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 #1 - 27-02-2014 10:35:31

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâteay 73

Bonjour à tous smile

Depuis quelques jours mon pâtissier amuse la galerie avec un jeu de sa conception . Il a réalisé deux boules avec le même chocolat , une de 260 g et l’autre de 520 g . Il les présente à son public ainsi qu’un bocal cylindrique vide et un pichet d'un litre d’eau . Il demande ensuite à un client de choisir une des boules de la déposer au fond du bocal , de vider le pichet par dessus et de constater que miraculeusement l’eau affleure au sommet de la boule .

http://img89.imageshack.us/img89/6285/7y1l.jpg

Pourtant il est clair que les deux boules n'ont pas la même taille , comment fait-il ?

Vasimolo

La case réponse valide le diamètre du bocal en cm sous la forme **.******

Amusez-vous bien smile



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 #2 - 27-02-2014 18:12:18

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1432

Gâtea u73

Edit : bon ben j'ai pas mes formules TeX... Bon le résultat est d=2/((pi*sqrt(6*(2^(1/3)-1))*(2-2^(1/3))))^1/3, soit environ 14.019157 cm

La première boule a un rayon [latex]r_1[/latex] (exprimé en décimètres) et un volume [latex]v_1 = \frac{4}{3}\pi {r_1}^3[/latex] (exprimé en décimètres cubes, donc en litres)

La seconde boule a un rayon [latex]r_2[/latex] et un volume [latex]v_2 = \frac{4}{3}\pi {r_2}^3[/latex].
Avec le même volume massique, pour une masse 2 fois plus élevée on a un volume 2 fois plus élevé aussi.
Par conséquent, [latex]2v_1=v_2[/latex] et donc [latex]r_2 = r_1\sqrt[3]2[/latex]

Soit un bocal cylindrique de diamètre [latex]d[/latex], un volume arrivant à la hauteur [latex]h[/latex] du bocal représente une valeur de [latex]\frac{1}{4}\pi d^2h[/latex]

La première boule, avec un litre d'eau, représente un volume qui monte à une hauteur de [latex]2 r_1[/latex], le volume est donc de [latex]\pi \frac{d^2}{2}r_1[/latex]

On a donc [latex]\pi \frac{d^2}{2}r_1 = \frac{4}{3}\pi {r_1}^3 + 1[/latex]

Idem pour la seconde boule, où [latex]\pi \frac{d^2}{2}r_2 = \frac{4}{3}\pi {r_2}^3 + 1[/latex]
On peut même remplacer [latex]r_2 = r_1\sqrt[3]2[/latex] pour avoir
[TeX]\pi \frac{d^2}{2}r_1\sqrt[3]2 = \frac{8}{3}\pi {r_1}^3 + 1[/TeX]
Système:
[TeX]\pi \frac{d^2}{2}r_1 = \frac{4}{3}\pi {r_1}^3 + 1\\
\pi \frac{d^2}{2}r_1\sqrt[3]2 = \frac{8}{3}\pi {r_1}^3 + 1[/TeX]
Par soustraction:
[TeX]\frac{3}{8}\frac{d^2}(\sqrt[3]2-1) = {r_1}^2[/TeX]
et au final
[TeX]r_1 = d\sqrt{\frac{3}{8}(\sqrt[3]2-1)}[/TeX]
On remplace :
[TeX]\pi \frac{d^3}{2} \sqrt{\frac{3}{8}(\sqrt[3]2-1)} = \frac{4}{3}\pi d^3 \sqrt{\frac{3}{8}(\sqrt[3]2-1)}^3 + 1[/TeX]
En ne laissant que la constante à droite, on obtient [latex]d^3 \frac{\pi}{4} \sqrt{\frac{3}{2}(\sqrt[3]2-1)}(2-\sqrt[3]2) = 1[/latex]

On ne garde que le diamètre à gauche, on arrange un peu, et voilà : [latex]d= \frac{2}{\sqrt[3]{\pi\sqrt{6(\sqrt[3]{2}-1)}(2-\sqrt[3]{2})}}[/latex]

 #3 - 27-02-2014 18:17:44

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
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Lieu: 94110

gâyeau 73

Demandes-tu le diamètre intérieur ou extérieur de ton bocal roll ?
Par ailleurs, je suis très étonné que ton pâtissier arrive à se faire fabriquer un bocal avec une précision de cent angströms lol !
Ceci dit, je suis très admiratif devant son inventivité smile !

