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 #1 - 08-02-2011 23:44:52

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: In this universe ... !!

C'est chud !

Mme Mery vient de faire sortir un délicieux gâteau du four, qui a été reglé sur 180°C. Elle le pose dans une assiette puis pose cette dernière sur une table. A ce moment, elle constate qu'il est 18h12 et que le climatiseur de la cuisine, qui est actif depuis plusieurs heures, est réglé sur 22°C.
A 18h15, la température du gâteau passe à 150 °C
Sachant que le gâteau doit être mangé à une température de 30° C, à quelle heure Mme Mery va-t-elle le manger ?



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"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"
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 #2 - 08-02-2011 23:48:23

kosmogol
Banni
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v'est chaud !

Je ne sais pas trop à quoi ressemble la courbe de refroidissement d'un gâteau, mais cela ne doit pas être linéaire.


http://enigmusique.blogspot.com/

 #3 - 09-02-2011 00:38:09

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

C'est chadu !

De tête, je crois trouver 21h12. Ceci dit, le refroidissement du gâteau sera tout sauf linéaire : plus la différence de chaleur est grande, plus le transfert thermique est rapide. Par conséquent, le gâteau refroidira de plus en plus lentement, et Mme Mery peut compter le manger plutôt aux environs de dix heures, dix heures et demie du soir...


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 #4 - 09-02-2011 00:46:41

Azdod
Expert de Prise2Tete
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Lieu: In this universe ... !!

C'est chadu !

Indice : Utilisez la loi de Newton


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #5 - 09-02-2011 03:36:20

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Paris

C'est chud !

La loi de refroidissement de Newton nous dit que :
[TeX]T(t)=T_{cuisine}+(T_{four}-T_{cuisine})e^{-rt}[/TeX]
où r est une constante à déterminer
Notons [latex]t_0=0[/latex] le temps de sortie du four (18h12), et [latex]t_1=\frac3{60}[/latex] le temps où le gâteau a perdu [latex]\frac56[/latex]° (18h15), puis [latex]T_0=180[/latex] et[latex] T1=150[/latex] les températures correspondantes
On a alors :
[TeX]T_1=T_{cuisine}+(T_0-T_{cuisine})e^-rt_1[/TeX]
donc [latex]r=\frac1{t_1}ln(\frac{T_0-T_{cuisine}}{T_1-T_{cuisine}})[/latex]

On cherche [latex]t_2[/latex] tel quel [latex]T(t_2)=T_2=30[/latex], d'où :
[TeX]t_2=t_1\frac{ln(\frac{T_0-T_{cuisine}}{T_2-T_{cuisine}})}{ln(\frac{T_0-T_{cuisine}}{T_1-T_{cuisine}})}[/TeX]
Application numérique : je trouve [latex]t_2=42min30sec[/latex], soit 18h45 environ

Miam miam !!!!!

 #6 - 09-02-2011 03:48:47

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
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Lieu: dans une chambre universitaire

c'rst chaud !

Je chipote peut etre mais ca me fait douter.

Quand tu dis "baissé de 5/6 de degré" , en bon français ca voudrait dire que l'on a ôté 5/6eme de la température initiale, donc 180-150 = 30 degrées.

Maintenant, voulais tu dire que la température a diminué de 5/6 d'un SEUL degré  ? soit 0,833333
ou bien que elle est déscendu à 5/6 soit 150 degrées ?

 #7 - 09-02-2011 05:16:07

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 198

c'edt chaud !

Je suppose que la température du gâteau suit une loi exponentielle de la forme:
T(t)=A.exp(-Tau.t)+22°
avec t le temps passé depuis 18h12.
T(0)=180
T(3mn)=150

La première donne: A+22=180 donc A=158°
La deuxième donne: 158.exp(-Tau.3)+22=150
Donc exp(-Tau.3)=128/158
Donc -Tau.3=ln(128/158)
Donc Tau=-ln(128/158)/3

Soit t0 le temps auquel la température du gâteau est 30°. Alors:
30=T(t0)=158.exp(ln(128/158)/3.t0)+22
Donc exp(ln(128/158)/3.t0)=8/158
donc ln(128/158)/3.t0=ln(8/158)
donc t0=3.ln(8/158)/ln(128/158)
ça donne t0 égal environ à 42,5 mn.

Donc mme Mery mange son gâteau "vers" 18h54mn30s.

 #8 - 09-02-2011 11:51:36

debutant1
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c'est chzud !

on suppose que la température T du gâteau reste homogène ,que le refroidissement se fait régulièrement proportionnel à l'écart de température et au temps t suivant un coefficient K constant

dT = K (T-Te) dt

K =  - (5/6) / 168 / 3
  en inverse de minute , négatif
1/k= 568

log (T-Te) / (Ti-Te) =k( t- ti)



t-ti=1/K   *log (30-22)/(180-22) =736' environ 12h 15 mn

j 'ai l'impression d'être perdu dans les log et les intégrales

si K =(30/158)/3
1/K  =15.8

t-ti= 73,6' soit 1h 13' 36s

t= 19h 25' 36s

 #9 - 09-02-2011 11:53:50

franck9525
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Lieu: UK

C'est chud !

Il faut attendre 1 journée, 4 heures et 12 minutes pour avoir une température à 30 dégrés en se basant sur un coefficient de radiation très faible de 0.00176.

Ce coefficient r fut déterminé par la chute de température constatée lors des trois premières minutes.


Edit: Ah!, les conditions initiales ont changées: seulement 150 degres après 3 min.
[TeX]t=3\times\frac{ln(\frac{30-22}{180-22})}{ln(\frac{150-22}{180-22})}[/TeX][TeX]t=3\times\frac{ln(8)-ln(158)}{ln(128)-ln(158)}=42.5[/TeX]
soit 42 min 30 sec de patience


The proof of the pudding is in the eating.

