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 #26 - 19-01-2011 20:42:49

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

limite se l'année

Et si n apprtient à R est-ce que la limite est n?

#0 Pub

 #27 - 19-01-2011 22:53:02

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Limite de la'nnée

[TeX]ln(1+h)=h+o(h^2)[/TeX]
Du coup, [latex](1+h)^n=e^{n h + n o(h^2)}[/latex]

Et [latex]\lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^n-1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^{n h}-1}{h}[/latex]

Comme [latex]e^x = 1 + x + o(x^2)[/latex], [latex]e^{nh} = 1 + nh + o(h^2)[/latex].

On déduit que la limite vaut [latex]n[/latex]. Si je ne me suis trompé nulle part.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #28 - 19-01-2011 23:42:37

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Limite de l'aannée

Il manquait une solution teintée d'Analyse Non Standard... pour ma part, je passerai par les DL non-standard.

On note [latex]x^*[/latex] la partie standard (ombre) d'un hyper-réel limité [latex]x[/latex].
Soit [latex]\varepsilon[/latex] un hyper-réel limité d'ombre [latex]0[/latex], un infinitésimal, on a :
[TeX]\lim_{h \to \infty }\frac{(1+h)^n-1}{h} = \left(\frac{(1+\varepsilon)^n-1}{\varepsilon}\right)^*[/TeX]
et ce pour tout [latex]n[/latex] hyper-réel positif et a fortiori pour tout [latex]n [/latex] réel (pour répondre à la question de gabrielduflot)

Les développements limités nous donnent :
[TeX](1+\varepsilon)^n = 1+n\varepsilon+\frac{n(n-1)}{2!}\epsilon^2\mu[/latex] où [latex]\mu[/latex] est un infinitésimal quelconque.

D'où [latex]\left(\frac{(1+\varepsilon)^n-1}{\varepsilon}\right) = n+\frac{n(n-1)}{2!}\epsilon\mu[/TeX]
dont la partie standard est immédiate :
[TeX]\left(n+\frac{n(n-1)}{2!}\epsilon\mu\right)^* = n[/TeX]

 #29 - 20-01-2011 18:36:20

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

Limite d l'année

Bien sur!! Je l'avais sur le bout des doigts mais je me suis dit que je passerai pour un extraterrestre à mon âge lollol

Hyper-réel limité d'ombre 0

yikes ça veut dire quoi?


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #30 - 20-01-2011 19:22:53

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
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Limiet de l'année

En analyse non-standard, inventée par Robinson dans les années 60 mais l'idée était déjà là chez les inventeurs du calcul infinitésimal (Newton, Leibniz,...)
Figure toi qu'il existe des nombres dits infinitésimaux.
Soit [latex]\epsilon>0[/latex] un tel nombre, alors pour tout réel [latex]\alpha>0[/latex] on a [latex] \epsilon<\alpha[/latex].
[latex]\epsilon[/latex] est plus petit que tout nombre réel positif !!
Évidemment, l'inverse [latex]1/\epsilon[/latex] d'un infinitésimal est plus grand que n'importe quel réel !!
Et en quelque sorte si [latex]r [/latex]est un réel, [latex]r+\epsilon[/latex] est infinitésimalement proche de [latex]r[/latex].

Les hyper-réels sont le mélange des réels habituels (standard) et de ces nouveaux nombres.
Un hyper-réel est dit limité s'il n'est pas plus grand que tout réel (ex : [latex]\epsilon, r+\epsilon, \pi, r[/latex] ... contre-exemple [latex]1/\epsilon[/latex])
L'ombre d'un hyper-réel limité est le réel dont il est infinitésimalement proche.

L'intérêt de l'analyse non-standard est de nettoyer les notions de limite (et donc de continuité, de dérivabilité, de convergence,etc) et d'intégration (plus de "dx", de "df" dont on ne sait jamais très bien ce qu'ils représentent).

Son inconvénient : elle n'est pas enseigné, les mathématiciens s'en tiennent au cadre classique, comme ils ont appris.

