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 #1 - 14-06-2024 20:40:34

Spirou
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 484

Une construction géomértique

Bonsoir!

Je vous propose une petite construction: Soit [latex]A[/latex] et [latex]B[/latex] deux points et [latex]C[/latex] le cercle de diamètre [latex][A,B][/latex].
Pour tout point [latex]P[/latex] à l'intérieur du cercle, on considère les droites [latex](A,P)[/latex] et [latex](B,P)[/latex] et leurs points d'intersections respectifs [latex]E[/latex] et [latex]D[/latex] avec le cercle [latex]C[/latex].
Pour un réel [latex]x[/latex], nous construisons l'ensemble des points [latex]P[/latex] tels que la distance entre [latex]D[/latex] et [latex]E[/latex] soit égale à [latex]x[/latex].
https://www.prise2tete.fr/upload/Spirou-geometrie.png
Qu'avons nous construit?
Spoiler : Indice  exprimer x en fonction de l'angle [latex]\widehat{DPA}[/latex]

Bonne fin de semaine!

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#0 Pub

 #2 - 15-06-2024 00:11:15

aunryz
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 815
Lieu: Nicastro / Tronville

une consteuction géométrique

Une position particulière de P qui satisfait à la condition donnée de conservation de la longueur DE.

ADP est alors un triangle rectangle

http://www.prise2tete.fr/upload/aunryz-CosinusDPA1JPG.jpg

d'où on conclue
  x/AB =cos(DPA)

------
[REM (hors sujet) Peut servir à visualiser le cosinus si l'angle est tracé
On prolonge DP et AP
sur la demi droite [DB) on choisit B tel que BA = 1
on construit le cercle qui passe par les points ADB
E est l'intersection de ce cercle avec [AP)
DE est la valeur du cosinus de l'angle DPA]
------

(sauf erreur habituelle de ma part (sourire)²)


Lélio Lacaille

 #3 - 15-06-2024 11:39:45

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,418E+3

Une constrction géométrique

Bonjour smile

Quelques angles inscrits , un trapèze et un losange :

https://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-Spirou.png

Vasimolo

 #4 - 16-06-2024 20:31:30

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3213
Lieu: Luxembourg

ube construction géométrique

Une ellipse de demi grand axe R=AB/2 et de demi petit axe R.V(4R²-x²)/(2R+x)

 #5 - 16-06-2024 21:05:27

Spirou
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 484

Une cconstruction géométrique

@aunryz: Ton premier calcul est juste, même si je ne suis pas sûr de comprendre ton raisonnement ^^. Maintenant, il s'agit de décrire les points qui vérifient cette égalité.

@Vasimolo: C'est ca smile avec en plus une très jolie construction que je n'avais pas!

@Franky1103: Ton V désigne une racine carrée? La réponse est plus simple que ca smile

 #6 - 17-06-2024 01:53:37

aunryz
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 815
Lieu: Nicastro / Tronville

une constriction géométrique

Deux arcs de cercle

Par exemple :

http://www.prise2tete.fr/upload/aunryz-Figure1JPG.jpg
pour x = AB/8

http://www.prise2tete.fr/upload/aunryz-Figure2JPG.jpg
pour x = AB/4

http://www.prise2tete.fr/upload/aunryz-Figure4JPG.jpg
pour x = AB/2

http://www.prise2tete.fr/upload/aunryz-Figure7JPG.jpg
pour x = 7AB/8

Si je n'ai pas fait la bourde coutumière.

____
Spirou tu faisais la remarque très juste
que je n'avais pas vraiment justifié la relation
j'ai complété mon premier message


Lélio Lacaille

 #7 - 17-06-2024 07:09:25

Migou
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 477
Lieu: Ville 2/N près 2*i

Une construction gométrique

Aille, aille. J'ai l'impression qu'on obtient une ellipse. Mais je serais bien en peine de le prouver.

 #8 - 17-06-2024 12:43:26

Spirou
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 484

Une construction géométtrique

Bravo @aunryz, c'est bien ca wink

@Migou Tu as une bonne intuiton, mais c'est plus simple que tu crois!

 #9 - 17-06-2024 21:38:25

Spirou
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 484

une construcyion géométrique

Ajout de temps smile
J'en ai profité pour ajouter un indice!

 #10 - 22-06-2024 11:12:39

pzul
Visiteur

Une construction géométriqe

une solution pas détaillée mais rédigée... Ça m'a pris du temps : beau problème smile

 #11 - 29-06-2024 16:28:56

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3213
Lieu: Luxembourg

une consyruction géométrique

Bonjour,

J’étais parti sur une méthode analytique un peu bourrin et différente de celle de ’’pzul’’.
Elle n’a évidemment pas l’élégance de la solution géométrique de ’’vasimolo’’, mais la voici quand même.
Coordonnées du point D: xD = R.cos(T+A) et yD = R.sin(T+A)
Coordonnées du point E: xE = R.cos(T-A) et yE = R.sin(T-A)
Avec: x = d(D;E) = 2R.sin(A)
Equation de la droite (AE): y = (R+x).tan[(T-A)/2]
Equation de la droite (BD): y = (R-x)/tan[(T-A)/2]
Coordonnées du point P (à l’intersection des droites (AE) et (BD)):
xP = R.cos(T)/cos(A) et yP = R.[1+cos(T)/cos(A)].tan[(T-A)/2]
Après de longs et fastidieux calculs (V représentant la racine carrée), on trouve:
xP² + [yP + R/V(4R²/x²-1)]² = [(2R²/x) / V(4R²/x²-1)]²
C’est l’équation du cercle centré sur le point O ci-dessous et de rayon:
(2R²/x) / V(4R²/x²-1)
Coordonnées du point O: xO = 0 et yO = - R/V(4R²/x²-1)
(tout ça, sous réserve d'erreurs de calcul: LOL)

Bonne journée.

 

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