Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 15-01-2011 22:59:58

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3318

limite se l'année

C'est parce que j'ai adoré mon cours sur les dérivées lol
A vos crayons :

Calculer la limite suivante
[TeX] \lim\limits_{h \to 0} \frac{(1+h)^{2011}-1}{h} [/TeX]
Bonus :
Spoiler : [Afficher le message] Pour ceux qui on encore envie de faire mumuse et qui trouve que c'est plus joli de généraliser tongue [latex]\lim\limits_{h \to 0} \frac{(1+h)^{n}-1}{h}[/latex] avec [latex]n \in \mathbb{N}[/latex]

Bonne chance à tous, enfin chance, vu le niveau qu'il y a ici roll
Shadock

Excusez moi je me suis aperçu un peu tard que j'avais oublié un 1.



Annonces sponsorisées :

 
Réponse :

"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 15-01-2011 23:46:52

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Limite de l'anné

quelque soit n, La limite tends vers + infini.

EDIT
avec la soustraction du 1 au numérateur on obtient la définition de la dérivé de [latex]f(x)[/latex]
[TeX]f'(x_0)=\lim_{x\to x_0} \frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/TeX]
Ici [latex]\rm x_0=0 et f(x)=(a+x)^n avec a=1 et f(0)=a^n=1[/latex]

La dérivée de [latex]\rm f(x) est f'(x)=n(a+x)^{n-1}[/latex]
Donc
[TeX]\rm f'(0)=n(a+0)^{n-1}=n.a (ou =n avec a=1)[/latex] qui est la limite recherchée


PS: Cette façon de résoudre des limites est une méthode qu'il est interessant de garder en mémoire pour l'appliquer pour d'autres cas d’indétermination de type 0/0. Quelques exemples:

[latex]\lim_{x\to 0} \frac {sin(x)}{x}[/TeX][TeX]\lim_{x\to 4} \frac {\sqrt{x}-2}{x-4}[/TeX][TeX]\lim_{x\to 0} \frac {e^x-1}{x}[/TeX]
PPS: cette approche est une méthode vulgaire de la règle de l’hôpital avec g(x)=x


The proof of the pudding is in the eating.

 #3 - 16-01-2011 03:45:48

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1987
Lieu: Paris

lumite de l'année

Tu adoreras encore plus ton cours sur les développements limités smile
[TeX](1+h)^{n} = 1 + nh + o(n)[/latex] pour h au voisinage de 0
donc
[latex](1+h)^{n} -1 \underset{h\to0}{\sim\,} nh[/TeX]
La limite cherchée est donc : n

 #4 - 16-01-2011 07:46:13

debutant1
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 116

kimite de l'année

2011

 #5 - 16-01-2011 10:55:54

fred101274
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 163
Lieu: devant mon écran

Limie de l'année

En utilisant le théorème de l'Hospital, on trouve immédiatement 2011 pour la première limite et n pour la généralisation.


On n’est jamais très fort pour ce calcul...

 #6 - 16-01-2011 13:33:36

Tromaril
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 45

limite de l'znnée

Bonjour,

[latex](1+h)^{2011}=1+2011h+h^2P(h)[/latex] où P est un polynôme de d° 2009

La limite demandée est donc 2011

 #7 - 16-01-2011 14:45:29

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Limite de l''année

[TeX]{{(1+h)^n-1}\over h}={{1+nh+qh^2-1}\over h}=n+qh[/latex] d'où  [latex]lim_{h->0}{{(1+h)^n-1}\over h}=n[/TeX]

 #8 - 16-01-2011 15:21:44

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Limitte de l'année

Pas bien dur quand on se souvient du binôme de Newton...
[TeX]\begin{align} \lim\limits_{h \to 0} \frac{(1+h)^{2011}-1}{h} &= \lim_{h \to 0} \frac{\left( \sum_{i=0}^{2011} \binom{2011}{i} h^i \right) -1}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \sum_{i=0}^{2010} \binom{2011}{i+1} h^i \\ &= \sum_{i=0}^{2010} \binom{2011}{i+1} 0^i \\ &= \binom{2011}{1} \\ \lim\limits_{h \to 0} \frac{(1+h)^{2011}-1}{h} &= 2011 \end{align}[/TeX]
La généralisation est vite faite lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #9 - 16-01-2011 16:03:15

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3767
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Limite dde l'année

Ca ressemble à un exo classique de math.

