Cette affirmation n'est valable que pour n ne tendant pas vers l'infini.  La récurence est valable uniquement pour le second terme entier défini. Dire qu'il est égal à n quand n tend vers l'infini, c'est faire une limite de limite. la règle n'est plus valable

Précision : il n'est pas correct d'employer 2n.

C'est soit la fonction 2n dès le début dont on prend la limite qui n'est plus du tout équivalente à n

Soit c'est la fonction n+k  et il faut tenir compte à la fois d'une première limite quand n tend vers l'infini et d'une seconde quand k tend vers l'infini ( ou vers n) Cette fonction n'est toujours pas équivalente à n mais à 2n.

Il est facile de vérifier que [latex]n\sim {n+1}[/latex].

De même, [latex]n+1\sim{n+2}, ... ,2n-1\sim{2n}[/latex] par transitivité [latex]n\sim{2n}[/latex].

Es-tu certain que la transitivité est applicable un nombre infini de fois ?

Vous êtes deux salopards sadiques. C'est tout

Petite explication (après avoir pas mal buté dessus, je dois quand même le reconnaître... et j'ai trouvé dans un grand "aaaaah, ben ouiiii, j'suis rien c*n !") :


Les points de suspension sont la uniquement pour nous induire en erreur, car la "récurrence" qui s'établit peut montrer que la suite [latex](u_n)[/latex] définie par [latex]u_n=n[/latex] et la suite [latex](v_n)[/latex] définie par [latex]v_n=n+k[/latex] sont équivalentes quelles que soient la valeur du paramètre [latex]k[/latex].

Et c'est tout.

Le passage a la valeur [latex]2n[/latex] (ah non, tiens : a la suite [latex](w_n)[/latex] définie par [latex]w_n=2n[/latex] ) ne peut pas se faire. La façon dont l'énigme est tournée veut nous faire croire que considérer la variable [latex]n[/latex] comme une valeur donnée est faisable, ce qui est un viol mathématique.

Il est interdit de sommer des équivalents !!!

Car en fait, c'est ce que tu fais

Quand tu dis [latex]n+1\sim n+2[/latex], tu n'ajoutes pas 1 de chaque côté de [latex]n \sim n+1[/latex], mais tu utilises le fait que le rapport tend vers 1.
C'est évidemment vrai pour chaque équivalence de ta suite d'équivalence.

Mais tu n'as pas le droit d'utiliser n comme une variable lors de ta nème équivalence. n est la variable sur laquelle porte l'équivalence, et en fait tu fais une somme d'équivalents. Tu peux juste dire que quand n tend vers l'infini, [latex]n+p\sim n+p+1[/latex] quelque soit p indépendant de n.

J'ai mis un moment à trouver une explication qui me satisfaisait ... J'espère que c'est pareil pour toi

La construction des n+1 suite équivalentes me chagrine dans son écriture.

Je préférerai qu'on écrive, pour tout i entier, on appelle Ui,n la suite pour laquelle U(i),n = i+n.

Alors, on démontre par récurrence (ou plus simple par division) sur i et pas sur n (qui est le rang du terme de la suite) que pour tout (i,j), Ui,n ~ Uj,n.

L'énoncé est évidemment trompeur car, tout est vrai, sauf que les "..." nous font passer de suites du type : i+n à des suites de type 2n - j, le premier type ce sont des suites arithmétique de raison 1, le second des suite arthmétique de raison 2.

gasole a écrit:

je persiste à penser que l'enseignement des mathématiques pêche en favorisant la technicité calculatoire au détriment du raisonnement lui-même

Dans mes bras !!!

Je suis tout a fait d'accord, et je passe mon temps de prof a le déplorer...

C'est pour ça que ce petit entrainement a la logique mathématique ne peut que faire du bien Merci a Memento qui a sorti ce "paradoxe" et a toi qui as osé le poster a sa place.

gasole a écrit:

@shadock :
a) je n'ai pas dit que "équivalent" vaut "égal", mais c'est la définition de [latex]\sim[/latex] : la limite du quotient égale 1.

Je n'ai pas dit que tu l'avais dit, ça faisait parti de mon raisonnement

gasole a écrit:

b) tu fais un sac de noeuds, quand on écrit [latex]\lim_{n\mapsto \infty}=k[/latex], c'est un raccourci pour un truc comme : [latex]\forall \epsilon\in\mathbb{R}_{+}\exists N\forall n>N : |u_n-k|<\epsilon[/latex], dans lequel le symbole [latex]\infty[/latex] n'apparaît pas, normal ça n'est pas un nombre et on n'a pas le droit d'écrire [latex]\infty+1[/latex]. Dans certains modèles non-standards, on a des infinis "nombre" ([latex]\omega[/latex] et cie) mais on n'est plus dans [latex]\mathbb{R}[/latex]

Par contre là, j'ai avoir une bonne maîtrise du langage mathématiques, j'ai pas tout compris.

