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 #1 - 16-06-2011 19:30:09

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Mathématiques puor les nuls 9

Il me semble qu'il y en a qui voulait plus de difficulté, mais c'est difficile de faire difficile je trouve. Entre deux textes de français j'ai réfléchis pour vous trouver quelque chose qui j'espère sera plus problématique smile

Soit 5 cinq cercles tous tangents à au moins deux autres cercles, sinon plus, on considère la surface formée au centre de ces cinq cercles.

Question : En considérant que tous les cercles sont de rayon 1 quelle est l'aire maximale (resp. minimale) de cette surface représenté en rouge sur mon dessin ?

Question supplémentaire : Définir un fonction capable de trouver l'aire de cette surface si un des cercles à un rayon variant dans [latex]\mathbb{N}^*[/latex]



Amusez-vous bien big_smile

Shadock

PS : Je précise que moi même je ne connais pas réponse sad



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 #2 - 16-06-2011 20:08:33

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1932
Lieu: UK

Mathémaatiques pour les nuls 9

Les centres des cinq cercles de rayon forment un pentagone regulier de cote 2.
L'aire de ce pentagone est [latex]\sqrt{25+10\sqrt5}[/latex]
on retire 5 secteurs d'angle 108 deg d'aire [latex]\frac{3\pi}{10}[/latex]
ce qui donne pour l'aire hachurée
[TeX]\sqrt{25+10\sqrt5}-\frac{3\pi}2[/TeX]


The proof of the pudding is in the eating.

 #3 - 16-06-2011 23:01:18

rivas
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Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

mathématiques pour les nuld 9

Les centres des cercles forment un pentagone. Il me semble que la surface rouge est maximale si la surface du polygone est maximale. Et donc lorsqu'il est régulier. Il reste plus qu'à calculer (demain).

La surface minimale sera atteinte si en numérotant les cercles circulairement, le 3 est tangent au 1 _et_ au 5. Il ne reste aussi plus qu'à calculer (demain aussi smile).

 #4 - 17-06-2011 10:11:06

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 494
Lieu: Ardèche

Mathématiques pur les nuls 9

Question 1.
L'aire maximale est obtenue pour les 5 centres formant un pentagone régulier.
Elle vaut [latex]\sqr{25+10*\sqr5}-\frac{3\pi}2\approx\,2.16952[/latex]

Question 2.
L'aire minimale est obtenue pour 3 centre alignés et 2 autres sur une parallèle.
(hexagone tronqué)
L'aire vaut alors [latex]3(\sqr3-\frac\pi 2)\approx\,0.48376[/latex]

Question supplémentaire.

Maximum pas évident.(à suivre)
Pour R=2, je trouve graphiquement une aire de 2.8238...

Le minimum est obtenu pour 4 cercles de rayon 1, tangents entre eux et disposés en couronne autour du cercle de rayon R, R entier positif.
L'aire vaut 3 fois l'aire comprise entre le grand cercle et deux des petits.

 #5 - 17-06-2011 11:13:55

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

Mathématiques pouur les nuls 9

si on dessine le pentagone formé par les centres des cercles, l'aire rouge est égale a l'aire de ce pentagone moins l'aire d'un cercle et demi (la somme des angles d'un pentagone est constante)
Il faut donc maximiser l'aire du pentagone pour maximiser l'aire en rouge.
Comme le carré est le quadrilatère d'aire maximale pour un périmètre fixé, on va dire que le pentagone régulier doit faire l'affaire ^^ :

Aire pentagone régulier de coté 2 : [latex]\sqrt{25+10\sqrt{5}}[/latex]
Aire d'un cercle et demi de rayon 1 : [latex]\frac{3 \pi}{2}[/latex]
Aire surface rouge : différence des deux : [latex]\sqrt{25+10\sqrt{5}} - \frac{3 \pi}{2}[/latex]

Variante : on fait varier le rayon d'un seul cercle ou de tous ?

