Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 19-12-2012 22:54:33

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteeau 58

Mon pâtissier va mal sad

Il a préparé un gâteau de forme un peu étrange .

http://img716.imageshack.us/img716/5728/gteau58.jpg

Il partage les côtés en parts égales avant de trancher en ligne droite . Comme deux parts se sentent un peu seules , il prend la plus grosse et me confie l'autre , deux fois plus petite . Quand je lui fait remarquer l’originalité de son gâteau il précise que ses clients seront satisfaits car si les parts restantes ne sont pas toutes égales , chaque membre d’une même famille se verra attribuer la même portion .

Combien de familles vont-elles se partager le gâteau et quelle sera la part de chacun si le gâteau pèse 1,800 kg ?

Il ne va pas si mal mon pâtissier lollollol

Vasimolo

PS : une famille est constituée d’au moins deux personnes .

Indice 1: Spoiler : [Afficher le message] tous les segments du dessin sont nécessairement partagés en parts égales par les coupes .   
Indice 2: Spoiler : [Afficher le message] sur une même ligne les aires des quadrilatères sont en progression arithmétique .



Annonces sponsorisées :
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 20-12-2012 22:41:15

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâtea u58

Vu l'absence de réactions j'ai ajouté un petit indice smile

Vasimolo

 #3 - 20-12-2012 22:58:12

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Gâtea u58

EDIT suite à complément d'énoncé

Pour un gâteau 3x4 = 12 parts, les résultats sont :
http://www.prise2tete.fr/upload/halloduda-gateau58.png


2 familles de 2 et 2 familles de 3 personnes

1 part   100 soit 100 g pour Vasimolo     brun
2 parts 120 soit 240 g pour famille 1 de 2 personnes bleu
3 parts 140 soit 420 g pour famille 2 de 3 personnes jaune
3 parts 160 soit 480 g pour famille 3 de 3 personnes vert
2 parts 180 soit 360 g pour famille 4 de 2 personnes blanc
1 part   200 soit 200 g pour le pâtissier  rose

Total                  1800 g

 #4 - 20-12-2012 23:02:21

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâtteau 58

Le gâteau est partagé en 4X3 comme sur le modèle proposé smile

Vasimolo

 #5 - 21-12-2012 11:22:26

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteauu 58

C'est une possibilité Halloduda smile

Est-ce la seule et pourquoi ????

Vasimolo

 #6 - 22-12-2012 23:45:00

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâtea u58

J'ai ajouté un deuxième indice smile

Vasimolo

 #7 - 23-12-2012 06:08:58

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

âteau 58

C'est la seule répartition 3x4 que j'aie pu trouver.

Pour le principe, gâteau nxm, ce n'est pas la seule, on peut construire une répartition nxn pour n quelconque. Vérification Geogebra faite pour 5x5.
La progression arithmétique est alors 8, 9, 10, ..., 16.

Pour nxm on en prend un sous-ensemble de nxn en corrigeant le rapport (2 pour nxn).
Il me semble que pour tout n les diagonales (perpendiculaires) du gâteau nxn sont dans le rapport 3/2. Ça ressemble à un cerf-volant.

Je ne sais pas le démontrer.
Je ne sais pas non plus démontrer les spoilers.

 #8 - 23-12-2012 13:02:13

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâteay 58

@Halloduda

Les indices sont certainement deux nouvelles énigmes mais ils peuvent se résoudre avec de la géométrie de collège .

J'ai trouvé une seule solution pour le gâteau , j'ai pu me tromper smile

Vasimolo

 #9 - 28-12-2012 13:16:05

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteau 8

Merci Halloduda pour la participation et la réponse smile

Vasimolo

 #10 - 28-12-2012 17:01:37

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Gâteau 5

J'ai bien fait quelques essais mais sans réussite....

 #11 - 28-12-2012 18:22:04

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâteay 58

Une explication pour le premier indice smile

On considère un quadrilatère [latex]ABCD[/latex] et des points [latex]E,F,G[/latex] et [latex]H[/latex] sur les côtés
[TeX][AB],[BC],[CD][/latex] et [latex][DA][/latex] tels que [latex]\frac{EB}{EA}=\frac{GC}{GD}=p[/latex] et [latex]\frac{FC}{FB}=\frac{HD}{HA}=q[/latex] .

