avec 2 passagers pour 2 places, c'est trivial, une chance sur deux
avec 3 passagers pour 3 places,
le siege est libre si il n'y a personne qui l'occupe! si si
P=1-(1/3) [que passager 1 soit dans siege de dernier passager] - (1/3 x 1/2) [que passager 2 ait du prendre une place libre au hasard parmi les 2 places restantes]
p=1-1/3-1/6=1/2
avec 4 passagers pour 4 places
P=1-1/4-1/4*1/3-1/2*(1/4+1/4*1/3)=1-1/4-1/12-1/6=1-6/12=1/2
etc


The proof of the pudding is in the eating.

 #6 - 29-08-2010 17:42:26

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Revenu de vacance en avion

Je vais essayer quelque chose : la récurrence.

- avion à deux places : soit je prends ma place (une chance sur deux), soit je prends celle du deuxième et dernier. Vendu : la proba est 1/2.

- avion à trois places : j'ai une chance sur trois de prendre ma place, auquel cas tout se passe bien. Ou bien je prends la place du deuxième, qui prend soit la mienne (une chance sur deux), soit celle du troisième (une chance sur deux aussi). Soit je prends la place du troisième, et on arrête là. Bilan : une chance sur trois que tout le monde soit à sa place, une chance sur trois que je grille la politesse au dernier directement, et dans le cas "intermédiaire", une chance sur deux que le dernier ait sa place. Ca nous fait au final une proba de 1/2, cette fois encore.

- comment établir une récurrence ?..


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #7 - 29-08-2010 21:54:04

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Revneu de vacances en avion

Cette énigme me laisse sceptique. Ou plutôt la réponse que j'en ai.
Elle me semble trop simple mais je ne vois pas pourquoi elle ne serait pas bonne...

La voici:
La première personne s'asseyant au haSard smile toutes les permutations de sièges sont possibles. Il y a 100! permutations possibles.
Le nombres de combinaisons dans laquelle la dernière personne est à sa place est de 99! (la dernière à sa place et les autres où elles veulent).

La probabilité recherchée est donc de 99!/100! soit 1%.

En tout cas merci pour cette question originale, j'attends la réponse avec impatience.

Au fait, si la première personne s'asseyait à sa place, toutes le ferait. Tout dépend donc de la première personne...

 #8 - 30-08-2010 00:00:00

falcon
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 106

Revenu dde vacances en avion

à Rivas : ton raisonnement serait valide si toutes les personnes s'asseyaient au hasard.

à franck et Mths : bon début, continuez, avancez, conjecturez ...


Il vaut mieux pomper meme s'il ne se passe rien que risquer qu'il se passe quelque chose de pire en ne pompant pas

 #9 - 30-08-2010 01:25:58

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Revenu de vacances n avion

A falcon en réponse à: "ton raisonnement serait valide si toutes les personnes s'asseyaient au hasard".

Je ne comprends pas pourquoi.
Le fait que certaines ne s'assoient pas au hasard ne change en rien le fait que toutes les possibilités de placement existent et sont équiprobables, cela est assuré par le fait que l'ordre dans lequel elles montent dans l'avion n'est pas déterminé à l'avance. Donc une personne ne s'asseyant pas au hasard, son siège étant libre, pourrait très bien le faire si elle n'était pas montée à ce moment la dans une autre configuration.

Est-ce inexact?

 #10 - 30-08-2010 02:54:36

falcon
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 106

eRvenu de vacances en avion

à rivas :
numérotons les personnes en fonction de leur ordre d'entrée, je suis 1 celui qui me suis est 2 , ...  le dernier à entrer est 100

comme tu l'as dit, si 1 rejoins son siège attribué , tout le monde se retrouve à sa place.
or tu comptes dans ton 100! des cas ou le premier est à sa place et les autre non. Le fait que les passagers s'assoient directement sur le siege qui leur est attribué supprime ces nombreux cas qui serait apparus pour une distribution totalement aléatoire des sieges.