Spoiler : [Afficher le message] Blague à part, je trouve un diamètre de 14,0191571 cm,qui ne valide pas la case réponse hmm ...
Le rayon de ma petite boule de chocolat est de 4,3768157 cm, son volume de 351,2071926 cm3.
Celui de la grosse, de 5,5144423 cm, avec un volume de 702,4143852 cm3.
Et je trouve bien un volume total (eau + chocolat) de 1351,2071926 cm3 pour la petite boule et de 1702,4143871 cm3 pour la grosse... j'ai surement dû faire une erreur neutral .

 #4 - 27-02-2014 18:20:49

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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âteau 73

La formule est bonne Scarta mais sans LaTeX c'est "un peu" ( euphémisme )  difficile à suivre smile

Vasimolo

 #5 - 27-02-2014 18:27:43

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteua 73

Ben oui Jack , si tu donnes 7 chiffres après la virgule alors qu'on ne t'en demande que 6 , la case réponse ne va pas être complètement d'accord lollollol

PS : j'ai vérifié en regardant la masse volumique du chocolat , ça colle à peu près ( peut-être pas jusqu'à la 6ème décimale ) .

Vasimolo

 #6 - 27-02-2014 21:16:52

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2712
Lieu: Luxembourg

Gâtea u73

Soient A, D et D’ les diamètres respectifs du récipient, de la petite boule et de la grande boule.
Et soient E le volume d’eau versé (1 litre) et C la racine cubique de 2.
On a: 2.(1/6).pi.D³ = (1/6).pi.D’³ => D’ = D.C
De plus: E = pi.A².D - (1/6).pi.D³ = pi.A².D.C - 2.(1/6).pi.D³ => D = A.V[6.(C-1)]/2
=> E = A³.(pi/4).(2-C).V[6.(C-1)] => A³ = E/{(pi/4).(2-C).V[6.(C-1)]}
Au final, je trouve: A = 14.019157 cm, validé par la case-réponse.

Mais curieusement, en contradiction avec le post de Vasimolo qui précède, je trouve une densité de chocolat d'environ 0,74 < 1. Les boules ne devraient-elles alors pas flotter ? Ou ne devrait-on pas plutôt doubler leur poids (à chacune) ?

 #7 - 27-02-2014 21:19:37

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

gâteay 73

Je vais enfin avoir la réponse à un problème qu'on m'a posé il y a déjà quelque temps mais dont je n'ai aucune idée de la résolution, et oui la physique très peu pour moi, je vais attendre encore 61h donc roll


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #8 - 27-02-2014 21:26:26

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gteau 73

Tu as raison Franky , les chocolats de mon pâtissier doivent être en béton lol

Vasimolo

 #9 - 28-02-2014 18:42:10

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâtezu 73

@Shadock : ce n'est que des maths smile

Vasimolo

 #10 - 01-03-2014 12:19:58

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Gâteau 773

14.019157.
ça fait 2 jours que je l'ai, mais j'avais une virgule au lieu du point....

 #11 - 01-03-2014 12:38:59

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1745

Gâteaau 73

Bonjour

Enfin un "Gâteau" a ma portée, il faut dire que je préfère le chocolat aux tartes ...
Spoiler : big_smile fussent-elles "au poil" big_smile


La case réponse valide la valeur 14.019157 (unité = cm) pour le diamètre D du bocal.

Avant de tenter une mise au propre en LaTex, je poste mon "brouillon" ...

http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-g71.jpg

r rayon de la petite boule = 4.3768 cm
R rayon de la grande boule = 5.5144 cm

Merci !

A+smile

Edit : par curiosité, j'ai vérifié la densité des boules avec les masses données, qui serait sauf erreur de l'ordre de 0.74. (pour la petite : 260 grammes pour un volume de 351.2 cm3 ...)


