Enigme Limite de l'année @ Prise2Tete

shadock · #1

C'est parce que j'ai adoré mon cours sur les dérivées
A vos crayons :

Calculer la limite suivante

$\lim\limits_{h \to 0} \frac{(1+h)^{2011}-1}{h}$
Bonus :
Spoiler : [Afficher le message] Pour ceux qui on encore envie de faire mumuse et qui trouve que c'est plus joli de généraliser

$\lim\limits_{h \to 0} \frac{(1+h)^{n}-1}{h}$ avec

$n \in \mathbb{N}$

Bonne chance à tous, enfin chance, vu le niveau qu'il y a ici

Shadock

Excusez moi je me suis aperçu un peu tard que j'avais oublié un 1.

franck9525 · #2

~~quelque soit n, La limite tends vers + infini.~~

EDIT
avec la soustraction du 1 au numérateur on obtient la définition de la dérivé de $f(x)$

$f'(x_0)=\lim_{x\to x_0} \frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
Ici

$\rm x_0=0 et f(x)=(a+x)^n avec a=1 et f(0)=a^n=1$

La dérivée de

$\rm f(x) est f'(x)=n(a+x)^{n-1}$
Donc
[TeX]\rm f'(0)=n(a+0)^{n-1}=n.a (ou =n avec a=1)[/latex] qui est la limite recherchée

PS: Cette façon de résoudre des limites est une méthode qu'il est interessant de garder en mémoire pour l'appliquer pour d'autres cas d’indétermination de type 0/0. Quelques exemples:

[latex]\lim_{x\to 0} \frac {sin(x)}{x}[/TeX][TeX]\lim_{x\to 4} \frac {\sqrt{x}-2}{x-4}[/TeX][TeX]\lim_{x\to 0} \frac {e^x-1}{x}[/TeX]
PPS: cette approche est une méthode vulgaire de la règle de l’hôpital avec g(x)=x

L00ping007 · #3

Tu adoreras encore plus ton cours sur les développements limités

$(1+h)^{n} = 1 + nh + o(n)[/latex] pour h au voisinage de 0 donc [latex](1+h)^{n} -1 \underset{h\to0}{\sim\,} nh$
La limite cherchée est donc : n

debutant1 · #4

2011

fred101274 · #5

En utilisant le théorème de l'Hospital, on trouve immédiatement 2011 pour la première limite et n pour la généralisation.

Tromaril · #6

Bonjour,

$(1+h)^{2011}=1+2011h+h^2P(h)$ où P est un polynôme de d° 2009

La limite demandée est donc 2011

gabrielduflot · #7

${{(1+h)^n-1}\over h}={{1+nh+qh^2-1}\over h}=n+qh[/latex] d'où [latex]lim_{h->0}{{(1+h)^n-1}\over h}=n$

MthS-MlndN · #8

Pas bien dur quand on se souvient du binôme de Newton...

$\begin{align} \lim\limits_{h \to 0} \frac{(1+h)^{2011}-1}{h} &= \lim_{h \to 0} \frac{\left( \sum_{i=0}^{2011} \binom{2011}{i} h^i \right) -1}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \sum_{i=0}^{2010} \binom{2011}{i+1} h^i \\ &= \sum_{i=0}^{2010} \binom{2011}{i+1} 0^i \\ &= \binom{2011}{1} \\ \lim\limits_{h \to 0} \frac{(1+h)^{2011}-1}{h} &= 2011 \end{align}$
La généralisation est vite faite

Klimrod · #9

Ca ressemble à un exo classique de math.

Il faut développer $(1+h)^n = somme(Cn,k * h^n)$ .
Quand h tend vers 0, la limite de l'expression proposée vaut donc $Cn,1$ , soit $n$ .

Pour n=2011, la réponse attendue est donc 2011.

gwen27 · #10

(1+ h)^n = 1 +nh + ...h^2+...h^n

((1+h)^n - 1 ) /h= n + (ah+bh^2 .....)

Quand h tends vers zéro, la limite tend vers n

gasole · #11

Wolfram Alpha est vraiment un bel outil, il trouve n, comme moi :-)

scarta · #12

Bon alors $(1+h)^n = \sum_{k=0}^{n}C_n^kh^k = \sum_{k=2}^{n}C_n^kh^k + hC_n^1+1 = \sum_{k=0}^{n-2}C_n^{k+2}h^{k+2} + hn + 1=\\ h^2.f(h) + hn + 1$
f étant un polynôme de degré n-2 dont on se fiche pas mal.

$\frac{(1+h)^n-1}{h} = h.f(x) + n$
Donc, quand h tend vers 0, notre expression tend vers n.

irmo322 · #13

(1+h)^2011-1
=[(1+h)-1][(1+h)^2010+(1+h)^2009+...+1]
=h[(1+h)^2010+(1+h)^2009+...+1]

Donc:
[(1+h)^2011-1]/h
=(1+h)^2010+(1+h)^2009+...+1

Et ça tend vers 2011 quand h tend vers 0.

Nicouj · #14

Le binôme de Newton simplifie le -1 et le /h on obtient C_n_1 +h*(...) qui tend vers C_n_1 = n quand h tend vers 0

Milou_le_viking · #15

Hello,

J'obtiens 2011 mais c'est pas bon alors je vais bouder.