Il vaut mieux pomper meme s'il ne se passe rien que risquer qu'il se passe quelque chose de pire en ne pompant pas

 #11 - 30-08-2010 03:17:49

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2991
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Revenu de vaacances en avion

Voila apres quelques essais, et une une étude statistique sur un nombre de places réduite, je pense que la réponse est une constante de 2/3 a partir de 3 places et donc au dela.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #12 - 31-08-2010 07:01:10

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1747

Reevenu de vacances en avion

Bonjour,

La réponse est "1 chance sur 2" que le 100ème passager retrouve sa place.

Soit n le nombre de passagers = nombre de places dans l'avion

Il y a 2^(n-1) dispositions de passagers selon la discipline de l'énoncé.

Le passager n-1 peut avoir le choix entre son siège, celui du passager 1 ou celui du passager n

Il a lui-même une chance sur 2 de s'assoir à la place qui lui est reservée.

Voyons ce qui se passe pour n= 2, 3, 4, 5 ....

http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-avion.jpg

Je ne tiens pas encore la démonstration formelle , je me demande si quelque soit n, on ne peut pas faire abstraction de ce qui se passe entre le rang 2 et le rang n-1 et ramener le pb au cas trivial n=2 places.

Ou alors par récurrence ...

Merci pour cette énigme !

(en plus, au début, j'avais compris qu'il n'y avait que 99 passagers pour 100 places, soit une place libre à considérer !)


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #13 - 01-09-2010 00:18:43

falcon
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 106

Revenu d vacances en avion

La réponse est 1/2

voici l'explication (pour ceux qui n'ont pas l'intuition de Vasimolo) :

appelons x1 la probabilité que le dernier à entrer dans l'avion soit à son siege alors que le premier entré s'est assis sur le siege normalement attribué premier.
de meme x2 la probabilité que le dernier à entrer dans l'avion soit à son siege alors que le premier entré s'est assis sur le siege normalement attribué au 2eme.

...

on a de suite x1 = 1 et x100 = 0
car si le premier s'assoie à sa place, tout le monde rejoint sa propre place et si le premier prend la place du dernier, le dernier ne pourra à fortiori pas rejoindre sa place.

la probabilité que le dernier rejoigne sa place est simplement
(x1 + x2 + ... + x99 + x100 ) / 100

calculons x99
si le premier s'assoie à la place de l'avant dernier, tout le monde se positionne bien, jusqu'à l'avant dernier qui à la choix entre les places 1 et 100
comme il choisit au hasard
x99 = 1/2

calculons x98
toute les places se remplissent correctement jusqu'à la 98 et le 98 eme a le choix entre les places 1 99 et 100 , s'il se met sur la place 99 , le problème est ramené au cas précédent.
on en déduit x98 = 1/2


et ainsi de suite x2 = x3 = x4 = ... = x99 = 1/2

on obtient bien le résultat voulu.


Il vaut mieux pomper meme s'il ne se passe rien que risquer qu'il se passe quelque chose de pire en ne pompant pas

 #14 - 03-09-2010 02:35:26

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2991
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Revenu de vacancs en avion

Bon, apparement, j'avais mal lu... J'avais cru comprendre qu'il y avait 100 places et 99 passagers!

Donc, s'il y a N places et N passagers :
Les chances du passager Numero N d'avoir sa place sont de 1/2
Les chances du passager Numero N-1 d'avoir sa place sont de 2/3
Les chances du passager Numero N-2 d'avoir sa place sont de 3/4
Les chances du passager Numero N-3 d'avoir sa place sont de 4/5
Les chances du passager Numero N-4 d'avoir sa place sont de 5/6
Les chances du passager Numero N-5 d'avoir sa place sont de 6/7
et ansi de suite...


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #15 - 13-07-2013 23:15:43

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

revenu de vacanced en avion

Voici une autre façon de voir :

Les places des passagers 2 à 99 sont forcément occupées. Les 2 seules places à pouvoir être libres sont donc celles du premier et du dernier passager. Pour les 99 premiers passagers, ces deux places sont identiques. Par conséquent, le dernier passager a 1 chance sur 2 de s'asseoir à sa place.

 #16 - 13-07-2013 23:51:25

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Revenu de vacances en vaion

En fait il y a 100 passagers. L'énoncé est flou mais c'est 99 passagers + moi.

 #17 - 13-07-2013 23:56:50

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

Revenu de vaacances en avion

Ah d'accord ! Je ne comprenais rien. Merci Titou !

 

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