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 #1 - 16-02-2011 11:57:58

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
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À plicassion qy'est-ce qu'on s'amuse...

Soit f une fonction de R+ dans R+ vérifiant f(f(x))+uf(x)=v(u+v)x où u et v sont deux réels strictement positifs.

Quelle est cette unique fonction f ?



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 #2 - 16-02-2011 12:06:10

debutant1
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 116

À Plicassion qu'est-ce qu'on s'amse...

je propose f(x)= v*x

 #3 - 16-02-2011 12:26:19

gasole
Elite de Prise2Tete
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À plicassion qu'est-ce qu'on d'amuse...

Plutôt facile celle-là hein ? Par rapport aux autres... Bravo débutant1.

 #4 - 16-02-2011 15:13:07

scarta
Elite de Prise2Tete
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À plicassoon qu'est-ce qu'on s'amuse...

On va dire tout simplement f(x) = vx smile
En effet, f(f(x)) + uf(x) = v.vx + u.vx = v(u+v)x

Pour l'unicité je vais y réfléchir

 #5 - 16-02-2011 16:11:36

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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À plixassion qu'est-ce qu'on s'amuse...

Je trouve f(x)=vx seule solution linéaire sur R+, mais j'arrive pas encore à montrer que c'est la seule solution tout court sur R+...
A suivre ...

 #6 - 16-02-2011 16:26:55

gwen27
Elite de Prise2Tete
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À Plicassion qu'est-ce qu'on s'amuse....

F(x) est de la forme nx

d'où :
(n^2) x + un x = v^2 + uv x

F(x) = vx

 #7 - 16-02-2011 16:53:22

gasole
Elite de Prise2Tete
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À plicassion qu'est-ce qu'in s'amuse...

Au fait, gwen et débutant, n'oubliez pas le plus difficile : l'unicité ! wink

Dites-moi si vous avez besoin d'un indice...

 #8 - 16-02-2011 20:34:09

gabrielduflot
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À plicassion qu'est-ce qu'in s'amuse...

f(x)=v*x
f(0)=0 car f(f(0))+uf(0)=0 ce qui implique f(f(0))=-uf(0) or f(0)>=0 et f(f(0))>=0

 #9 - 16-02-2011 22:22:31

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
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À Pliccassion qu'est-ce qu'on s'amuse...

Plutôt facile celle-là hein ?

Et ben moi je cale sur l'unicité...
f(x)=v.x, ça marche, mais est-ce vraiment la seule solution...?

 #10 - 16-02-2011 23:15:14

gasole
Elite de Prise2Tete
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À Plicassion qu'est-ce qu'n s'amuse...

Oui, c'est l'unique solution, la preuve que j'ai n'est pas triviale du tout.
Je donne un indice ?

Spoiler : Indice1 Une suite récurrente serait utile peut être... 

 #11 - 17-02-2011 00:08:00

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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À plicasdion qu'est-ce qu'on s'amuse...

Tu supposes donc la continuité de la fonction f, j'imagine, si tu utilises une suite récurrente ?

 #12 - 17-02-2011 01:04:13

gasole
Elite de Prise2Tete
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À Pilcassion qu'est-ce qu'on s'amuse...

Non, pas de supposition de continuité...

Spoiler : Indice 1bis ... mais f peut servir à définir une suite récurrente.

 #13 - 17-02-2011 01:51:50

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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À plicaqsion qu'est-ce qu'on s'amuse...

Bon comme tu parles de suite, je développe mon idée initiale.

En raisonnat par l'absurde, je suppose que f n'est pas la fonction vx.
Soit [latex]x_0[/latex] tel que [latex]f(x_0) \neq vx_0[/latex]
Je peux supposer par exemple que [latex]f(x_0) > vx_0[/latex]

D'après la relation fonctionnelle, on a :
[TeX]v(u+v)x_0 = f(f(x_0)) + uf(x_0) > f(f(x_0)) + uvx_0[/latex] (u> 0)
donc [latex]v^2x_0 > f(f(x_0))[/TeX]
En itérant le processus, j'obtiens pour tout n de N* :
[TeX]f^{2n}(x_0) < v^{2n}x_0[/TeX]
[TeX]f^{2n+1}(x_0) > v^{2n+1}x_0[/TeX]
Bien bien bien, que fais-je avec ceci ...

 #14 - 17-02-2011 10:28:00

gasole
Elite de Prise2Tete
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À Plicassion qu'est-ce qu'on s'amus.e..

Je donnerai un indice plus précis en fin de journée.

 #15 - 17-02-2011 18:47:37

gasole
Elite de Prise2Tete
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À pmicassion qu'est-ce qu'on s'amuse...

Comme promis, un indice :

Spoiler : [Afficher le message] A votre place, je m'intéresserai à la suite an définie par : a0=r (r réel positif) et an+1=f(an)... Signé : un ami qui vous veut du bien.

 #16 - 17-02-2011 19:00:07

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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À plicassion qu'est-ce qu'on d'amuse...

Elle est nulle, ta suite ! smile
Comme f(0)=0, an=0 pour tout n.
Donc les composées n-ièmes de f en 0 sont nulles ... Et ?

 #17 - 17-02-2011 19:59:53

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
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À Plicassio nqu'est-ce qu'on s'amuse...

Je ne comprends pas ton indice gasole...
Il est facile de montrer que f(0) est nul.
En effet, si f(0) est non nul, alors f(f(0))+u.f(0) est non nul. Mais c'est égal à v(u+v).0=0 : contradiction!
Donc f(0)=0.
Ainsi, la suite défini par a0=f(0) et an+1=f(an) est toujours nulle.

