Enigmes

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 #1 - 15-03-2011 21:36:53

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Et enncore un paradoxe !

Sur une suggestion de Memento qui n'ose pas la poster lui(elle)-même.

Préliminaires : On dit que deux suites [latex]u_n[/latex] et [latex]v_n[/latex] sont équivalentes quand leur quotient tend vers [latex]1[/latex] quand [latex]n[/latex] tend vers l'infini, et ça se note : [latex]u_n \sim v_n[/latex].
Il n'est pas trop difficile de prouver que [latex]\sim[/latex] est une relation d'équivalence sur les suites, en particulier [latex]u_n\sim v_n[/latex] et [latex]v_n\sim w_n[/latex] implique [latex]u_n\sim w_n[/latex].

Et voici le paradoxe :

Il est facile de vérifier que [latex]n\sim n+1[/latex].

De même, [latex]n+1\sim n+2[/latex], ... [latex]2n-1\sim 2n[/latex], par transitivité [latex]n\sim 2n[/latex].

Donc [latex]\lim_{n\mapsto\infty}(2n/n)=1[/latex] or [latex]\lim_{n\mapsto\infty}(2n/n)=2[/latex], de plus [latex]2=1+1[/latex].

Donc [latex]1+1=1[/latex] (en base 10, je vous vois venir petits malins).

Jean-Claude Van Damme aurait-il raison ? Saperlipopette !



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 #2 - 15-03-2011 21:57:48

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

Et encore un aradoxe !

Cette affirmation n'est valable que pour n ne tendant pas vers l'infini.  La récurence est valable uniquement pour le second terme entier défini. Dire qu'il est égal à n quand n tend vers l'infini, c'est faire une limite de limite. la règle n'est plus valable

Précision : il n'est pas correct d'employer 2n.

C'est soit la fonction 2n dès le début dont on prend la limite qui n'est plus du tout équivalente à n

Soit c'est la fonction n+k  et il faut tenir compte à la fois d'une première limite quand n tend vers l'infini et d'une seconde quand k tend vers l'infini ( ou vers n) Cette fonction n'est toujours pas équivalente à n mais à 2n.

 #3 - 15-03-2011 22:10:37

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Et encoe un paradoxe !

Ce qui est clair pour moi c'est que :

n+1~n+2...2n-1~2n

est vrai.

Mais que :

n~2n

est faux.

Toute la difficulté réside je pense dans le "...".
Même un "n~n+(n/9999)" est faux.
La transitivité de la relation d'équivalence est établie, mais la transitivité ne semble pas conservée à l'infini...


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #4 - 15-03-2011 22:22:08

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
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Lieu: Ardèche

Et encore un aradoxe !

Il est facile de vérifier que [latex]n\sim {n+1}[/latex].

De même, [latex]n+1\sim{n+2}, ... ,2n-1\sim{2n}[/latex] par transitivité [latex]n\sim{2n}[/latex].

Es-tu certain que la transitivité est applicable un nombre infini de fois ?

 #5 - 15-03-2011 22:26:28

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

et encore un paradoxr !

Une relation d'équivalence, n'est pas une égalité. C'est comme les congruences, 12 mod 6 = 0 mais 12 n'est pas égale à 0
Et puis, l'infini ça n’existe pas, il y a toujours 1 en différence entre [latex]\infty +1[/latex] et [latex]\infty[/latex]

Et juste un détail [latex]\frac{2n}{n}=2[/latex]  alors qu'on tende ou non vers l'infini roll


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #6 - 15-03-2011 23:06:24

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

er encore un paradoxe !

Vous êtes deux salopards sadiques. C'est tout lol

Petite explication (après avoir pas mal buté dessus, je dois quand même le reconnaître... et j'ai trouvé dans un grand "aaaaah, ben ouiiii, j'suis rien c*n !") :


Les points de suspension sont la uniquement pour nous induire en erreur, car la "récurrence" qui s'établit peut montrer que la suite [latex](u_n)[/latex] définie par [latex]u_n=n[/latex] et la suite [latex](v_n)[/latex] définie par [latex]v_n=n+k[/latex] sont équivalentes quelles que soient la valeur du paramètre [latex]k[/latex].

Et c'est tout.

Le passage a la valeur [latex]2n[/latex] (ah non, tiens : a la suite [latex](w_n)[/latex] définie par [latex]w_n=2n[/latex] roll) ne peut pas se faire. La façon dont l'énigme est tournée veut nous faire croire que considérer la variable [latex]n[/latex] comme une valeur donnée est faisable, ce qui est un viol mathématique.


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 #7 - 15-03-2011 23:11:44

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
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Lieu: Toulouse

et zncore un paradoxe !

@gwen : tu dis "Cette affirmation" euh laquelle, je te suis pas très bien je crois, mais je pense que tu regardes dans la bonne direction.