 #10 - 09-02-2011 12:15:01

legarenne
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Messages : 2

C'est caud !

il suffit de résoudre l'équation suivante:
180(5/6)^n = 30
où n représente le nombre de fois que la température du gâteau baissera de 5/6
ce qui donne
(5/6)^n = 1/6
n.ln(5/6) = ln(1/6)
n = ln(1/6) / ln(5/6)
soit environ 9.8
on multiplie par 3 ce résultat pour obtenir le nombre de minutes nécessaire pour que le gâteau atteigne 30 degrés
résultat: le gâteau pourra être mangé au bout de 30 minutes

 #11 - 09-02-2011 16:38:56

Azdod
Expert de Prise2Tete
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C'esst chaud !

la température a baissé à 5/6 cad elle est à 5/6 du degré initial smile =150
Désolé pour l'erreur sad


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #12 - 09-02-2011 16:40:42

L00ping007
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C'esst chaud !

L'énoncé n'est pas toujours très clair : tu n'as qu'à dire qu'elle a baissé d'un sixième wink

 #13 - 09-02-2011 16:45:47

Azdod
Expert de Prise2Tete
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C'est hcaud !

L00ping007 : baisser de 1/6 ou  etre à 5/6 du degré initial c la meme chose


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #14 - 09-02-2011 16:59:19

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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C'est chaud !!

C'est juste que je trouve que : "A 18h15, la température du gâteau a baissé à 5/6 de degré par rapport à la température initiale." , ce n'est pas très clair. Mais ce n'est que mon avis !

 #15 - 09-02-2011 17:02:57

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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C'est haud !

ok ; j'ai modifié toute la phrase ; j'espere que c'est clair maintenent ; désolé encore une fois


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #16 - 09-02-2011 17:19:15

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

C'est chad !

Azdod a écrit:

L00ping007 : baisser de 1/6 ou  etre à 5/6 du degré initial c la meme chose

Ne confonds pas "degré" et "température"...

Et une température qui baisse d'un sixième, ça ne veut pas dire grand-chose (mais là, c'est de l'enc**age de mouches) : 0°C est une température "comme une autre", le zéro absolu de la température étant à zéro Kelvin, soit -273,15°C.

(Je ne dis pas ça pour critiquer, mais dans l'espoir que tu apprennes deux/trois petites choses smile)


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #17 - 10-02-2011 08:48:59

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2715
Lieu: Luxembourg

c'est xhaud !

Rebonjour,
A 18h12, le gâteau a la température du four. Puis, la déperdition calorifique est proportionnelle à l'écart de température entre le gâteau et la cuisine.
Soit T la température du gâteau à l'instant t: on a:
dT/dt = K(T-22): ainsi quand T=22°C, il n'y aura plus d'échange de chaleur.
d'où dT/(T-22) = K dt ce qui donne log(T-22) = Kt + k
Au bout de 0mn, T=180°C, donc k = log158
Au bout de 3mn, T=150°C, donc 3K + k = log128 et K = (log128 - log158) / 3
On a donc t = 3 (log(T-22) - log158) / (log128 - log158)
Et pour T=30°C, on a t = 3 (log8 - log158) / (log128 - log158) soit t = 42,5 mn.
Il sera alors exactement 18 h 54 mn 30 sec: bon appétit Mme Mery.
Bonne journée.
Frank

Remarque pour l'auteur de l'énigme: merci d'avoir rectifié le texte car j'ai cru que la température au bout de 3mn était (5/6) x (180-22) et non (5/6) x 180; avec 150°C, c'est plus clair.

 #18 - 10-02-2011 09:51:59

halloduda
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Messages : 479
Lieu: Ardèche

c'est chaid !

Je préfère cette vitesse de refroidissement à la précédente.

La température est [latex]\theta=22+158*k^{-t}[/latex]

Les deux inconnues k et t sont déterminées par :
[latex]150=22+158k^3[/latex] (t=3 minutes pour passer de 180°C à 150°C)
[latex]30=22+158k^t[/latex] (pour atteindre 30°C)

k=(128/158)^{[1/3)}
log(k)=[log(128)-log(158)]/3
k^t=8/158
t=[log(8)-log(158)]/log(k)
t=3*[log(8)-log(158)]/[log(128)-log(158)]

t=42.5 minutes, soit 43 mn pour être sûr de ne pas se brûler
Mme Méry pourra donc manger son gâteau à 18h55.

 #19 - 10-02-2011 12:42:10

rivas
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1105
Lieu: Jacou

c'est chaus !

http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_ref … _de_Newton
On suppose que la chaleur se dissipe très vite autour du gâteau (si la clim souffle vers lui), que le gâteau est homogène, que la gâteau est à 180 de façon homogène à 18h12, ...
[TeX]T(t)=T_{env}+(T(0)-T_{env})e^{-rt}[/TeX]
La seule inconue est r que l'on détermine grâce à:
[TeX]T(3)=150=22+(180-22)e^{-3r}[/latex].
Et donc [latex]-3r=ln\dfrac{150-22}{180-22}[/latex]. D'où [latex]r=\dfrac13.ln\dfrac{158}{128}[/latex].

On cherche t tel que: T(t)=30.
soit: [latex]22+158e^{-rt}=30[/latex].

[latex]-rt=ln\dfrac8{158}[/TeX]
[latex]t=\dfrac{3ln(158/8)}{ln(158/128)}=42,50[/latex] min.

Le gâteau sera donc à 30° à 18h54min30s.

J'espère ne pas m'être trompé dans mes calculs.
Merci pour l'énigme.

 

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