Il faut montrer qu’alors [latex]\frac{OF}{OH}=p[/latex] et [latex]\frac{OG}{OE}=q .[/TeX]
On trace les parallèles à [latex](HF)[/latex] passant par [latex]B,C,E,G .[/latex]
http://img204.imageshack.us/img204/6863/partsgales.jpg
Comme [latex]\frac{HD}{HA}=q , d=fq[/latex] et alors [latex]\frac{OG}{OE}=q[/latex] . De même [latex]\frac{OF}{OH}=p[/latex] .

On en déduit aisément que les différentes coupes du gâteau sont partagées en parts égales .

A suivre ...

Vasimolo

 #12 - 29-12-2012 11:03:05

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteau 588

Pour le deuxième indice une explication quasiment sans un mot :

http://img152.imageshack.us/img152/8533/harmonique.jpg
[TeX]A+B=C+D.[/TeX]
Alors [latex]A+C,C+D[/latex] et [latex]B+D[/latex] sont en progression arithmétique .

A suivre ...

Vasimolo

 #13 - 29-12-2012 16:02:00

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

âteau 58

J'aimerai bien répondre à l'énigme mais je ne comprends pas ça :

Il partage les côtés en parts égales avant de trancher en ligne droite. Comme deux parts se sentent un peu seules , il prend la plus grosse et me confie l'autre, deux fois plus petite.

hmm

Enfin je ne vois pas le rapport, n'y ce que ça représente par rapport à ton schéma...

Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #14 - 29-12-2012 18:01:58

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

fâteau 58

C'est vrai que les explications manquent singulièrement de clarté yikes

Le gâteau est un quadrilatère convexe quelconque de 1,800 kg . Les bords supérieurs et inférieurs sont partagés en quatre parties égales et les bords gauches et droits en trois parties égales . Le gâteau est alors découpé comme sur le dessin . Si on regroupe ensuite les parts par taille ( aire ) on constate que dans chaque classe il y a au moins deux parts sauf pour deux parts qui restent seules et pour ces deux parts , la plus grosse est le double de l'autre .

On veut retrouver la taille de chacune des douze parts smile

J'espère que c'est plus clair smile

Halloduda a donné un exemple qui aussi le mien , il reste à expliquer pourquoi il n'y en a pas d'autre ou à exhiber un autre exemple .

Vasimolo

 #15 - 29-12-2012 21:06:20

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

Gtâeau 58

Oui merci c'est déjà beaucoup plus clair, bon il n'y a plus qu'à réfléchir smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #16 - 30-12-2012 21:58:58

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,468E+3

Gâtaeu 58

Pour moi, le "beaucoup plus clair" reste un problème ardu qui demande un raisonnement poussé même à partir de bases simples.

Ce n'est pas du  gâteau...

 #17 - 30-12-2012 23:35:33

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gââteau 58

En fait la partie géométrique de l'énigme est complètement évacuée par les deux indices .

Il reste à prouver l'unicité de la solution smile

Pour résumer le problème :

On a une grille 3X4 dont la somme des cases est 1800 et telle que chaque ligne et chaque colonne est en progression arithmétique . Si on regroupe les cases de même valeur , seules deux cases restent isolées et la plus grande des deux vaut deux fois la plus petite .

Je précise que je n'ai aucune solution simple même si je suis quasi convaincu de l'unicité de la solution .

Ainsi résumé le problème peut intéresser ceux qui ont un goût modéré pour les gâteaux et la géométrie lollollollollol

Vasimolo

 #18 - 31-12-2012 01:25:55

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

Gâtaeu 58

Vasimolo a écrit:

Il reste à prouver l'unicité de la solution smile

Euh ouai...ou un contre exemple smile

J'ai cherché et je rejoins Gwen c'est tordu ton truc.
As-tu songé à consulter? De quoi rêves-tu la nuit? Tu es marié? Ta femme t'énerve? Tu as peur d'être seul pour le réveillon?... tongue


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #19 - 31-12-2012 19:24:35

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteau 588

@Shadock

Je te rassure la plupart de mes rêves ne parlent pas de maths et j'ai une vie sociale et familiale plutôt équilibrée smile

Comme la plupart des habitués du site je comble mes temps morts en imaginant de nouveaux instruments de torture ou en m'essayant à ceux des autres lollollol

C'est sûrement ridicule mais ces problèmes font partie de mes détentes favorites .