@fix33 et halloduda : vous (qui n'êtes pas des billes en maths) vous méritez au moins une fessée déculottée sur la place publique de là où vous habitez gniark gniark ! Bien sûr que la transitivité d'une relation d'équivalence s'applique infiniment !

@shadock :
a) je n'ai pas dit que "équivalent" vaut "égal", mais c'est la définition de [latex]\sim[/latex] : la limite du quotient égale 1.

b) tu fais un sac de noeuds, quand on écrit [latex]\lim_{n\mapsto \infty}=k[/latex], c'est un raccourci pour un truc comme : [latex]\forall \epsilon\in\mathbb{R}_{+}\exists N\forall n>N : |u_n-k|<\epsilon[/latex], dans lequel le symbole [latex]\infty[/latex] n'apparaît pas, normal ça n'est pas un nombre et on n'a pas le droit d'écrire [latex]\infty+1[/latex]. Dans certains modèles non-standards, on a des infinis "nombre" ([latex]\omega[/latex] et cie) mais on n'est plus dans [latex]\mathbb{R}[/latex]

c) oui je sais que 2n/n = 2, c'est juste pour dire que deux expressions identiques ont deux valeurs différentes.

@mathias : tu as tout à fait raison, j'aime bien (tu as dû le remarquer) aussi les questions qui portent sur les fondements. Et ton "ah non tiens!" met précisément le doigt sur le cœur du problème.
Mais je ne crois pas que ça soit sadique (enfin si un peu cool), les mathématiques ne se résument pas à appliquer, éventuellement avec brio, des techniques, je crois qu'il est nécessaire de savoir ce que l'on fait. Je suis logicien je te rappelle big_smile

 #8 - 16-03-2011 03:06:18

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Paris

Et encore un paradoex !

Il est interdit de sommer des équivalents !!!

Car en fait, c'est ce que tu fais smile

Quand tu dis [latex]n+1\sim n+2[/latex], tu n'ajoutes pas 1 de chaque côté de [latex]n \sim n+1[/latex], mais tu utilises le fait que le rapport tend vers 1.
C'est évidemment vrai pour chaque équivalence de ta suite d'équivalence.

Mais tu n'as pas le droit d'utiliser n comme une variable lors de ta nème équivalence. n est la variable sur laquelle porte l'équivalence, et en fait tu fais une somme d'équivalents. Tu peux juste dire que quand n tend vers l'infini, [latex]n+p\sim n+p+1[/latex] quelque soit p indépendant de n.

J'ai mis un moment à trouver une explication qui me satisfaisait ... J'espère que c'est pareil pour toi big_smile

 #9 - 16-03-2011 04:06:08

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
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et encore un parafoxe !

Hum Hum...
C'est quoi les "..." entre [latex]n+1\sim n+2[/latex] et [latex]2n-1\sim 2n[/latex]?

 #10 - 16-03-2011 10:10:45

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Et necore un paradoxe !

La construction des n+1 suite équivalentes me chagrine dans son écriture.

Je préférerai qu'on écrive, pour tout i entier, on appelle Ui,n la suite pour laquelle U(i),n = i+n.

Alors, on démontre par récurrence (ou plus simple par division) sur i et pas sur n (qui est le rang du terme de la suite) que pour tout (i,j), Ui,n ~ Uj,n.

L'énoncé est évidemment trompeur car, tout est vrai, sauf que les "..." nous font passer de suites du type : i+n à des suites de type 2n - j, le premier type ce sont des suites arithmétique de raison 1, le second des suite arthmétique de raison 2.

 #11 - 16-03-2011 10:26:35

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
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Lieu: Toulouse

E encore un paradoxe !

@irmo : oui, bien sûr que les "..." sont en cause, mais on les utilise souvent en maths et parfois justement, peux-tu être plus précis sur ton diagnostic ?

@dylasse : tout à fait d'accord pour être chagriné smile Les abus de notations, fréquents dans la pratique mathématique, peuvent mener à des catastrophes !

Je vais encore prêcher pour ma paroisse, mais je suis persuadé qu'une telle erreur est facilement commise par des gens qui ont par ailleurs un niveau technique en maths tout à fait honorable (genre bac+2 comme moi, voire plus), je persiste à penser que l'enseignement des mathématiques pêche en favorisant la technicité calculatoire au détriment du raisonnement lui-même.

Merci à Memento de me l'avoir fait connaître...

PUB : Je reconnais que c'est moins fun que le marathon de Looping !

 #12 - 16-03-2011 11:25:02

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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et encpre un paradoxe !

gasole a écrit:

je persiste à penser que l'enseignement des mathématiques pêche en favorisant la technicité calculatoire au détriment du raisonnement lui-même

Dans mes bras !!!

Je suis tout a fait d'accord, et je passe mon temps de prof a le déplorer...

