Après moults tangentes et racines de 2 je trouve :
$$r = a \frac{1-\sqrt{sqrt{2}-1}}{2}$$
Application pour a=4 : r = 0,71

Je ne détaille pas mes calculs, ils sont horribles...
Je me suis servi des bissectrices des 2 triangles créés par le segment, et des angles droits des tangences au cercle, pour faire apparaître plein de tangentes des angles concernés ... Intervient souvent la tangente de pi/8 qui vaut V2 - 1 .

D'après la formule donnant le rayon du cercle inscrit d'un triangle, nous avons
r=2*Surface/Périmètre

appelons x la distance entre le coin inférieur droit et le point d'intersection du segment.
nous avons alors pour le triangle 1 (celui qui a comme côté la diagonale du carré) :
Périmètre = $P_1 = a\sqrt{2}+(a-x)+\sqrt{a^2+x^2}$
Surface = $S_1 = a^2/2-S2$
Et pour le triangle 2 (celui qui a comme côté le côté du carré)
Périmètre = $P_2 = a+x+\sqrt{a^2+x^2}$
Surface = $S_2 = ax/2$

On arrive alors à
$$r=2S_1/P_1 = 2S_2/P_2$$
On arrive donc à :
$$x = a\frac{\sqrt{\sqrt{2}-1}}{\sqrt{2}}[/latex], Soit : [latex]r=a\frac{1-\sqrt{\sqrt{2}-1}}{2}$$
Pour l'application avec a = 4, nous avons r = 0.7128

Tu sais que, même avec Paint, tu peux découper une image ?

Je suppose a=1 pour l'instant
Soit x la distance allant de l'intersection segment/bord du bas au coin bas droite.

le triangle de gauche a pour rayon
$$r= \frac{2S}{\rm \sum cotes}=\frac{1-x}{\sqrt2+\sqrt{1+x^2}+1-x}$$
le triangle de droite a pour rayon
$$r=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}+1+x}$$
Ce qui donne comme équation
$$1-x*(1+sqrt(2))+sqrt(1+x^2)*(1-2*x)=0$$
et pour réponse (merci Wolfram)
$$x = sqrt(1/2 (sqrt(2)-1)) \approx 0.455$$
avec a=4, r=0.7145

Bonjour,
On écrit la relation entre surface d un triangle de côtés x, y et z et le cercle inscrit de rayon r: r = 2 S / (x+y+z)
On a pour les 2 triangles les côtés: a, ka, aV(1+kk) et aV2, (k-1)a, aV(1+kk)
r/a = k / (1 + k + V(1+kk)) = (1 - k) / (1 - k + V2 + V(1+kk))
En additionnant numérateur et dénominateur:
r/a = 1 / (2 + V2 + 2xV(1+kk))
La première relation donne après simplifications:
2 x kk = V2 - 1 donc k = V((1 + V2) / 2) soit k = 0,4551 environ
On injecte dans la seconde relation
r/a = 1 / (2 + V2 + V2 x (V(1+V2))) soit r/a = 0,1782 environ
Pour a = 4 on a r = 0,7128
Bonne fin de WE