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 #1 - 06-03-2011 17:16:11

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

revenons à la géo (niceau **)

Infos: ABCD est un carré de côté 1 et ABE est équilatéral.
Question: quelle est l'aire de la partie grisée ?

http://nsa26.casimages.com/img/2011/03/06/110306051729141960.jpg



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C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
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 #2 - 06-03-2011 18:14:03

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

revenons à la géo (nivzau **)

[TeX]\frac{\sqrt3}2-\frac34[/TeX]
Je prends le repère [latex](A;\vec{AB};\vec{AD})[/latex]
Les coordonnées des points dans ce repère sont :
[TeX]A(0,0)
B(1,0)
C(1,1)
D(0,1)
E(\frac12,\frac{\sqrt3}2)
F(x,x)[/TeX]
avec x à déterminer.
On sait que [latex]\vec{EB}[/latex] et [latex]\vec{BF}[/latex] sont colinéaires :
[TeX]\vec{EB}(\frac12,-\frac{\sqrt3}2)
\vec{BF}(x-1,x)
[/TeX]
donc [latex]\frac{x}2+(x-1)\frac{\sqrt3}2=0[/latex]
et [latex]x=\frac{\sqrt3}{1+\sqrt3}[/latex]

L'aire de AEF est égale à la différence entre les aires de AEB et AFB
[TeX]A(AEB)=\frac{\sqrt3}4
A(AFB)=\frac{x}2=\frac{\sqrt3}{2(1+\sqrt3)}=\frac{3-\sqrt3}4[/TeX]
donc [latex]A(AEF)=\frac{\sqrt3}2-\frac34[/latex]

 #3 - 06-03-2011 18:22:56

debutant1
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 116

revenons à ka géo (niveau **)

calcul des angles du triangle AEF

câe =15°
aêb= 60°
a^fe = 105°

sin15)     /FE =  sin 60°   /AF = sin 105°     /AE

FE = (sin15°/ sin105°)*AE
soit h la hauteur issue de F sur AE

h= EF* sin60°

S = AE*  h / 2
soit S = (sin15°  *  sin60° )/2*sin105° =0,116

 #4 - 06-03-2011 18:41:19

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

revznons à la géo (niveau **)

Deux solutions différentes pour la même bonne réponse. Bravo à vous deux !


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #5 - 06-03-2011 19:22:03

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Revvenons à la géo (niveau **)

Dans le triangle AEF, les angles font 15, 60 et 105°.
[TeX]2R=\frac {AE}{sin {\frac {7\pi} {12}}}[/TeX][TeX]AE=1[/TeX][TeX]EF=2R sin {\frac {\pi} {12}}[/TeX][TeX]AF=2R sin {\frac {\pi} 3}[/TeX][TeX]S=\frac {abc} {2R}=\frac{sin {\frac {\pi}{12}sin {\frac {\pi} 3}}} {2sin {\frac {7\pi} {12}}}[/TeX][TeX]\approx 0.1160254038[/TeX]

 #6 - 06-03-2011 19:56:42

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

revenons à ma géo (niveau **)

si on se place dans le repère (A;AB;AD)
A(0;0) B(1;0)  C(1;1) D(0;1) E([latex]{1\over2};{\sqrt3\over2}[/latex]) la droite (BE) à pour équation y=[latex]\sqrt3(1-x)[/latex] donc F sera à l'intersection des droites (BE) et y=x donc y=[latex]{\sqrt3}\over{1+\sqrt3}[/latex] donc F([latex]{\sqrt3}\over{1+\sqrt3}[/latex];[latex]{\sqrt3}\over{1+\sqrt3}[/latex])
donc l'aire grise est[latex]{\sqrt3\over4}-{{\sqrt3}\over{2(1+\sqrt3)}}[/latex]=[latex]{2\sqrt3-3}\over4[/latex]

 #7 - 06-03-2011 20:34:56

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Revenons à la gééo (niveau **)

Halloduda et Gabriel: nickel !


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #8 - 06-03-2011 21:15:38

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Revenons à la égo (niveau **)

La hauteur en F s'eleve du point H
AH+HB=1
l'angle en A est 45, en B 60
ce qui donne [latex]FG = \frac{3-\sqrt3}{2}[/latex]

La surface AEF est donc celle du triangle equilaterale ([latex]\frac{\sqrt3}4[/latex]) moins celle de ABF=FGx1/2
ce qui donne [latex]aire(AEF)=\frac{2\sqrt3-3}4[/latex]


The proof of the pudding is in the eating.

 #9 - 06-03-2011 21:52:27

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

Revenons à l agéo (niveau **)

En utilisant la trigono :
La hauteur du triangle équilatéral vaut [latex]\frac{sqrt{3}}{2}[/latex]
La hauteur en F du triangle AFB vaut [latex]\frac{3-sqrt{3}}{2}[/latex]

L'aire grisée vaut l'aire de AEB moins l'aire de AFB soit [latex]\frac{sqrt{3}}{4}-\frac{3-sqrt{3}}{4}=\frac{2sqrt{3}-3}{4}[/latex]

Il y a sans doute plus joli...