Moi je trouve ça super fun ! big_smile

Plus ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_non_standard

 #31 - 20-01-2011 19:56:07

fred101274
Professionnel de Prise2Tete
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limote de l'année

A Liège (Belgique), et plus précisément à l'ISIL (institut supérieur industriel liégeois) où l'on forme des ingénieurs, il y a un professeur de mathématiques (Mr Pétry) qui enseigne aux élèves de première année, l'analyse non standard... Les étudiants deviennent fous après 2 heures de cours, mais tous ceux qui ont le courage d'approfondir le sujet trouvent que cela simplifie les maths...


On n’est jamais très fort pour ce calcul...

 #32 - 20-01-2011 20:39:11

gasole
Elite de Prise2Tete
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Limmite de l'année

Pour ne pas devenir fou, il faudrait commencer par ça. Quand on voit le temps qu'il a fallu pour imposer les algorithmes d'addition face au boulier, on se dit "Rien ne presse"... big_smile
Mais c'est clair que ça supprime certains objets mathématiques au statut douteux : comme les limites et les différentielles (lim et dx) qui ne sont ni des nombres, ni des fonctions, mais plutôt des processus, pour les remplacer par des nombres, non standard en l'occurrence. Les physiciens ont tendance à le faire spontanément d'ailleurs mais en bricolant.

 #33 - 20-01-2011 20:43:39

fred101274
Professionnel de Prise2Tete
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Limite de ll'année

C'est vrai mais je ne suis pas certain que cela soit accessible à des élèves de 15-16 ans... Il y a quand même un risque majeur de décrochage. Il faut déjà bien tout comme ça...


On n’est jamais très fort pour ce calcul...

 #34 - 20-01-2011 20:48:41

gasole
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Limite de l'anneé

Tout dépend probablement de comment c'est amené, on manque de recul. Il ne s'agit pas de tout balancer d'un coup. D'ailleurs regarde le temps qu'on met à aborder les réels... Ce que je voulais dire c'est qu'on devrait les introduire au bon moment, quand on aborde le calcul intégral et différentiel. Je ne pense pas que c'est plus compliqué de parler de dx que de dire que dx est un infinitésimal.

Les profs eux-mêmes ne sont pas formés alors quant  à transmettre...

 #35 - 20-01-2011 20:56:20

fred101274
Professionnel de Prise2Tete
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lumite de l'année

C'est clair que l'on peut pratiquement tous partir en formation avant de pouvoir les enseigner correctement... Enfin, pour une fois on aurait une formation intéressante...


On n’est jamais très fort pour ce calcul...

 #36 - 20-01-2011 20:58:39

gasole
Elite de Prise2Tete
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limite fe l'année

... un jour peut être, dans quelques centaines d'années big_smile

NB : je ne suis pas prof de maths, je connais ça par la logique.

 #37 - 20-01-2011 21:03:06

fred101274
Professionnel de Prise2Tete
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Limite de ll'année

Tu te trompes... dans quelques centaines d'années, on n'enseignera plus les maths...lol


On n’est jamais très fort pour ce calcul...

 #38 - 20-01-2011 21:22:52

shadock
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Limitee de l'année

Mais plutôt l'histoire des maths. Vous voyez les enfants, et bien ce monsieur c'est l'inventeur de l'addition, mais passons, ceci est bien trop compliqué lollol


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #39 - 20-01-2011 21:24:05

fred101274
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limite se l'année

lollollol


On n’est jamais très fort pour ce calcul...

 #40 - 28-01-2011 22:23:08

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

Liimite de l'année

Je veins de trouver une autre manière simple :

La limite de [latex]\frac{f(1+h)-f(1)}{h}[/latex] quand h tend vers zéro, c'est la  définition de la dérivée. (ici on fait le calcul en [latex]x_0=1[/latex])
On peut donc aussi écrire :
[TeX]f'(1)=\frac{f(1+h)-1^{2011}}{h}=2011*1^{2010}=2011[/TeX]
Pour la rédaction certe ça manque de rigueur mais bon...cool

Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
 

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