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 #1 - 18-01-2011 19:41:54

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

géi-maîtrise

Dans un carré de côté a, on trace une diagonale et un segment, comme suit, tel que les cercles, de rayon r, soient inscrits aux triangles. Trouver r. Application: a = 4



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 #2 - 19-01-2011 03:33:52

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1988
Lieu: Paris

Géo-matrise

Après moults tangentes et racines de 2 je trouve :
[TeX]r = a \frac{1-\sqrt{sqrt{2}-1}}{2}[/TeX]
Application pour a=4 : r = 0,71

Je ne détaille pas mes calculs, ils sont horribles...
Je me suis servi des bissectrices des 2 triangles créés par le segment, et des angles droits des tangences au cercle, pour faire apparaître plein de tangentes des angles concernés ... Intervient souvent la tangente de pi/8 qui vaut V2 - 1 .

 #3 - 19-01-2011 09:17:32

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

géo-maîteise

Je trouve r=0.17820287355a
soit pour a=4, r=0.71281149419

point décimal, pas virgule (à cause du pavé numérique)

 #4 - 19-01-2011 10:22:29

Barbabulle
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 237

géo-maîtrose

D'après la formule donnant le rayon du cercle inscrit d'un triangle, nous avons
r=2*Surface/Périmètre

appelons x la distance entre le coin inférieur droit et le point d'intersection du segment.
nous avons alors pour le triangle 1 (celui qui a comme côté la diagonale du carré) :
Périmètre = [latex]P_1 = a\sqrt{2}+(a-x)+\sqrt{a^2+x^2}[/latex]
Surface = [latex]S_1 = a^2/2-S2[/latex]
Et pour le triangle 2 (celui qui a comme côté le côté du carré)
Périmètre = [latex]P_2 = a+x+\sqrt{a^2+x^2}[/latex]
Surface = [latex]S_2 = ax/2[/latex]

On arrive alors à
[TeX]r=2S_1/P_1 = 2S_2/P_2[/TeX]
On arrive donc à :
[TeX]x = a\frac{\sqrt{\sqrt{2}-1}}{\sqrt{2}}[/latex],

Soit :

[latex]r=a\frac{1-\sqrt{\sqrt{2}-1}}{2}[/TeX]
Pour l'application avec a = 4, nous avons r = 0.7128


La paix dans le monde n'est pas menacée par les révoltés, mais par les soumis.        Georges Bernanos

 #5 - 19-01-2011 10:45:38

debutant1
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 116

Goé-maîtrise

r=0,923

a=r(1+1/t)
a=r(1+2,415+2((1+t2)/(1-t2)))

 #6 - 19-01-2011 13:34:53

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Géo-maîtirse

Tu sais que, même avec Paint, tu peux découper une image ? smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #7 - 19-01-2011 18:04:26

Jackv
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1998
Lieu: 94110

géo-maîrrise

J'avoue que j'ai la flemme de développer ici les équations ...
que d'ailleurs je ne saurais pas résoudre.  sad

Mais par approximations successives, je trouve :
           r = 0.7128 smile

(Merci à SaintPierre pour ses exercices de math. ça rappelle de vieux souvenirs et ça remue les neurones !)

 #8 - 20-01-2011 12:25:32

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1922
Lieu: UK

Géo-maîttrise

Je suppose a=1 pour l'instant
Soit x la distance allant de l'intersection segment/bord du bas au coin bas droite.

le triangle de gauche a pour rayon
[TeX]r= \frac{2S}{\rm \sum cotes}=\frac{1-x}{\sqrt2+\sqrt{1+x^2}+1-x}[/TeX]
le triangle de droite a pour rayon
[TeX]r=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}+1+x}[/TeX]
Ce qui donne comme équation
[TeX]1-x*(1+sqrt(2))+sqrt(1+x^2)*(1-2*x)=0[/TeX]
et pour réponse (merci Wolfram)
[TeX]x = sqrt(1/2 (sqrt(2)-1)) \approx 0.455[/TeX]
avec a=4, r=0.7145


The proof of the pudding is in the eating.

 #9 - 20-01-2011 16:16:20

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

géi-maîtrise

Que de bonnes réponses! Bravo! wink


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 #10 - 23-01-2011 16:52:31

Franky1103
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Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

géo-laîtrise

Bonjour,
On écrit la relation entre surface d un triangle de côtés x, y et z et le cercle inscrit de rayon r: r = 2 S / (x+y+z)
On a pour les 2 triangles les côtés: a, ka, aV(1+kk) et aV2, (k-1)a, aV(1+kk)
r/a = k / (1 + k + V(1+kk)) = (1 - k) / (1 - k + V2 + V(1+kk))
En additionnant numérateur et dénominateur:
r/a = 1 / (2 + V2 + 2xV(1+kk))
La première relation donne après simplifications:
2 x kk = V2 - 1 donc k = V((1 + V2) / 2) soit k = 0,4551 environ
On injecte dans la seconde relation
r/a = 1 / (2 + V2 + V2 x (V(1+V2))) soit r/a = 0,1782 environ
Pour a = 4 on a r = 0,7128
Bonne fin de WE

 #11 - 23-01-2011 18:33:03

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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Lieu: Annecy

Géo-amîtrise

Encore une bonne réponse: celle de Franky1103.


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