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 #1 - 10-01-2011 18:17:42

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

sui sera le pharaon de la géométrie ?

On place une sphère de rayon 1 dans un tétraèdre régulier de façon à ce qu'elle soit tangente aux trois faces issues du sommet.

Quelle distance sépare le sommet A du centre O de la sphère ?

Question subsidiaire: pour quelle longueur des arêtes du tétraèdre la sphère est-elle tangente à ses 4 faces ?



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C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
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#0 Pub

 #2 - 10-01-2011 19:13:12

Barbabulle
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 237

Qui sera le pharaonn de la géométrie ?

La formule donnant le rayon de rayon de la sphère inscrite à un tétraèdre régulier est r=h/4 où h est la hauteur du tétraèdre. La distance que l'on cherche est donc 4-1=3.
l'arête du tétraèdre correspondant peut être calculé par la formule donnant le rayon en fonction de l'arête :
r=a*sqrt(6)/12 soit a=12*r/sqrt(6), donc ici a=2*sqrt(6) = 4.89898...


La paix dans le monde n'est pas menacée par les révoltés, mais par les soumis.        Georges Bernanos

 #3 - 12-01-2011 09:57:54

debutant1
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 116

qui sera le phzraon de la géométrie ?

OA= 2,828 =2*(2^1/2)

cote si sphère tangente = 4(1+2^1/2)/(7^2)

 #4 - 12-01-2011 13:14:48

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

qui sera le pharaon de la géométrir ?

ça serait pas [latex]3[/latex] ?

je commence par la subsidiaire...

le rayon de la sphère (qui serait alors inscrite dans un tétraèdre régulier de côté c) est donné par [latex]r=\sqrt 6.c/12[/latex], d'où [latex]c=12/\sqrt 6[/latex].

passons maintenant à la première question en travaillant sur le tétraèdre circonscrit, et soit [latex]d[/latex] la distance cherchée.

Considérons les points suivants :
- On suppose le tétraèdre posé sur une face (A,B,C) qui est un triangle équilatéral
- O est le centre de la sphère
- P est la projection orthogonale de O sur (A,B,C)
- X est le mileu de (A,B)

soit [latex]h[/latex] la hauteur du triangle (A,B,C), Pythagore nous donne [latex]h = c/2.\sqrt 3 = 3\sqrt 2[/latex] (on connaît c grâce à la question subsidiaire) ;

puisque (A,B,C) est équilatéral, (A,P) est de longueur [latex]2h/3[/latex], soit [latex]2\sqrt 2[/latex] ;

le triangle (A,O,P) est rectangle en P, et donc [latex]AO^2 = AP^2 + PO^2[/latex], soit [latex]d^2 = (2h/3)^2 + 1^2[/latex] qui donne [latex]d=3[/latex].

 #5 - 13-01-2011 14:08:26

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Qui sera e pharaon de la géométrie ?

Le centre de la sphère de rayon 1 se trouve à [latex]\sqrt3\approx 1.7[/latex] du sommet des trois faces à la quelle elle est tangente.

Un tétraèdre régulier de coté =[latex] \sqrt2(1+\sqrt3)\approx 3.86[/latex] contient une sphère de rayon 1

Demonstration
soit un triangle équilatéral de cote 1 formant la base du tétraèdre.
sa hauteur a pour longueur [latex]\sqrt3/2[/latex]

Prenons la section de tétraèdre passant par son sommet et une hauteur de la base.

http://www.prise2tete.fr/upload/franck9525-inscribedsphere2.png

Le triangle ainsi formé a pour cotés:
base = [latex]\sqrt3/2[/latex]
gauche = hauteur du triangle rectangle = [latex]\sqrt3/2[/latex]
droite = un cote de triangle = [latex]1[/latex]

La hauteur verticale de ce triangle qui s’élève vers le sommet du tétraèdre découpe la base en trois parties égales (symétrie de l'objet). [latex]AH = 2 HB = \sqrt3/6[/latex] ce qui donne une hauteur de [latex]\sqrt6/3[/latex]

le rayon du cercle inscrit = 2S / (a+b+c) = [latex]\frac{\sqrt(2)}{2(1+\sqrt3)}=\frac{\sqrt2 (\sqrt3-1)}{4}[/latex]

La distance AO est donc
[TeX]sqrt{AB^2-\frac{BC^2}{4}}-r=(3/4-1/4)^{1/2}-\frac{\sqrt2 (\sqrt3-1)}{4}=\frac{\sqrt2 (3-\sqrt3)}{4}[/TeX]
ce qui donne pour une sphere unitaire les valeurs
AO = [latex]=\frac{\sqrt2 (3-\sqrt3)}{4} / \frac{\sqrt2 (\sqrt3-1)}{4} = \frac{ 3-\sqrt3}{\sqrt3-1}=\sqrt3[/latex]
et un cote = 1/r = [latex] \sqrt2(1+\sqrt3)[/latex]


The proof of the pudding is in the eating.

 #6 - 13-01-2011 19:15:28

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Qui sera l epharaon de la géométrie ?

Barbabulle a des ces formules... big_smile

Mais où va-t-il chercher tout ça... [latex]r=h/4[/latex] et hup hup hup barbatruc !

 #7 - 13-01-2011 20:01:52

Barbabulle
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 237

Qui esra le pharaon de la géométrie ?

Bah, Google => sphère inscrite tétraèdre régulier => 3ème lien...


La paix dans le monde n'est pas menacée par les révoltés, mais par les soumis.        Georges Bernanos

 #8 - 13-01-2011 20:31:40

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

qui sera le pharaon de la gépmétrie ?

Grrr... j'ai pas trouvé parce que j'ai pas mis "régulier" dans la requête.

 #9 - 13-01-2011 20:38:29

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

qui serz le pharaon de la géométrie ?

Barbabulle a écrit:

Bah, Google => sphère inscrite tétraèdre régulier => 3ème lien...

Ok j'ai vu... tu fais confiance à ce genre de page ? Et puis la typographie est tellement pourrie que je n'aurais même pas pris la peine de la lire en détail :-)

 #10 - 13-01-2011 21:16:06

Barbabulle
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 237

Qui sera le pharaon d ela géométrie ?

gasole a écrit:

tu fais confiance à ce genre de page ?

Bah, c'est pas non plus pour envoyer des hommes sur la lune hein !


La paix dans le monde n'est pas menacée par les révoltés, mais par les soumis.        Georges Bernanos

 #11 - 13-01-2011 21:53:58

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

qyi sera le pharaon de la géométrie ?

Ah parce qu'EN PLUS tu fais confiance à SaintPierre quant à l'utilisation de nos calculs ??? big_smile

 

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