 #18 - 17-02-2011 20:45:12

gasole
Elite de Prise2Tete
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À Plicassion quu'est-ce qu'on s'amuse...

Oups ! Désolé ! Oui, pourquoi j'ai mis 0 moi ? je voulais dire a0 = r (r réel quelconque)...

PS : très drôle le "elle est nulle ta suite" de looping smile

 #19 - 17-02-2011 22:26:02

scarta
Elite de Prise2Tete
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À Plicassion qu'est-ce qu'on s'aamuse...

Ah mais bien sur !!
Soit a0 dans R, et an+1 = f(an)

Dans ce cas an+2 = v(u+v) an -u an+1
a est donc une suite récurrente linéaire d'ordre 2
Il faut donc calculer les racines de X^2+uX -v(u+v)
Delta = u^2+4vu+4v^2 = (2v+u)^2 >0
R1 = -v-u et R2 = v

Donc an = alpha v^n + beta (-u-v)^n, avec alpha+beta = a0
Si alpha =0, an est négatif une fois sur deux: c'est impossible car il est une image par f.
Si beta > 0, alors
alpha v^n < beta (u+v)^n si et seulement si
n log(v) + log(alpha) < n log(u+v) + log(beta) ssi
n log((u+v)/v) > log(alpha / beta)
On remarque que u+v > v donc (u+v)/v > 1 donc son log est >0
n > log( v.alpha / (u+v).beta)
Donc au delà de ce rang n, le terme en beta est supérieur au terme en alpha; donc pour 2n+1, la suite prend une valeur négative => impossible.

===> Donc beta = 0, an = alpha*v^n = a0.v^n
===> an+1 = v.an
===> f(a0) = v.a0

 #20 - 18-02-2011 03:24:32

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Paris

À Plicassiion qu'est-ce qu'on s'amuse...

Bon je recommence tout, j'avais pas vu le truc tout de suite, c'est assez astucieux en fait :

Pour r réel positif, on pose [latex]a_n=f^n(r),\forall n \in N[/latex]
En utilisant la relation sur f pour [latex]x=a_n[/latex], on obtient :
[TeX]a_{n+2} + u a_{n+1} - v(u+v)a_n=0[/TeX]
[TeX]a_n[/latex] est donc une suite linéaire récurrente d'ordre 2, le polynôme caractéristique associé est :
[latex]X^2+uX-v(u+v)[/TeX]
Son discriminant vaut : [latex]u^2+4v(u+v)=u^2+4uv+4v^2=(u+2v)^2 > 0[/latex]
Il y a donc 2 racines distinctes au polynôme, qui sont :
[TeX]\frac{-u-(u+2v)}2[/latex] et [latex] \frac{-u+(u+2v)}2[/TeX]
soit [latex]-(u+v)[/latex] et [latex]v[/latex]
On peut alors donner [latex]a_n[/latex] en fonction de n, avec [latex]\alpha[/latex] et [latex]\beta[/latex] constantes :
[TeX]a_n = \alpha(-u-v)^n + \beta v^n[/TeX]
On détermine [latex]\alpha[/latex] et [latex]\beta[/latex] grâce à [latex]a_0[/latex] et [latex]a_1[/latex] :
[TeX]r = \alpha + \beta[/latex] et [latex] f(r) = -(u+v)\alpha + \beta v
[/TeX]
Résolution rapide, on trouve :
[TeX]\alpha=-\frac{f(r)-vr}{u+2v}
\beta=\frac{f(r)+(u+v)r}{u+2v}[/TeX]
Et là je pensais pouvoir conclure, mais finalement je bloque.
J'aimerais montrer que nécessairement [latex]\alpha=0[/latex], c'est-à-dire [latex]f(r)=vr[/latex]

Donc à suivre...

EDIT
Bon après quelques bons aiguillages par MP...

On a même pas besoin de calculer [latex]\alpha[/latex] et [latex]\beta[/latex]. Juste on divise la relation de récurrence par [latex]v^n[/latex] (v non nul) :
[TeX]\frac{f^n(r)}{v^n} = \beta - \alpha (-1)^n(1+\frac uv)^n[/TeX]
Comme [latex]f^n[/latex] est positive, car f l'est, on a :
[TeX]\beta \ge \alpha(-1)^n(1+\frac uv)^n[/TeX]
Pour n=2p, on s'aperçoit que [latex]\alpha[/latex] ne peut pas être strictement positif, car le terme de droite tendrait vers l'infini, en étant borné par [latex]\beta[/latex]
Pour n=2p+1, on s'aperçoit que [latex]\alpha[/latex] ne peut pas être strictement négatif, car le terme de droite tendrait vers l'infini, en étant borné par [latex]\beta[/latex].
On en déduit que [latex]\alpha=0[/latex], et [latex]f^n(r)=\beta v^n[/latex]
En n=0, on trouve [latex]r=\beta[/latex], et en n=1 : f(r)=vr

 #21 - 18-02-2011 07:39:03

gasole
Elite de Prise2Tete
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À Plicassion qu'es-ce qu'on s'amuse...

@scarta: yessssss !

@Looping : tu y es presque... mais vu l'heure normal que tu aies calé wink

 #22 - 21-02-2011 12:34:17

gasole
Elite de Prise2Tete
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À Plicassion qu'est-ce qu'on s'amuse..

Bravo Looping ! Je prendrai même ta solution en exemple...
Peu de participations aussi à la partie difficile.

 

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