Vasimolo

PS : Sinon au point où on est rendu je suis presque sûr que le problème a une solution évidente .

Bon réveillon !!!

 #20 - 01-01-2013 18:56:09

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteau 5

Bon , la solution est bien unique et j'ai une preuve très courte . J'essaierai d'envoyer ça ce soir smile

Bonne année à tous .

Vasimolo

 #21 - 01-01-2013 20:05:04

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Gâeau 58

Salut, j'ai trouvé également une démonstration de l'unicité :

Si l'on note la grille :

Code:

i, j, k, l
e, f, g, h
a, b, c, d

Alors, pour ne pas avoir de part isolée à part a et l, il faut b=e et k=h.

en notant b=a+r et f=a+r+s, on obtient alors :

Code:

a+2r, a+r+2s,   a+4s, a-r+6s
 a+r,  a+r+s, a+r+2s, a+r+3s
   a,    a+r,   a+2r,   a+3r

k=h donne a+4s=a+r+3s donc r=s, ce qui donne :

Code:

a+2r, a+3r, a+4r, a+5r
 a+r, a+2r, a+3r, a+4r
   a,  a+r, a+2r, a+3r

De 2a=l, on en déduit que a=5r.
Puis en utilisant que la somme fait 1800, on trouve que a=100 et r=20.

 #22 - 01-01-2013 20:47:55

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâetau 58

Pourquoi les parts isolées ne serait-elles pas "a et i" ou "a et d" ou même i=j=k=l et les parts isolées "e et h" ?

J'ai trouvé un moyen d'éviter ces disjonctions de cas mais je n'ai pas le temps de l'illustrer pour le moment .

Vasimolo

 #23 - 01-01-2013 22:50:06

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâtrau 58

Aux symétries près les possibilités sont résumées sur les graphiques suivants 

http://img825.imageshack.us/img825/1072/solution1l.jpg

http://img189.imageshack.us/img189/4305/solution2.jpg

Un seul réalise une progression arithmétique sur les ordonnées , il correspond aux calculs de Titou .

Vasimolo

 #24 - 02-01-2013 01:01:24

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Gâteau 558

Vasimolo, je n'ai pas tout compris à ton dernier message "sans paroles".

Pour ma part, voici comment je vois que les parts extrêmes se trouvent à des coins opposés :

http://img716.imageshack.us/img716/5728/gteau58.jpg

Les parts sont plus petites du côté où les droites portant les côtés du quadrilatère vont se couper. Sur l'exemple de ton dessin, une part est plus petite que sa voisine de droite, ou que sa voisine du dessus. Pour s'en convaincre :

http://img152.imageshack.us/img152/8533/harmonique.jpg

Les aires de A et D sont proportionnelles aux hauteurs de ces triangles, qui augmentent lorsqu'on s'éloigne du côté où  les droites portant les côtés du quadrilatère vont se couper (admettons que c'est à gauche) : donc D > A et de même B > C. Et il en sera de même à "l'étage" du dessus : la progression se fera dans le même sens (par exemple la plus petite part à gauche).

Par conséquent, les parts extrêmes sont opposées.

 #25 - 02-01-2013 09:41:38

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

GGâteau 58

En effet c'est bien plus rapide comme ça smile

On peut remarquer que s'il y a plusieurs petites parts ou plusieurs grandes parts , les coupes dans une des deux directions sont parallèles et alors les parts dans chaque bande sont toutes égales , ce qui contredit l'hypothèse .

Il n'était pas si difficile ce gâteau .

Vasimolo

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : 

Si il y a 78 pommes et que vous en prenez 43, combien en avez-vous ?

Sujets similaires

Sujet Date Forum
P2T
Gâteau 94 par Vasimolo
17-02-2015 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 29 par Vasimolo
26-08-2010 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 14 par Vasimolo
14-07-2010 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 32 par Vasimolo
05-09-2010 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 116 par Vasimolo
27-12-2015 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 28 par Vasimolo
23-08-2010 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 86 par Vasimolo
26-12-2014 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 38 par Vasimolo
20-04-2011 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 37 par Vasimolo
19-04-2011 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 93 par Vasimolo
14-02-2015 Enigmes Mathématiques

Mots clés des moteurs de recherche

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete