Beaucoup de réponses ...  ayant toutes une part de vérité, certaines plus que d'autres

Il n'y a probablement pas de 'meilleure réponse' car chacun a ses propres mécanismes de pensée et sa façon de faire. Ce que je propose a donc une part de subjectivité.

Etape 1
Il me semble tout d'abord important de cerner l'ordre de grandeur des entiers potentiels pouvant donner une valeur entre 200 et 1000 millions. Pour cela il me semble préférable de partir soit

d'une valeur centrale et déterminer une racine sixième approximative (on se restreindra aux entiers naturels donc une seule racine !)

$$\rm (512 000 000)^{1/6} = (2^9 \times~ 10^6)^{1/6}=20\sqrt2 \approx 28$$
certains pourraient directement sauter à l'etape 2 pour revenir ensuite a une meilleure approximation de la borne superieure.

soit les deux bornes
$$\rm (256 000 000)^{1/6} = (2^8 \times~ 10^6)^{1/6}=20 2^{1/3} >> 20$$
$$\rm (1 000 000 000)^{1/6} = (10^{9})^{1/6}=10\sqrt{10} < 32$$
note: $\rm 32\times 32 = 2^5\times 2^5 = 2^{10}=1024~~ =>~~ 3.2>\sqrt{10}$

Il y a bien sur de nombreuses façons de trouver ces bornes mais au moins je sais compter les puissances de 2 sur mes dix doigts.

Etape 2
La puissance sixieme est divisible par 9 donc n est divisible par 3

Etape 3
Le chiffre unité de la puissance sixième limite le nombre de possibilité à une seule réponse 27 comme cela a été dit par la plupart d'entre vous. Je note au passage que l'on s’intéresse uniquement aux unités donc les calculs sont modulo 10.
...1^6 = 1
...2^6 = 64 =..4
...3^6 =9^3 = ..1x9 = ..9  possible
...4^6=...6^3=..6
etc


Merci encore pour cette forte participation

Edit: merci Looping pour la coquille maintenant nettoyée.

Je sais je chipote Faut bien que quelqu'un remplace M*****S pendant ses absences

L00ping007 a écrit:

Je sais je chipote Faut bien que quelqu'un remplace M*****S pendant ses absences

Eh, oh, je ne te permets pas

J'ail'impression d'être un alien a avoir réussit de tête mes calculs, pourtant, à la fin de mon raisonnement, je me trouvais bête de pas avoir penser plus tot à la divisibilité par 9 !!

en y pensant des le début, résoudre l’énigme peut prendre a la finale moins d'une minute, vérification incluse.
et encore, même moins, la divisibilité c'est trivial, le bornage entre 20 et 30ish a peine plus dur.
bon ok, je suis un pur geek qui connait 2^6 par coeur, mais quand même !

Je n'avais pas pensé a la divisibilité par 9... heu.. 3.... Bien vu!

En lisant les réponses, je suis impressioné par celle de fix33, qui trouve la bonne réponse en faisant 2 erreurs:

fix33 a écrit:

8^6=4^6 x 4^6=...6
9^6=3^6 x 3^6=...9
D'où on déduit que l'entier recherché ne peut se terminer que par 2, 3, 7 ou 9.
Il ne nous reste donc plus que 27 !

8^6 = 4^6 x 2^6  et non 4^6 x 4^6
9^6=3^6 x 3^6 se termine par 1, et non par 9...

gasole a écrit:

peu de gens connaissent par cœur l'ordre de grandeur de la racine 6ème de 10^9, en tout cas pas moi.

Pour moi c'etait la partie la plus facile.
1000000000 = 1000 * 1000000

$$\sqrt[6]{1000000000} = \sqrt[6]{1000} * \sqrt[6]{1000000} = sqrt{10} * 10 = 31.6$$

dhrm77 a écrit:

gasole a écrit:

peu de gens connaissent par cœur l'ordre de grandeur de la racine 6ème de 10^9, en tout cas pas moi.

Pour moi c'etait la partie la plus facile.
1000000000 = 1000 * 1000000
$\sqrt[6]{1000000000} = \sqrt[6]{1000} * \sqrt[6]{1000000} = sqrt{10} * 10 = 31.6$

c'est bien ce que je voulais dire, il fallait un peu de calcul tu ne la connais pas par coeur, le reste était calculatoirement plus facile mais, comme souvent, il fallait y penser.

L00ping007 a écrit:

Au risque de me répéter, l'argument de la divisibilité par 9 ne tient pas, on ne peut conclure que sur la divisibilité par 3 ...

Je crois qu'il y a pas mal de monde qui ne lit pas les réponses précédentes...