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 #1 - 10-03-2011 22:31:46

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

un rapport diffocile ?

Le cercle circonscrit K du triangle ABC a pour rayon 1. Les bissectrices des angles du triangle coupent le cercle aux points A', B', C'.
Désignons par Q l'aire du nouveau triangle et P celle du triangle initial.

Que vaut le rapport Q/P ?



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C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
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 #2 - 11-03-2011 10:23:53

debutant1
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 116

Un rapport difficiile ?

Soit O le centre du cercle.

Calcul des angles:

CA'B = 2*pi  - CAB
BA'C" = BCA/2
CA'B'  =ABC/2

CA'B = B'A'C' + ABC/2  +BCA/2

B'A'C' = 2*pi -  CAB -   ABC/2  -  BCA/2  =  pi   -   CAB/2 

B'OC' = â'   =  2* pi  - CAB
CAB  = â
la surface B'OC' est égale à S'= cosâ'   * sinâ'  = cos â    *  sin â qui définit la surface OCB
donc les deux surface sont égales. Par extension les deux triangles ont des surfaces égales

 #3 - 11-03-2011 13:00:44

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Un rappport difficile ?

environ 1,18


Un promath- actif dans un forum actif

 #4 - 12-03-2011 11:29:47

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

un rzpport difficile ?

Soit le triangle jaune ABC. Les bissectrices (en gris) coupent le cercle circonscrit pour former le triangle rouge DEF.
La corde verte CE est commune aux angles CAE et CDE qui ont donc le même angle A/2.
La corde magenta CF est commune aux angles FDC et FBC.
L'angle du sommet D du triangle rouge est donc A/2+B/2.

http://www.prise2tete.fr/upload/franck9525-TRIANGLERATIO.jpg

L'aire d'un triangle peut être calculée à partir de ces trois angles et du diamètre du cercle circonscrit.
[TeX]P=Aire_{ABC}=\frac{1}2\emptyset^2 sin(A) sin(B) sin(C)[/TeX]
ce qui nous donne
[TeX]{\frac{Q}P=\frac{sin(\frac{A+B}2) sin(\frac{A+C}2) sin(\frac{B+C}2)}{sin(A) sin(B) sin(C)}}[/TeX]
Puisque [latex]A+B+C=\pi[/latex], l'expression peut se simplifier
[TeX]{\frac{Q}P=\frac{1}{8cos(\frac{A+B}2)sin(\frac{A}2)sin(\frac{B}2)}[/TeX]


The proof of the pudding is in the eating.

 #5 - 13-03-2011 01:14:47

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

un rapport sifficile ?

Le rapport donne une valeur numérique.


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #6 - 14-03-2011 13:27:37

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Un rappoort difficile ?

Si quelqu'un comprends quelque-chose, il est le bienvenu pour expliquer...


The proof of the pudding is in the eating.

 #7 - 15-03-2011 18:45:16

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Un rapport dfficile ?

J'ai pas compris grand chose non plus , illisible et inutilement compliqué mad

J'avais fait comme toi .

Pourquoi ne pas demander le rapport dans l'autre sens , c'est quand même plus joli smile

Vasimolo

 #8 - 15-03-2011 21:33:56

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Un rapport dificile ?

Je crois que tout le monde est d'accord...

Comme me le signaler Hallodulla, c'est plus joli de remettre C dans l'équation à la fin, ce qui donne :
[TeX] 5$ \red\fbox{\frac P Q=8sin(\frac{A}2)sin(\frac{B}2)sin(\frac C 2)}[/TeX]


The proof of the pudding is in the eating.
 

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