 #6 - 17-06-2011 12:23:20

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2868
Lieu: Luxembourg

Mathématiques pour lles nuls 9

Bonjour,

Question de base

Aire maximale obtenue intuitivement lorsque les centres des 5 cercles sont situés sur un pentagone régulier
A max = A pentagone - 1,5 A cercle = V(25+10V5) - 3pi/2 = 2,17 env.

Aire minimale obtenue intuitivement en collant les 5 cercles les uns aux autres
(2, 2 et 1 cercles ont respectivement 2, 3 et 4 voisins)
A min = 3 x (A triangle équilatéral - 0,5 A cercle) = 3V3 - 3pi/2 = 0,484 env.

Question supplémentaire

Aire maximale obtenue comme précédemment, mais comme le pentagone n'est plus régulier, c'est franchement trop difficile à calculer

Aire minimale obtenue comme précédemment, avec un cercle plus "gros" (ici le calcul est plus aisé, mais je suis fainéant)

Bonne journée.
Frank

 #7 - 17-06-2011 23:58:44

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Mathématiques opur les nuls 9

J'espère que ça ne vous prend pas trop la tête tongue
Certainement déjà que des bonnes réponses mais comment justifier que c'est quand on forme un pentagone que l'aire est maximale ? hmm


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 #8 - 18-06-2011 01:47:17

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

Mathématiques pour les nlus 9

1er question:

La surface est maximal quand les centres des cercles forment un pentagone régulier.

Il faut calculer la surface du pentagone moins la surface de 5*108°/360° = 1,5 disques.

S = 5 cot (pi/5) - 1,5 pi

 #9 - 18-06-2011 10:56:37

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2868
Lieu: Luxembourg

Mathématiques pour les nulss 9

Pourquoi est ce que le pentagone donne l'aire maximale ?
Pour les mêmes raisons que le rapport surface / circonférence est maximal pour un cercle ou que le rapport volume / surface est maximal pour une sphère.
Mais pour le démontrer, glups.

 #10 - 19-06-2011 16:04:38

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

mathématiqued pour les nuls 9

Je me place dans le plan complexe.

J'appelle [latex]b_r[/latex] le centre du cercle et [latex]a_r[/latex] les points de contacts entre le cercle r et le cercle r+1, les r étant pris modulo 5, je nomme [latex]\theta_r[/latex] l'angle entre [latex]a_r[/latex] et [latex]a_{r+1}[/latex]
vu de [latex]b_r[/latex].

J'applique Stokes qui relie l'aire d'un domaine avec sa frontière.

Et je trouve [latex]\fbox{\frac{1}{2}(\sum_{r=1}^{5} \theta_r-i\overline{b_r}(a_{r+1}-a_r))}[/latex] ce terme devant être réel.

On remarque que  [latex]Re(\overline{b_r}(a_{r+1}-a_r))[/latex] est un produit scalaire dont la somme sur r doit s'annuler.

[latex]Im(\overline{b_r}(a_{r+1}-a_r))[/latex]  est un déterminant entre le vecteur qui va de l'origine à [latex]b_r[/latex] et  le vecteur qui va de [latex]a_r[/latex] à [latex]a_{r+1}[/latex].
Ce qui représente après sommation, je crois,  l'aire du polygone dont les sommets sont les centres et points de contacts. Qui vaut l'aire du pentagone formé des points de contacts plus la moitié des sinus des [latex]\theta_r[/latex].

Pour avoir l'aire recherchée il faut encore retrancher la somme des [latex]\theta_r[/latex].

Je remarque que sur un dessin cela doit se voir sans cette formule.
Tout ce travail pour rien.


Il y a certainement des erreurs mais bon quelques idées.smile


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #11 - 21-06-2011 22:32:30

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Mathématiques pour lles nuls 9

Bon cette énigme n'aura pas eu grand succès mais peut être qu'un jour les recherches de certains s'il y en a aboutirons à quelque chose de concret big_smile

Merci wink


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