Il faut développer [latex](1+h)^n = somme(Cn,k * h^n)[/latex].
Quand h tend vers 0, la limite de l'expression proposée vaut donc [latex]Cn,1[/latex], soit [latex]n[/latex].

Pour n=2011, la réponse attendue est donc 2011.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #10 - 16-01-2011 16:56:48

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,472E+3

Limite de l'anne

(1+ h)^n = 1 +nh + ...h^2+...h^n

((1+h)^n - 1 ) /h= n + (ah+bh^2 .....)


Quand h tends vers zéro, la limite tend vers n

 #11 - 16-01-2011 21:36:05

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

limite de l'annér

Wolfram Alpha est vraiment un bel outil, il trouve n, comme moi :-)

http://www.prise2tete.fr/upload/gasole-wolfram.JPG

 #12 - 16-01-2011 21:46:17

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1433

lomite de l'année

Bon alors [latex](1+h)^n = \sum_{k=0}^{n}C_n^kh^k = \sum_{k=2}^{n}C_n^kh^k + hC_n^1+1 = \sum_{k=0}^{n-2}C_n^{k+2}h^{k+2} + hn + 1=\\
h^2.f(h) + hn + 1[/latex]
f étant un polynôme de degré n-2 dont on se fiche pas mal.
[TeX]\frac{(1+h)^n-1}{h} = h.f(x) + n[/TeX]
Donc, quand h tend vers 0, notre expression tend vers n.

 #13 - 17-01-2011 06:00:50

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

Limite dee l'année

(1+h)^2011-1
=[(1+h)-1][(1+h)^2010+(1+h)^2009+...+1]
=h[(1+h)^2010+(1+h)^2009+...+1]

Donc:
[(1+h)^2011-1]/h
=(1+h)^2010+(1+h)^2009+...+1

Et ça tend vers 2011 quand h tend vers 0.

 #14 - 17-01-2011 10:07:35

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

limite de l'anbée

Le binôme de Newton simplifie le -1 et le /h on obtient C_n_1 +h*(...) qui tend vers C_n_1 = n quand h tend vers 0

 #15 - 17-01-2011 14:20:54

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

Liite de l'année

Hello,


J'obtiens 2011 mais c'est pas bon alors je vais bouder.
[TeX]\lim_{ h\to 0 } \frac{\left ( h+1 \right )^{2011} - 1}{h}[/TeX][TeX]= \lim_{h \to 0}\frac{\sum_{i=0}^{2011}\binom{2011}{i}h^{2011-i}-1}{h}[/TeX][TeX]= \lim_{h \to 0}\frac{\sum_{i=0}^{2009}\binom{2011}{i}h^{2011-i}+\binom{2011}{2010}h^{2011-2010}+\binom{2011}{2011}h^{2011-2011}-1}{h}[/TeX][TeX]= \lim_{h \to 0}\sum_{i=0}^{2009}\binom{2011}{i}h^{2010-i}+2011[/TeX]
[latex]=2011[/latex]

Ah ben c'est accepté maintenant.

 #16 - 17-01-2011 19:53:41

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

Limite de l'annéee

2011 ! Ouaiiiiiis, trouvé du premier coup. Mais j'ai pas compris l'histoire des dérivés.

 #17 - 18-01-2011 11:57:52

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Limite de l'annnée

Déjà répondu avec le champ "valider", ne semble pas avoir été pris en compte.
La réponse est 2011.

 #18 - 18-01-2011 14:38:25

naddj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 301
Lieu: Ffm

Limit de l'année

Je découvre le latex, parce que c'est tout moche sinon...