Bon, alors qu'est-ce qui ne va pas là-dedans ?

Que signifie [latex]n\sim n+1[/latex] ? C'est un abus de notation où l'on dénote une suite par l'expression du rang de son n-ième terme, cela signifie :
"la suite [latex](u^0_n)[/latex] telle que [latex]u^0_n=n[/latex] est équivalente  à la suite[latex] (u^1_n)[/latex] telle que [latex]u^1_n=n+1[/latex]"
Essentiellement, on fait la confusion entre un nombre et une fonction (une suite n'est qu'une fonction dans le fond).

Toutefois, cet abus est anodin dans certains cas et c'est pour cela qu'on se le permet souvent.
Ainsi il est vrai que quelque soit un entier [latex]k[/latex], on a :[latex] u^0_n \sim u^k_n[/latex], et on ne fait pas d'erreur de calcul en écrivant : "donc [latex]n\sim n+k[/latex]".
Les pointillés entre [latex]n \sim n+1\sim ...\sim n+k[/latex] ne mène à aucune erreur de calcul, là n'est pas la faute, c'est juste l'endroit où elle est cachée

Mais autant la suite [latex]u^0[/latex] est fixée, autant la suite dont on parle quand on écrit [latex]u^{n}[/latex] (telle que [latex]u^n_n=n+n[/latex])dépend de [latex]n[/latex] !!

C'est de cette dépendance que vient tout le mal...

Finalement, en termes simples,  [latex]n \sim n+1\sim ...\sim n+k[/latex] signifie que pour tout [latex]\epsilon[/latex], et une fois [latex]k[/latex] fixé, il existe une valeur de [latex]n[/latex] telle que l'écart entre [latex]n[/latex] et [latex]n+k[/latex] est inférieur à [latex]\epsilon[/latex].

Autrement dit, on a quelque chose comme (avec [latex]\epsilon [/latex] fixé) : [latex]\forall k\exists n:[/latex] blablabla .

Dans notre cas, cette formule est vraie, mais il est incorrect de l'utiliser en attribuant à [latex]k[/latex] la valeur [latex]n[/latex] car cette dernière doit être choisie APRES celle de [latex]k[/latex] !!

Songez quelle erreur ferait quelqu'un qui écrirait :

Comme [latex]\forall k\exists n: k\neq n[/latex] est vraie, donc [latex]\exists n: n\neq n[/latex] l'est aussi !

(le [latex]n[/latex] qui remplace [latex]k[/latex] est "capturé" par le [latex]\exists[/latex] et donne une formule fausse).

L'erreur logique est la même, elle est facilitée par un abus de notation qui cache une confusion de type d'objets (valeur vs fonction)... bref, un beau sac de noeuds

Pour ceux que ça intéresse, la règle régissant l'utilisation du [latex]\forall[/latex] est explicite :
de [latex]\forall x: \Phi(x)[/latex], on peut conclure [latex]\Phi(y)[/latex] à condition que [latex]y[/latex] ne soit pas "capturé" par un quantificateur ([latex]\forall[/latex] ou [latex]\exists[/latex]) à l'intérieur de [latex]\Phi[/latex].

voir : Universal Elimination et surtout ses restrictions qui correspondent à ce que j'ai écrit sur la "capture".

Bon, désolé pour cette explication un peu longue et pinailleuse, sans doute moins claire que les vôtres, mais je voulais creuser jusqu'au fond... pour trouver la faute logique, indépendamment du contexte.

Merci pour votre attention à cette campagne de sensibilisation

Désolé Shadock, j'ai juste voulu  te dire que quand écrit [latex]\infty[/latex], on fait un sacré raccourci en fait, j'ai pas voulu t'assommer. Tu vas trouver mon explication soporifique je suppose...

N'oubliez pas, restez aware

Je n'ai pas eu le temps de participer au débat mais je l'ai trouvé très intéressant et je suis d'accord à 100% sur la discussion sur la nécessité de travailler sur les fondements plutôt que sur la technique calculatoire.

Malheureusement, je constate ce problème dèle l'école primaire et ce de façon dramatique. Les enfants ne savent pas du tout ce qu'est un nombre. Ils savent juste comment les manipuler. Il ne font pas la distinction entre le nombre et le nom du nombre non plus d'ailleurs.

A partir de là, c'est déjà très mal engagé...

J'aime bien dire qu'un nombre, c'est une "idée" (façon simple de dire concept à des enfants). Que cette "idée" traduit dans la vie quotidienne la présence simultanée de plusieurs "choses" ayant quelque chose en commun. Que les nombres existent même si on ne leur donne pas de nom.
Que l'on peut agir sur ces idées et que c'est cela les opérations, que la plus simple correspond à imaginer un objet de plus et que cela s'appelle le successeur, ...