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 #1 - 26-04-2011 00:46:55

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Venndu !

Jean-Pierre est représentant. Son territoire de vente se compose de trois villes: Ausser, Bordo et Caley. Il ne vend jamais deux jours de suite dans la même ville. Si, un jour donné, il vend dans la ville d'Ausser, il vendra le jour suivant dans la ville de Bordo. Mais si, un certain jour, il vend dans la ville de Bordo, ou dans la ville de Caley, il y a deux fois plus de chance pour que, le lendemain, il vende dans la ville d'Ausser plutôt que dans la ville restante. Quelle est, en fin de compte, la fréquence de vente dans chaque ville ?



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C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
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 #2 - 26-04-2011 01:44:17

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3761
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

venfu !

Bonsoir,

J'ai trouvé Ausser = 40%, Bordo = 45% et Caley = 15%

Les équations :
P(B) = P(A) + P(C)/3 car on est à Bordeaux à chaque fois qu'on vient d'Ausser et une fois sur trois après Caley.
P(C) = P(B)/3 car on est à Caley une fois sur trois après Bordo.
P(A) + P(B) + P(C) = 1 car il faut bien être quelque part !

Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #3 - 26-04-2011 11:03:14

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Venddu !

Chaîne de Markov.

La flemme pour l'instant lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #4 - 26-04-2011 16:20:50

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Vendu

A= 40%
B= 45%
C= 15%

nb On n'a pas besoin de supposer les probabilités initiales.

 #5 - 26-04-2011 21:42:11

Kikuchi
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 46
Messages : 91

venfu !

Alors si j'ai tout bien compris, ça donne :
http://www.prise2tete.fr/upload/Kikuchi-ProbaVendu.png

Où l'on voit que:[latex]\left\{
\begin{array}{l}
p(A)=\dfrac{2}{3} p(B)+\dfrac{2}{3} p(C)\\
p(B)=p(A)+\dfrac{1}{3} p(C)\\
p(C)=\dfrac{1}{3} p(B)
\end{array}
[/latex]

En injectant la troisième équation dans la première, on a : [latex]p(A)=\dfrac{8}{9}p(B)[/latex]

Or, [latex]p(A)+p(B)+p(C)=1[/latex] car ces trois villes constituent l'ensemble de son territoire.

D'où: [latex]\dfrac{8}{9}p(B)+p(B)+\dfrac{1}{3} p(B)=1 \;\Rightarrow\; p(B)=\dfrac{9}{20}[/latex]

Au final:[latex]\left\{
\begin{array}{l}
p(A)=\dfrac{8}{20}\\
p(B)=\dfrac{9}{20}\\
p(C)=\dfrac{3}{20}
\end{array}
[/latex]


There's no scientific consensus that life is important

 #6 - 26-04-2011 22:05:38

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

Venduu !

Je note [latex]a_n, b_n, c_n[/latex] les probabilités au jour n de vendre dans les villes d'Ausser, Bordo, et Caley. Je note les évènements associés [latex]A_n, B_n,C_n[/latex]

On peut regrouper les données de l'énoncé dans le taleau suivant, où chaque case vaut la probabilité [latex]P(X_n/Y_n)[/latex]

http://www.prise2tete.fr/upload/L00ping007-tableauABC.jpg

On en déduit les 3 relations de récurrence suivantes :
[TeX]
\left {
\begin{array}{ccc}
a_{n+1} & = & \frac23b_n+\frac23c_n \\
b_{n+1} & = & a_n+\frac13c_n \\
c_{n+1} & = & \frac13b_n \\
\end{array}
[/TeX]
On introduit alors la matrice A :
[TeX]
A=\left (
\begin{array}{ccc}
0 & \frac23 & \frac23 \\
1 & 0 & \frac13 \\
0 & \frac13 & 0 \\
\end{array}
\right )
[/TeX]
et le vecteur [latex]V_n[/latex] :
[TeX]
V_n=\left (
\begin{array}{ccc}
a_n \\
b_n \\
c_n \\
\end{array}
\right )
[/TeX]
Les relations de récurrence se mettent sous la forme
[TeX]V_{n+1}=A.V_n[/TeX]
Si on veut trouver les probabilités limites (quand le nombre de jours tend vers l'infini), on cherche un vecteur constant V vérifiant :
[TeX]V=A.V[/TeX]
On trouve :
[TeX]
V=\left (
\begin{array}{ccc}
\frac25 \\
\frac9{20} \\
\frac3{20} \\
\end{array}
\right )
[/TeX]
Si on veut trouver les probabilités en fonction de n, c'est un peu plus compliqué.

La matrice A a pour valeurs propres (je passe les calculs) :
[TeX]\lambda_1=1
\lambda_2=-\frac23
\lambda_3=-\frac13
[/TeX]
On peut diagonaliser la matrice, avec matrice de passage et tout le toutim, ou alors on peut utiliser le fait que chacune des suites [latex]a_n,b_n,c_n[/latex] vérifie alors une relation de la forme :
[TeX]x_n=x_1+x_2.(-\frac23)^n+x_3.(-\frac13)^n[/TeX]
où [latex]x_1,x_2,x_3[/latex] sont des constantes

Après quelques calculs, on aboutit à la forme finale :
[TeX]
\left {
\begin{array}{ccc}
a_{n} & = & \frac25-\frac1{15}(-\frac23)^n \\
b_{n} & = & \frac9{20}+\frac2{15}(-\frac23)^n-\frac14(-\frac13)^n \\
c_{n} & = & \frac3{20}-\frac1{15}(-\frac23)^n+\frac14(-\frac13)^n \\
\end{array}
[/TeX]
Et on retrouve bien les valeurs limites !

 #7 - 26-04-2011 22:13:08

Tromaril
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 45

venfu !

Si a, b et c sont les fréquences, il faut résoudre le système
2/3b+2/3c=a
a+c/3=b
b/3=c
a+b+c=1

ce qui donne a=0.4, b=0.45 et c=0.15

 #8 - 30-04-2011 11:03:11

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

vrndu !

En effet, Mathias, une petite chaîne de Markov...
Vos solutions, bien que différentes, amènent toutes à la même bonne réponse. Bravo à vous ! J'ai essayé d'en trouver une inédite... qui laisse un peu de côté "matrice de transition" et "diagonalisation".

On peut chercher le vecteur de probabilité (composantes positives et somme des composantes égale à 1) qui est vecteur propre de la transposée de P pour la valeur propre 1 : c'est ce qu'on appelle le vecteur de probabilité constant. On trouve facilement le vecteur http://nsa25.casimages.com/img/2011/04/30/110430110238228577.jpg, qui s'interprète de la même façon : Jean-Pierre passe 40 jours sur 100 dans la ville d'Ausser, 45 jours sur 100 dans la ville de Bordo et 15 jours sur 100 dans la ville de Caley. Cette méthode a l'avantage d'être rapide. Elle ne nécessite pas une diagonalisation complète de P.


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
 

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