Les centres des cinq cercles de rayon forment un pentagone regulier de cote 2.
L'aire de ce pentagone est $\sqrt{25+10\sqrt5}$
on retire 5 secteurs d'angle 108 deg d'aire $\frac{3\pi}{10}$
ce qui donne pour l'aire hachurée
$$\sqrt{25+10\sqrt5}-\frac{3\pi}2$$

Question 1.
L'aire maximale est obtenue pour les 5 centres formant un pentagone régulier.
Elle vaut $\sqr{25+10*\sqr5}-\frac{3\pi}2\approx\,2.16952$

Question 2.
L'aire minimale est obtenue pour 3 centre alignés et 2 autres sur une parallèle.
(hexagone tronqué)
L'aire vaut alors $3(\sqr3-\frac\pi 2)\approx\,0.48376$

Question supplémentaire.

Maximum pas évident.(à suivre)
Pour R=2, je trouve graphiquement une aire de 2.8238...

Le minimum est obtenu pour 4 cercles de rayon 1, tangents entre eux et disposés en couronne autour du cercle de rayon R, R entier positif.
L'aire vaut 3 fois l'aire comprise entre le grand cercle et deux des petits.

Bonjour,

Question de base

Aire maximale obtenue intuitivement lorsque les centres des 5 cercles sont situés sur un pentagone régulier
A max = A pentagone - 1,5 A cercle = V(25+10V5) - 3pi/2 = 2,17 env.

Aire minimale obtenue intuitivement en collant les 5 cercles les uns aux autres
(2, 2 et 1 cercles ont respectivement 2, 3 et 4 voisins)
A min = 3 x (A triangle équilatéral - 0,5 A cercle) = 3V3 - 3pi/2 = 0,484 env.

Question supplémentaire

Aire maximale obtenue comme précédemment, mais comme le pentagone n'est plus régulier, c'est franchement trop difficile à calculer

Aire minimale obtenue comme précédemment, avec un cercle plus "gros" (ici le calcul est plus aisé, mais je suis fainéant)

Bonne journée.
Frank

1er question:

La surface est maximal quand les centres des cercles forment un pentagone régulier.

Il faut calculer la surface du pentagone moins la surface de 5*108°/360° = 1,5 disques.

S = 5 cot (pi/5) - 1,5 pi

Je me place dans le plan complexe.

J'appelle $b_r$ le centre du cercle et $a_r$ les points de contacts entre le cercle r et le cercle r+1, les r étant pris modulo 5, je nomme $\theta_r$ l'angle entre $a_r$ et $a_{r+1}$
vu de $b_r$.

J'applique Stokes qui relie l'aire d'un domaine avec sa frontière.

Et je trouve $\fbox{\frac{1}{2}(\sum_{r=1}^{5} \theta_r-i\overline{b_r}(a_{r+1}-a_r))}$ ce terme devant être réel.

On remarque que  $Re(\overline{b_r}(a_{r+1}-a_r))$ est un produit scalaire dont la somme sur r doit s'annuler.

$Im(\overline{b_r}(a_{r+1}-a_r))$  est un déterminant entre le vecteur qui va de l'origine à $b_r$ et  le vecteur qui va de $a_r$ à $a_{r+1}$.
Ce qui représente après sommation, je crois,  l'aire du polygone dont les sommets sont les centres et points de contacts. Qui vaut l'aire du pentagone formé des points de contacts plus la moitié des sinus des $\theta_r$.

Pour avoir l'aire recherchée il faut encore retrancher la somme des $\theta_r$.

Je remarque que sur un dessin cela doit se voir sans cette formule.
Tout ce travail pour rien.


Il y a certainement des erreurs mais bon quelques idées.