C'est pour ça que ce petit entrainement a la logique mathématique ne peut que faire du bien smile Merci a Memento qui a sorti ce "paradoxe" et a toi qui as osé le poster a sa place.


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 #13 - 16-03-2011 14:06:53

gasole
Elite de Prise2Tete
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et encore un paradoxz !

Mths-MlndN a écrit:

Dans mes bras !!!

ça va encore jazer ! big_smile

 #14 - 16-03-2011 14:56:39

shadock
Elite de Prise2Tete
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Et encore un paradxe !

gasole a écrit:

@shadock :
a) je n'ai pas dit que "équivalent" vaut "égal", mais c'est la définition de [latex]\sim[/latex] : la limite du quotient égale 1.

Je n'ai pas dit que tu l'avais dit, ça faisait parti de mon raisonnement smile

gasole a écrit:

b) tu fais un sac de noeuds, quand on écrit [latex]\lim_{n\mapsto \infty}=k[/latex], c'est un raccourci pour un truc comme : [latex]\forall \epsilon\in\mathbb{R}_{+}\exists N\forall n>N : |u_n-k|<\epsilon[/latex], dans lequel le symbole [latex]\infty[/latex] n'apparaît pas, normal ça n'est pas un nombre et on n'a pas le droit d'écrire [latex]\infty+1[/latex]. Dans certains modèles non-standards, on a des infinis "nombre" ([latex]\omega[/latex] et cie) mais on n'est plus dans [latex]\mathbb{R}[/latex]

Par contre là, j'ai avoir une bonne maîtrise du langage mathématiques, j'ai pas tout compris.


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #15 - 16-03-2011 15:11:05

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Et encoe un paradoxe !

La plus grosse formule donnée par Gasole est la définition de la limite : une suite tend vers K si, quel que soit l'epsilon que tu prends (et tu peux le prendre aussi petit que tu veux), tous les éléments de la suite a partir d'un certain rang sont a une distance de K inférieure a epsilon.

Vu que epsilon peut être aussi petit qu'on veut, on peut vulgairement traduire par "les termes de la suite deviendront infiniment proches de K", mais c'est une traduction très vulgaire et approximative. On ne peut pas vraiment dire "les termes sont de plus en plus proches de K" car ce n'est pas toujours vrai : la suite des [latex]e^{-n} sin(n \pi / 4)[/latex], par exemple, "oscille" autour des valeurs de [latex]e^{-n}[/latex], qui descendent vers zéro. La suite converge vers zéro, mais un terme ne sera pas forcément plus proche de zéro que le précédent.

Bref.

Ce que te dit Gasole se rapporte au fait que le "n tendant vers l'infini" n'est qu'une représentation. Ce n ne veut rien dire, au final.

Tu peux laisser tomber sa dernière phrase pour l'instant, tu verras ça si tu fais une fac de maths lol


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 #16 - 16-03-2011 15:35:28

gasole
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Toulouse

Et enncore un paradoxe !

Bon, alors qu'est-ce qui ne va pas là-dedans ?

Que signifie [latex]n\sim n+1[/latex] ? C'est un abus de notation où l'on dénote une suite par l'expression du rang de son n-ième terme, cela signifie :
"la suite [latex](u^0_n)[/latex] telle que [latex]u^0_n=n[/latex] est équivalente  à la suite[latex] (u^1_n)[/latex] telle que [latex]u^1_n=n+1[/latex]"
Essentiellement, on fait la confusion entre un nombre et une fonction (une suite n'est qu'une fonction dans le fond).

Toutefois, cet abus est anodin dans certains cas et c'est pour cela qu'on se le permet souvent.
Ainsi il est vrai que quelque soit un entier [latex]k[/latex], on a :[latex] u^0_n \sim u^k_n[/latex], et on ne fait pas d'erreur de calcul en écrivant : "donc [latex]n\sim n+k[/latex]".
Les pointillés entre [latex]n \sim n+1\sim ...\sim n+k[/latex] ne mène à aucune erreur de calcul, là n'est pas la faute, c'est juste l'endroit où elle est cachée smile

Mais autant la suite [latex]u^0[/latex] est fixée, autant la suite dont on parle quand on écrit [latex]u^{n}[/latex] (telle que [latex]u^n_n=n+n[/latex])dépend de [latex]n[/latex] !!

C'est de cette dépendance que vient tout le mal...

Finalement, en termes simples,  [latex]n \sim n+1\sim ...\sim n+k[/latex] signifie que pour tout [latex]\epsilon[/latex], et une fois [latex]k[/latex] fixé, il existe une valeur de [latex]n[/latex] telle que l'écart entre [latex]n[/latex] et [latex]n+k[/latex] est inférieur à [latex]\epsilon[/latex].

