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 #26 - 14-03-2011 20:08:47

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,507E+3

Aire, segment et prise de tte !

@fix33 : on peut savoir où on en est, STP ?

#0 Pub

 #27 - 15-03-2011 10:31:07

debutant1
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 116

aire, sefment et prise de tête !

Prendre un point O sur la médiatrice de AB .

Faire un quart de tour à AB autour du point O, le segment devient A'B'.
Prendre un point O' symétrique de O par rapport à A'B'.
Faire un quart de tour à A'B' autour du point O' (même sens) le segment devient B"A".
Faire glisser le segment B"A" sur la droite AB (sans dimension) B" en A et A" en B.

La surface couverte par le segment tends vers   pi/8    pour O suffisamment éloigné.

 #28 - 15-03-2011 13:31:03

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2999
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

aite, segment et prise de tête !

C'est le probleme du retournement d'un train.
Sur une table tournante ca prendrait pi/4 = 0.785398163 mais c'est pas le minimum.

En supposons que le segment est horizontal, le minimum est probablement de faire deplacer le segment selon un arc de cercle jusqu'a ce qu'il soit vertical, puis de le faire deplacer selon un autre arc de cercle qui soit le mirroir du 1er arc de cercle par rapport a la verticale, jusqu'a ce le segment soit horizontal a nouveau. puis de le faire glisser horizontalement a la position initiale.
Mais de la a calculer l'aire..
Si la verticale passe par A, alors c'est un peu moins de 0.42, mais je ne sais pas calculer..
Cependant je ne pense pas que ce soit optimal.
Si la verticale est plus loin de A ou B, l'aire doit diminuer.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #29 - 15-03-2011 18:50:19

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1447

aire, srgment et prise de tête !

J'ai trouvé mieux que 3Pi/16, finalement, sans savoir précisément combien smile
On prend un repère centré en A avec (AB) l'axe des abscisses

1) On fait glisser B jusqu'en A en suivant l'axe des abscisses, et en faisant glisser A sur l'axe des ordonnées, jusqu'en (1,0)
2) On fait glisser A jusqu'en (0,1) en suivant la courbe qui délimite l'aire qu'on a tracé en 1 (dans mon post précédent je donnais une formule pour la fonction représentée par cette courbe); pendant que B glisse sur l'axe des abscisses

Par ordinateur, je l'ai dessiné et j'ai calculé une valeur approchée de l'aire : 0,53 (sensiblement inférieur à 3Pi/16). Ca ressemble à ça :
http://www.prise2tete.fr/upload/scarta-geom.png

Légende :
> Bleu : déplacement de A durant l'étape 1
> Vert : déplacement de B durant l'étape 1
> Orange : déplacement de A durant l'étape 2
> Rose : déplacement de B durant l'étape 2

 #30 - 15-03-2011 21:51:04

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Aire, sgement et prise de tête !

Bon, faisons le point :
- Bravo à tous ceux qui ont eu le courage de faire de jolis dessins ou de jolis calculs ! smile
- pi/4 est loin d'être la meilleure réponse.
- Chalibu et Mitsuidewi : êtes-vous sûrs de votre raisonnement ? Sans avoir fait de calcul (zut, il va peut-être falloir que je fasse des calculs compliqués roll !), je dirais au feeling que l'aire tend vers une valeur indéfinissable au premier abord. Votre idée est bonne mais vous ne profitez à aucun moment du bénéfice du recouvrement des aires.
- A part ceux qui "connaissaient déjà", tout le monde peut faire mieux (même s'il est vrai que c'est loin d'être simple).

Spoiler : [Afficher le message]
Pensez aux propriétés suivantes :
- rebalayer une aire déjà balayée est gratuit en terme d'aire,
- une translation selon (AB) est gratuit en terme d'aire.


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #31 - 15-03-2011 22:34:15

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,507E+3

Aiire, segment et prise de tête !