 #10 - 06-03-2011 22:22:46

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Revenons à la géo (niveauu **)

Bravo ! Que des bonnes réponses ! smile


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #11 - 07-03-2011 08:01:18

fix33
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Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Revenon à la géo (niveau **)

En terme d'aires :
AEF=AEB-AFB

or AEB=V3/4 (triangle équilatéral)

et AFB=ACB-BFC donc AEF= V3/2 + BFC - ACB

or ACB=1/2

et BFC=1/2(2+V2)
car la hauteur FH=BHsin30°=HCsin45°

Ainsi :

AEF= V3/4 + 1/2(2+V2) -1/2 (je ne vois pas de simplification...)
soit environ 0,0795


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #12 - 07-03-2011 09:42:59

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2710
Lieu: Luxembourg

Revenons à la gé o(niveau **)

Bonjour,
AEF=ABE-ABF et ABF=ABC-BCF
donc AEF=ABE-ABC+BCF
On sait que ABE=V3/4 et ABC=1/2
Calculons BCF
xF=(3-V3)/2 et donc 1-xF=(-1+V3)/2
d'où BCF=(-1+V3)/4
au final AEF=(-3+2V3)/4
soit environ 0,116
Bonne journée.
Frank

 #13 - 07-03-2011 12:01:57

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

Revenos à la géo (niveau **)

L'angle BAF faisant π/4 rad, et BA mesurant 1, alors la hauteur du triangle ABF passant par F est de sin(π/4).
Ainsi, l'aire du triangle BAF est de sin(π/4) / 2

De même, L'angle BAE faisant π/3 rad, et BA mesurant 1, alors la hauteur du triangle ABE passant par F est de sin(π/3).
Ainsi, l'aire du triangle BAE est de sin(π/3) / 2

L'aire de la partie grisée est donc de ( sin(π/3) -sin(π/4) ) / 2


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #14 - 07-03-2011 17:03:09

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Revenons à la géo (niveaau **)

Allez , sans trigo smile

http://img148.imageshack.us/img148/5093/airegrise.jpg

Tous les angles en [latex]A[/latex] sont identiques :

Propriété de la bissectrice : [latex]FE.AI=FI.AE[/latex] donc [latex]FE=2-\sqrt{3}[/latex]
D'où l'aire grisée : [latex]A=\frac{FE.AI}2=\frac{2\sqrt{3}-3}4[/latex]

Vasimolo

 #15 - 07-03-2011 17:50:31

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

rebenons à la géo (niveau **)

Fix et LeSinge: vous avez tous les deux le même résultat mais non. hmm
Franky et Vasimolo: oui ! wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #16 - 11-03-2011 19:11:10

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

Revenons à la géo (nivea **)

Parce que j'aime bien apprendre de mes erreurs, si quelqu'un pouvait expliquer (et expliquer également à fix33) en quoi nos raisonnements sont erronés ? hmm

Il est clair qu'il y a une erreur, mais je n'arrive pas à la trouver...


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #17 - 11-03-2011 20:10:55

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1986
Lieu: Paris

revenons à la géo (nivezu **)

LeSingeMalicieux a écrit:

L'angle BAF faisant π/4 rad, et BA mesurant 1, alors la hauteur du triangle ABF passant par F est de sin(π/4).

Je ne comprends pas ta conclusion. Je pense que l'erreur est forcément ici, parce que l'autre aire est correcte. Il doit y avoir une particularité au triangle équilatéral qui fait que ton raisonnement est correct pour ABE, mais pas pour ABF.

 #18 - 11-03-2011 20:26:49

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Revenons à la géo (niveau ***)

J'aime particulièrement la solution de Vasimolo.tongue
Elle est simple.
Je regrette de ne l'avoir pas trouvée moi-même.sad

 #19 - 11-03-2011 20:28:29

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

revenons à la géo (noveau **)

Merci pour ton message L00p smile

Grâce à lui (et donc à toi) je viens de comprendre mon erreur...

J'avais placé la figure dans un cercle trigonométrique, et considéré que la hauteur du triangle ABF, issue de B, valait sin(π/4).

Avec ce dessin, je comprends pourquoi, boulet que je suis, je me suis gourré :
http://www.prise2tete.fr/upload/LeSingeMalicieux-geo-erreur.PNG

J'ai considéré, comme un benêt, que le point F était situé sur le cercle...

Grosse honte, et gros merci à toi wink


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #20 - 11-03-2011 20:38:20

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1986
Lieu: Paris

Revenons à la géo (niveau **

fix33 a écrit:

et BFC=1/2(2+V2)
car la hauteur FH=BHsin30°=HCsin45°

Pour fix, je pense qu'il y a un problème sur le sin, c'est pas plutôt un tan ?

 

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