Et si n apprtient à R est-ce que la limite est n?

Il manquait une solution teintée d'Analyse Non Standard... pour ma part, je passerai par les DL non-standard.

On note $x^*$ la partie standard (ombre) d'un hyper-réel limité $x$.
Soit $\varepsilon$ un hyper-réel limité d'ombre $0$, un infinitésimal, on a :
$$\lim_{h \to \infty }\frac{(1+h)^n-1}{h} = \left(\frac{(1+\varepsilon)^n-1}{\varepsilon}\right)^*$$
et ce pour tout $n$ hyper-réel positif et a fortiori pour tout $n$ réel (pour répondre à la question de gabrielduflot)

Les développements limités nous donnent :
$$(1+\varepsilon)^n = 1+n\varepsilon+\frac{n(n-1)}{2!}\epsilon^2\mu[/latex] où [latex]\mu[/latex] est un infinitésimal quelconque. D'où [latex]\left(\frac{(1+\varepsilon)^n-1}{\varepsilon}\right) = n+\frac{n(n-1)}{2!}\epsilon\mu$$
dont la partie standard est immédiate :
$$\left(n+\frac{n(n-1)}{2!}\epsilon\mu\right)^* = n$$

En analyse non-standard, inventée par Robinson dans les années 60 mais l'idée était déjà là chez les inventeurs du calcul infinitésimal (Newton, Leibniz,...)
Figure toi qu'il existe des nombres dits infinitésimaux.
Soit $\epsilon>0$ un tel nombre, alors pour tout réel $\alpha>0$ on a $\epsilon<\alpha$.
$\epsilon$ est plus petit que tout nombre réel positif !!
Évidemment, l'inverse $1/\epsilon$ d'un infinitésimal est plus grand que n'importe quel réel !!
Et en quelque sorte si $r$est un réel, $r+\epsilon$ est infinitésimalement proche de $r$.

Les hyper-réels sont le mélange des réels habituels (standard) et de ces nouveaux nombres.
Un hyper-réel est dit limité s'il n'est pas plus grand que tout réel (ex : $\epsilon, r+\epsilon, \pi, r$ ... contre-exemple $1/\epsilon$)
L'ombre d'un hyper-réel limité est le réel dont il est infinitésimalement proche.

L'intérêt de l'analyse non-standard est de nettoyer les notions de limite (et donc de continuité, de dérivabilité, de convergence,etc) et d'intégration (plus de "dx", de "df" dont on ne sait jamais très bien ce qu'ils représentent).

Son inconvénient : elle n'est pas enseigné, les mathématiciens s'en tiennent au cadre classique, comme ils ont appris.

Moi je trouve ça super fun !

Plus ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_non_standard

Pour ne pas devenir fou, il faudrait commencer par ça. Quand on voit le temps qu'il a fallu pour imposer les algorithmes d'addition face au boulier, on se dit "Rien ne presse"...
Mais c'est clair que ça supprime certains objets mathématiques au statut douteux : comme les limites et les différentielles (lim et dx) qui ne sont ni des nombres, ni des fonctions, mais plutôt des processus, pour les remplacer par des nombres, non standard en l'occurrence. Les physiciens ont tendance à le faire spontanément d'ailleurs mais en bricolant.

Tout dépend probablement de comment c'est amené, on manque de recul. Il ne s'agit pas de tout balancer d'un coup. D'ailleurs regarde le temps qu'on met à aborder les réels... Ce que je voulais dire c'est qu'on devrait les introduire au bon moment, quand on aborde le calcul intégral et différentiel. Je ne pense pas que c'est plus compliqué de parler de dx que de dire que dx est un infinitésimal.

Les profs eux-mêmes ne sont pas formés alors quant  à transmettre...

... un jour peut être, dans quelques centaines d'années

NB : je ne suis pas prof de maths, je connais ça par la logique.

Mais plutôt l'histoire des maths. Vous voyez les enfants, et bien ce monsieur c'est l'inventeur de l'addition, mais passons, ceci est bien trop compliqué

Je veins de trouver une autre manière simple :

La limite de $\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ quand h tend vers zéro, c'est la  définition de la dérivée. (ici on fait le calcul en $x_0=1$)
On peut donc aussi écrire :
$$f'(1)=\frac{f(1+h)-1^{2011}}{h}=2011*1^{2010}=2011$$
Pour la rédaction certe ça manque de rigueur mais bon...

Shadock