Zut alors, peux mieux faire encore ! Ca devient coton !

pi/4
puis pi/2-rac3 / 2
Puis pi/4 - rac3 / 8
puis ... waouh,  je cherche

Dernier essai : pi/12 + les aires en bleu obtenues en combinant rotation et translation, plus le temps de calculer. Une donnée en fonction de tan 30° à priori

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-retourneencore.jpg

 #32 - 15-03-2011 23:24:17

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4751

Aire, semgent et prise de tête !

Personnellement je comprends mal qu'on puisse mettre ce type de sujet sur un site d'énigmes . Ce problème a tenu tête à de grands mathématiciens pendant des années ( une cinquantaine je crois ) et , sans mettre en doute la capacité des participants de P2T , je vois mal qui pourrait retrouver ce résultat sans le connaître auparavant .

Ce résultat très subtil est quand même un de ceux qui a généré la théorie des fractals .

Mais ce que j'en dis smile

Vasimolo

 #33 - 16-03-2011 00:12:43

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

aure, segment et prise de tête !

j'ai beau retourner le probléme (et AB) dans tous sens, je n'arrive pas à faire mieux...
tes indices me confirment que le triangle balayé 3 fois est une piste intéressante, par contre, je ne vois pas quand faire de translation selon la direction de AB...
Tant pis, j'attendrai la solution et dirai : "Bon sang, mais c'est bien sur !".

 #34 - 16-03-2011 13:10:57

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2745
Lieu: Luxembourg

Aier, segment et prise de tête !

Bonjour,
Je vais faire un demi-tour, comme en voiture: je m'explique.
Je déplace le segment AB sur un cercle de "grand rayon" passant par A et B.
Je fais un quart de tour, puis je refais un autre quart de tour dans l'autre sens sur un autre cercle "tout aussi grand" et "presque tangent" au précédent.
Et enfin je déplace le segment AB sur la droite AB sur "environ" une distance double du rayon des cercles précédents.
Conclusion: l'aire finale recherchée est "quasi nulle".
Ai-je triché ? Ou n'ai-je pas compris l'énoncé ? Ou ai-je raison ?
Bonne journée à tous.
Frank

 #35 - 17-03-2011 13:01:30

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

aire, srgment et prise de tête !

bon, j'ai refais quelques calculs, et j'ai trouvé que l'air minimum balyée selon mon dessin, n'est pas en fonction de R.
et est constante, soit dans mon dessin, l'aire balayée est 3 Pi /4.

Voila, c'est tout ce que j'ai, j'attend la correction...

 #36 - 17-03-2011 14:05:12

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

Aire, segment et prise de ttête !

je vois un triangle equilateral avec des bouts d'arc de cercle entre les sommets [latex]\frac{\pi-sqrt3} {2}[/latex]

 #37 - 18-03-2011 20:25:34

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

aire, qegment et prise de tête !

Bravo à vous tous pour vos efforts !... Allant souvent bien au-delà de pi/4, vous approchant peu ou prou de la vérité.

Pour avoir une explication assez complète :
http://eljjdx.canalblog.com/archives/20 … 81660.html
Et pour les anglophones :
http://en.wikipedia.org/wiki/Kakeya_set

Effectivement ce problème est beaucoup plus compliqué qu'il n'y paraît au premier abord. Mais je le trouve vraiment très ludique. J'spère que cela aura été également votre cas.
Désolé pour celles et ceux à qui il a pu prendre la tête, c'est aussi un peu le but, non ? tongue


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #38 - 19-03-2011 01:57:45

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

AAire, segment et prise de tête !

Merci fix33 pour l'énigme, elle m'a bien fait chauffer le cerveau, surtout que je n'ai pas trouvé...

C'est vraiment ce genre d'énigmes qui me botte !

En tout cas la réponse parait vraiment logique, et ca va enrichir ma culture générale. Bravo !

 #39 - 21-03-2011 23:52:24

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Aire, egment et prise de tête !

Merci !
Cela me fait bien plaisir que tu y es trouvé ton compte !
Il faudrait juste que je réfléchisse à ton idée de "translation rotative" de l'aiguille : je dois avouer ne pas être sûr de savoir comment calculer l'aire résultante...


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.
 

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