Autrement dit, on a quelque chose comme (avec [latex]\epsilon [/latex] fixé) : [latex]\forall k\exists n:[/latex] blablabla .

Dans notre cas, cette formule est vraie, mais il est incorrect de l'utiliser en attribuant à [latex]k[/latex] la valeur [latex]n[/latex] car cette dernière doit être choisie APRES celle de [latex]k[/latex] !!

Songez quelle erreur ferait quelqu'un qui écrirait :

Comme [latex]\forall k\exists n: k\neq n[/latex] est vraie, donc [latex]\exists n: n\neq n[/latex] l'est aussi !

(le [latex]n[/latex] qui remplace [latex]k[/latex] est "capturé" par le [latex]\exists[/latex] et donne une formule fausse).

L'erreur logique est la même, elle est facilitée par un abus de notation qui cache une confusion de type d'objets (valeur vs fonction)... bref, un beau sac de noeuds big_smile

Pour ceux que ça intéresse, la règle régissant l'utilisation du [latex]\forall[/latex] est explicite :
de [latex]\forall x: \Phi(x)[/latex], on peut conclure [latex]\Phi(y)[/latex] à condition que [latex]y[/latex] ne soit pas "capturé" par un quantificateur ([latex]\forall[/latex] ou [latex]\exists[/latex]) à l'intérieur de [latex]\Phi[/latex].

voir : Universal Elimination et surtout ses restrictions qui correspondent à ce que j'ai écrit sur la "capture".

Bon, désolé pour cette explication un peu longue et pinailleuse, sans doute moins claire que les vôtres, mais je voulais creuser jusqu'au fond... pour trouver la faute logique, indépendamment du contexte.

Merci pour votre attention à cette campagne de sensibilisation big_smile

 #17 - 16-03-2011 15:38:16

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
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Et encore un paradoxee !

mathias a écrit:

Tu peux laisser tomber sa dernière phrase pour l'instant, tu verras ça si tu fais une fac de maths lol

Et bien alors peut me chaut, plus tard moi c'est la chimie pas les maths bien que je sois meilleurs en maths sad lol


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #18 - 16-03-2011 15:38:37

gasole
Elite de Prise2Tete
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ey encore un paradoxe !

Désolé Shadock, j'ai juste voulu  te dire que quand écrit [latex]\infty[/latex], on fait un sacré raccourci en fait, j'ai pas voulu t'assommer. Tu vas trouver mon explication soporifique je suppose...

N'oubliez pas, restez aware cool

 #19 - 16-03-2011 15:45:55

shadock
Elite de Prise2Tete
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Et encore un pardoxe !

Désolé Shadock, j'ai juste voulu  te dire que quand écrit , on fait un sacré raccourci en fait, j'ai pas voulu t'assommer. Tu vas trouver mon explication soporifique je suppose...

Les maths j'ai jamais trouvé ça soporifique à part les barycentre peut-être...mad
J'y reviendrais plus tard, j'ai encore de beaux jours devant moi smile et je suis complètement aware cool
Merci mathias et toi smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #20 - 16-03-2011 18:47:58

rivas
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et encore yn paradoxe !

Je n'ai pas eu le temps de participer au débat mais je l'ai trouvé très intéressant et je suis d'accord à 100% sur la discussion sur la nécessité de travailler sur les fondements plutôt que sur la technique calculatoire.

Malheureusement, je constate ce problème dèle l'école primaire et ce de façon dramatique. Les enfants ne savent pas du tout ce qu'est un nombre. Ils savent juste comment les manipuler. Il ne font pas la distinction entre le nombre et le nom du nombre non plus d'ailleurs.

A partir de là, c'est déjà très mal engagé...

J'aime bien dire qu'un nombre, c'est une "idée" (façon simple de dire concept à des enfants). Que cette "idée" traduit dans la vie quotidienne la présence simultanée de plusieurs "choses" ayant quelque chose en commun. Que les nombres existent même si on ne leur donne pas de nom.
Que l'on peut agir sur ces idées et que c'est cela les opérations, que la plus simple correspond à imaginer un objet de plus et que cela s'appelle le successeur, ...

 #21 - 16-03-2011 19:06:12

gasole
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Et encoree un paradoxe !

J'ai encore discuté avec des collègues mathématiciens ce midi, des thésards, je les trouve toujours assez dédaigneux vis-à-vis de la logique (trop facile !), on a une tradition élitiste des maths en France... pas facile de revenir là-dessus.

Mais Rivas a raison, ça commence dès l'école primaire, la confusion entre nombre et codage, la confusion entre addition et algorithme, etc...

J'adore la définition de Russel du nombre 3 : c'est le point commun que partagent tous les ensembles équipotents à l'ensemble [latex]\{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\{\emptyset\}\}\}[/latex] (un peu abstraite toutefois smile )

 

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