En passant par les développements limités en 0 de [latex](1+h)^n[/latex]

On a :
[TeX]
\underset{h \rightarrow 0}{lim} \frac{(1+h)^n-1}{h} = \underset{h \rightarrow 0}{lim} \frac{1+nh+o(h)-1}{h}

\underset{h \rightarrow 0}{lim} \frac{(1+h)^n-1}{h} = \underset{h \rightarrow 0}{lim} n+o(h)

\underset{h \rightarrow 0}{lim} \frac{(1+h)^n-1}{h} = n[/TeX]
Donc :
[TeX]\underset{h \rightarrow 0}{lim} \frac{(1+h)^{2011}-1}{h} = 2011[/TeX]

 #19 - 18-01-2011 15:17:35

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

iLmite de l'année

(1 + h)^n = 1 + n * h + des termes en h² ... h^n
Si on retranche 1 et que l'on divise par h il reste :
            n  + des termes en h ... h^(n-1)
Quand h tend vers 0 tous les termes en h^x tendent vers 0,
et la limite tend vers n, soit, ici, 2011.

 #20 - 18-01-2011 23:34:40

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3318

Liite de l'année

La réponse est bien 2011, la définition de la dérivée suffisait emplement, j'ai fais un raisonnement similaire à celui de @Frank9525 :

franck9525 a écrit:

EDIT
avec la soustraction du 1 au numérateur on obtient la définition de la dérivé de [latex]f(x)[/latex]
[TeX]f'(x_0)=\lim_{x\to x_0} \frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/TeX]
Ici [latex]\rm x_0=0 et f(x)=(a+x)^n avec a=1 et f(0)=a^n=1[/latex]

La dérivée de [latex]\rm f(x) est f'(x)=n(a+x)^{n-1}[/latex]
Donc
[latex]\rm f'(0)=n(a+0)^{n-1}=n.a (ou =n avec a=1)[/latex] qui est la limite recherchée

PS: Le binôme de Newton et les DL, je m'en passe très bien cool

Bravo et Merci à tous !!
Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #21 - 18-01-2011 23:40:58

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1987
Lieu: Paris

Limte de l'année

Disons pour être tout à fait précis, que le développement limité est issu du calcul des dérivées successives, c'est un outil qui est donc plus fort.
Donc je dirai plutôt qu'en utilisant le développement limité, je me passe du calcul de la dérivée smile

 #22 - 18-01-2011 23:50:25

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Limite e l'année

Je trouve la variété des réponses, qui sont justes en plus, extraordinaire big_smile

 #23 - 18-01-2011 23:53:42

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3318

Limite de 'année

Surtout la tienne lol mais c'est vrai que les maths c'est un ensemble de raisonnements différents qui permettent de trouver une réponse à un problème.


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #24 - 19-01-2011 02:09:36

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1987
Lieu: Paris

Limite de l'annnée

Une autre ?

On pose [latex]r=1+h[/latex]
[TeX]f(h)=\frac{(1+h)^n-1}{h} = \frac{r^n-1}{r-1}[/TeX]
On reconnaît la somme d'une suite géométrique :
[TeX]f(h)=\sum_{k=0}^{n-1} r^k[/TeX]
Avec r qui tend vers 1 quand h tend vers 0, on voit bien que f(h) tend vers n.

Oups, démonstration déjà évoquée, au temps pour moi, j'ai rien dit smile

on pourrait aussi par les exponentielles, mais après, c'est pour les mouches ... big_smile

 #25 - 19-01-2011 13:33:24

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Limtie de l'année

T'as raison, elles morflent assez comme ça lol

halloduda a écrit:

Déjà répondu avec le champ "valider", ne semble pas avoir été pris en compte.

Pas de validation de réponse sur les forums comme sur les énigmes officielles : les réponses se font à la main, la barre réponse permet juste de vérifier qu'on a trouvé la bonne réponse.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : 

Dans une course, vous doublez le 31ème, en quelle position êtes-vous ?