Donc elles devraient flotter et le tour ne fonctionnerait alors pas ?

hmm


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #12 - 01-03-2014 15:48:40

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Gâtea u73

Bon je sèche pour le moment ! smile

Je trouve r2=cuberoot(2)*r1 (rayons des 2 boules)
puis : R^2=125/(cuberoot(2)*pi*r1) + (2^(2/3)*r1^2)/6
On a aussi (en cm3) : 1000/8pi = r1*R^2 - r1^3/6 = r2*R^2 - r2^3/6

Je trouve finalement :
R^2=250/(pi*cuberoot(2)*sqrt(3*(cuberoot(2)-1))*(cuberoot(2)-1))

soit : 22.069... qui ne valide pas...

Je rentre mon bois et je reviens wink


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #13 - 01-03-2014 16:17:06

fmifmi
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 87

Gââteau 73

Bonjour j'en avais assez de ces calculs de bourrin  alors j'ai fait un algorithme qui me donne le résultat par itérations successives .

14,0191571298

pas très élégant mais çà marche

par contre , a propos du pâtissier, il faudrait lui dire que
ses boules flottent  big_smile  je voulais dire les boules
702 cm3 pour 520 grammes il n'y a pas de doute.

 #14 - 01-03-2014 16:34:51

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteau 37

Un petit bilan :

@Nodgim : c'est bon , j'avais précisé exprès la forme attendue smile
@NickoGecko : oui mon pâtissier est un menteur , il veut naïvement nous faire croire qu'il utilise du chocolat . Il a tout de même eu la délicatesse de donner la masse de chocolat correspondant à ses boules .
@Fmifmi : ce n'est pas si bourrin que ça mais c'est vrai qu'il faut un peu d'application .

Bon courage à ceux qui cherchent encore .

Vasimolo

 #15 - 01-03-2014 19:56:30

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Gâtea u73

Je tombe sur une impossibilité : r1^2 = 6(cuberoot(2)-1)*R^2
donc r2>r1>R...


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #16 - 01-03-2014 21:00:44

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteua 73

Si Fix , c'est possible smile

Vasimolo

 #17 - 02-03-2014 11:06:34

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

Gââteau 73

Non, je n'ai pas testé le résultat avec 7 chiffres derrière la virgule, seulement avec les 6 que j'avais mis en gras.
Mais j'avais, comme nodgim, laissé une virgule à la place du point mad mad !

 #18 - 02-03-2014 12:45:46

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâtaeu 73

Bonjour à tous smile

Pour commencer le format de la réponse est toujours un gros problème dans ce genre d'énigmes et je me suis fait aussi avoir à de nombreuses reprises : là j'avais quand même pris mes précautions , non ?

Les solutions proposées sont difficilement lisibles mais sans LaTeX , on est un peu mal . J'ai signalé le problème au Ch'Ef mais comme il est en train de finaliser la 50ème il a d'autres chats à fouetter . Il manque un hébergeur et le problème est récurrent , je ne proposerai pas la mienne , elle ne serait pas plus lisible .

Le problème est assez connu sous d'autres formes , on peut choisir le rayon d'une bille et celui du cylindre sans connaître la quantité d'eau , ou bien les deux billes mais pas l'eau ni le cylindre : mon pâtissier a voulu innover .

Il avait prévu initialement un problème avec des masses de 1kg et 2kg mais il trouvait le problème un peu lourd . Il a corrigé les masses pour que le résultat corresponde à peu près à la masse volumique du chocolat mais du coup le problème a pris un peu trop de légèreté et il coule sad

Bien sûr merci à tous pour la participation smile

Vasimolo

PS : pour la 50ème je plaisantais , inutile d'interrompre vos vacances lollollollol

 #19 - 02-03-2014 12:56:46

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

Gâteeau 73

Seul le rapport (de 2) entre les masses des boules de chocolat sert à la résolution, mais pas les masses en elles-mêmes. Ton pâtissier peut donc les ajuster à sa guise.

 #20 - 02-03-2014 14:02:00

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1745

gâtezu 73

Hello

Pour que les boules de chocolat aux masses données dans l'énoncé ne flottent pas, il faudrait que la densité du liquide leur soit inférieure (ou égale)

Pour 0.75, le pâtissier pourrait utiliser le rhum qu'il réserve à ses babas ?

(ou de l'essence ? de l'acétone ?)

http://olilab.files.wordpress.com/2010/11/haddock2.jpg


lol


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)
 

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