$\lim_{ h\to 0 } \frac{\left ( h+1 \right )^{2011} - 1}{h}$

$= \lim_{h \to 0}\frac{\sum_{i=0}^{2011}\binom{2011}{i}h^{2011-i}-1}{h}$

$= \lim_{h \to 0}\frac{\sum_{i=0}^{2009}\binom{2011}{i}h^{2011-i}+\binom{2011}{2010}h^{2011-2010}+\binom{2011}{2011}h^{2011-2011}-1}{h}$

$= \lim_{h \to 0}\sum_{i=0}^{2009}\binom{2011}{i}h^{2010-i}+2011$
$=2011$

Ah ben c'est accepté maintenant.

Nombrilist · #16

2011 ! Ouaiiiiiis, trouvé du premier coup. Mais j'ai pas compris l'histoire des dérivés.

halloduda · #17

Déjà répondu avec le champ "valider", ne semble pas avoir été pris en compte.
La réponse est 2011.

naddj · #18

Je découvre le latex, parce que c'est tout moche sinon...

En passant par les développements limités en 0 de $(1+h)^n$

On a :

$\underset{h \rightarrow 0}{lim} \frac{(1+h)^n-1}{h} = \underset{h \rightarrow 0}{lim} \frac{1+nh+o(h)-1}{h} \underset{h \rightarrow 0}{lim} \frac{(1+h)^n-1}{h} = \underset{h \rightarrow 0}{lim} n+o(h) \underset{h \rightarrow 0}{lim} \frac{(1+h)^n-1}{h} = n$
Donc :

$\underset{h \rightarrow 0}{lim} \frac{(1+h)^{2011}-1}{h} = 2011$

Jackv · #19

(1 + h)^n = 1 + n * h + des termes en h² ... h^n
Si on retranche 1 et que l'on divise par h il reste :
n + des termes en h ... h^(n-1)
Quand h tend vers 0 tous les termes en h^x tendent vers 0,
et la limite tend vers n, soit, ici, 2011.

shadock · #20

La réponse est bien 2011, la définition de la dérivée suffisait emplement, j'ai fais un raisonnement similaire à celui de @Frank9525 :

franck9525 a écrit:
EDIT
avec la soustraction du 1 au numérateur on obtient la définition de la dérivé de $f(x)$
$f'(x_0)=\lim_{x\to x_0} \frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
Ici $\rm x_0=0 et f(x)=(a+x)^n avec a=1 et f(0)=a^n=1$

La dérivée de $\rm f(x) est f'(x)=n(a+x)^{n-1}$
Donc
$\rm f'(0)=n(a+0)^{n-1}=n.a (ou =n avec a=1)$ qui est la limite recherchée

PS: Le binôme de Newton et les DL, je m'en passe très bien

Bravo et Merci à tous !!
Shadock

L00ping007 · #21

Disons pour être tout à fait précis, que le développement limité est issu du calcul des dérivées successives, c'est un outil qui est donc plus fort.
Donc je dirai plutôt qu'en utilisant le développement limité, je me passe du calcul de la dérivée

gasole · #22

Je trouve la variété des réponses, qui sont justes en plus, extraordinaire

shadock · #23

Surtout la tienne mais c'est vrai que les maths c'est un ensemble de raisonnements différents qui permettent de trouver une réponse à un problème.

L00ping007 · #24

Une autre ?

On pose $r=1+h$

$f(h)=\frac{(1+h)^n-1}{h} = \frac{r^n-1}{r-1}$
On reconnaît la somme d'une suite géométrique :

$f(h)=\sum_{k=0}^{n-1} r^k$
Avec r qui tend vers 1 quand h tend vers 0, on voit bien que f(h) tend vers n.

Oups, démonstration déjà évoquée, au temps pour moi, j'ai rien dit

on pourrait aussi par les exponentielles, mais après, c'est pour les mouches ...

MthS-MlndN · #25

T'as raison, elles morflent assez comme ça

halloduda a écrit:
Déjà répondu avec le champ "valider", ne semble pas avoir été pris en compte.

Pas de validation de réponse sur les forums comme sur les énigmes officielles : les réponses se font à la main, la barre réponse permet juste de vérifier qu'on a trouvé la bonne réponse.

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#1 - 15-01-2011 22:59:58

Limite de ll'année

#0 Pub

#2 - 15-01-2011 23:46:52

Limit ede l'année

#3 - 16-01-2011 03:45:48

limite de l'znnée

#4 - 16-01-2011 07:46:13

Limite de l'annéée

#5 - 16-01-2011 10:55:54

Limtie de l'année

#6 - 16-01-2011 13:33:36

imite de l'année

#7 - 16-01-2011 14:45:29

limote de l'année

#8 - 16-01-2011 15:21:44

limite fe l'année

#9 - 16-01-2011 16:03:15

limite fe l'année

#10 - 16-01-2011 16:56:48

Limmite de l'année

#11 - 16-01-2011 21:36:05

Limit de l'année

#12 - 16-01-2011 21:46:17

limire de l'année

#13 - 17-01-2011 06:00:50

Limite dde l'année

#14 - 17-01-2011 10:07:35

limite fe l'année

#15 - 17-01-2011 14:20:54

Limmite de l'année

#16 - 17-01-2011 19:53:41

Limie de l'année

#17 - 18-01-2011 11:57:52

limiye de l'année

#18 - 18-01-2011 14:38:25

limite de l'annéz

#19 - 18-01-2011 15:17:35

Limite de l'annéée

#20 - 18-01-2011 23:34:40

lumite de l'année

franck9525 a écrit:

#21 - 18-01-2011 23:40:58

Limit ede l'année

#22 - 18-01-2011 23:50:25

lilite de l'année

#23 - 18-01-2011 23:53:42

limite de k'année

#24 - 19-01-2011 02:09:36

Lmite de l'année

#25 - 19-01-2011 13:33:24

limite de l'anbée

halloduda a écrit:

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