Sujets similaires

Mots clés des moteurs de recherche

Mot clé (occurences)
Lim (1+h)^2011-1 (6) — Exercice math lim h tend vers 0 de(1+h)^x/h (6) — Formule latex (5) — Calculer lim 1+h 2011 (4) — Limh-0 ((1+h)^2012)-1)/h) (3) — (1+h)^2011-1/h (3) — Calculer limite (1+h)^2011-1 / h (3) — Exercice maths premiere defi calculer limite de ((1+h)^2011-1)/h (3) — (1+h)^2011 - 1 / h (3) — Lim(1+h)^2011 (3) — Http://radio-r2r.fr/les-emissions/modern-zeuhl (2) — Maths 1ere s calculer lim(1+h)^2011-1/h (2) — Binome de newton (2) — Defis calculer lim (1+h) (2) — Historique de formule binome newton (2) — La reponse est 2011 (2) — Latex limit infinie (2) — Calculer limite de (1+h)^2011-1/h (2) — Lim(1+h)^2011/ (2) — Limit(((1+h)^2011)-1)/h (2) — Calculer limite (1+h)^2012/h (2) — Calculer la limite de (1-h)^2011-1 (2) — Calculer lim (h tend vers 0) de (1+h)^2012 (2) — Un calcul de limite (1+h)2011-1/h (2) — Polynome de newton (2) — Limite analyse non standard (2) — Longue formule latex (2) — Calculer lim (1+h) (2) — Calcul de limite (1+h)^2011 (2) — Lim (1+h)^2011-1/h (2) — Avec la soustraction du 1 au numerateur on obtient la definition de la derive de (2) — Lim h=0 (2) — Calculer la limite de (1+h)^2011-1/ (2) — Lim(1+h)^2011-1/h (1) — Calculer (1+h)^2011 (1) — Limite de (1+h)2012/h quand h tend vers 0 (1) — Binome newton (1) — Exponentiel (1) — Calculer lim h tend vers 0 (1+h)2011-1/h (1) — Un calcul de limite. calculer lim (1+h)2011 (1) — (1+h)2011 (1) — Solution du quadrigolo (1) — (1+h)^2011-1 (1) — Enigme limite de lannee (1) — Calculer lim h 0 ((1/h)puissance 2011-1)/h (1) — Lim ((1+h)^2011-1)/h (1) — Limite ((1+h)^2011-1)/h (1) — Calculer lim (1+h)^2011-1/h (1) — [(1+h)^2011-1]/h calcul de limite (1) — Enigme limite (1) — Calculer lim de h qui tend vers 0 de (1+h)^2011-1/(h) (1) — Exemple ou developpement limite plus fort que regle de l hospital (1) — Annee 1884 (1) — Calcul limite tend vers 0 binome de newton (1) — Calculer (1+h)2012-1 / h (1) — Calculer lim quand h tend vers 0 [( 1 + h )^2011 - 1]/h (1) — On est jamais tres fort pour ce calcul (1) — Fonction exponentielle (1) — Limite de (1+h)^2011-1/h (1) — Un calcul de limite calculer lim quand h tend vers zero 1+2011 (1) — (1) — Limite quand h tend vers 0 de (1+h)^2011-1/h (1) — Definition quadrigolo (1) — Un calcul de limite calculer lim 1+h 2011-1 (1) — Calculer la limite (1+h)^2011 (1) — Calcul de limite (1+h)^2011-1/h (1) — (1+h)^2012-1 / h (1) — Calcul de limite 1+h2011 (1) — (1+h)^2011 - 1 (1) — Et d ailleurs on est jamais tres fort pour ce calcul (1) — Formule binome newton (1) — Limite de h/1+h (1) — Calculer lim(((1+h)^2011 - 1/h)) (1) — Pas bien dur quand on se souvient du binome de newton... (1) — Lim (1+h)2012-1/h (1) — Lim(1+h)2011-1 /h (1) — Formule simplifiee du binome de newton (1) — Lim ((1+h)2011 - 1) : h (1) — Lim h ? 0 (1+h)^2011-1/h (1) — Lim h->0 (1+h)2011-1 /h (1) — Le quadrigolo (1) — Quadrigolo solution (1) — (1) — Lim (1+h)^2011 (1) — Calcul de limites (1+h)^2011 (1) —

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete