Enigmes

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 #1 - 27-04-2011 11:31:20

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

Dix chifres

Il existe des nombres dont l'écriture en base dix contient exactement une fois chaque chiffre de la base dix.
Le plus petit est 1023456789, le deuxième est  1023456798, etc.

Quel est le millionième ?



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 #2 - 27-04-2011 12:09:07

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,468E+3

dix chifgres

il y a 362880 nombres avec le 1 en premier
Autant avec le 2 en premier : 725760

Ce sera donc un 3

Il y a 40320 possibilités avec 30...  :  766080
31... : 806400
32... : 846720
Oups : il manque 887040
34... : 927360
35... : 967680

de 5040 en 5040 :
360 : 972720
361 : 977760
362 : 982800
364 : 987840
365 : 992880
367 : 997920

de 720 en 720 :
3680 : 998640
3681 : 999360

de 120 en  120 :
36820 : 999480
36821 : 999600
36824 : 999720
36825 : 999840
36827 : 999960

de 24 en 24 :
368290 : 999984

de 6 en 6 :
3682910 : 999990
3682914 : 999996

de3 en 3 : 36829150 : 999999

le suivant est donc :  3682915407 J'espère que je ne me suis pas trompé, j'ai la flemme de recommencer.Si ! je me suis trompé !

Après l'avoir refait, je tombe sur : 3782915406

 #3 - 27-04-2011 12:17:00

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

Dix chiffrees

3782915460 smile

Il y a en tout 9.9! nombres a 10 chiffres, en ne comptant pas évidemment ceux commençant par 0.

9.9!=3 265 920, on dépasse donc le million
9!=362 880.
1 000 000 = 2.9! + 274 240
Le quotient 2 signifie que le millionième nombre commence par 3, car on a épuisé les permutations des 9 chiffres restants en placent le 1 puis le 2 en premier.
Le premier chiffre est donc 3.

On va utiliser le même processus de division euclidienne pour chaque chiffre.
Si le reste est nul à un moment, alors le quotient donne l'ordre du prochain chiffre parmi ceux qui restent, puis les chiffres suivants sont classés dans l'ordre inverse.
Si le reste est non nul, le chiffre suivant est le quotient +1, et on recommence avec le reste et la factorielle inférieure.

On recommence donc avec 274 240 et 8! :
274 240 = 6.8! + 32 320
Le second chiffre est donc le 7ème dans l'ordre de ceux encore inutilisés : 7.

32 320 = 6.7! + 2 080
Le chiffre suivant est donc le 7ème dans l'ordre de ceux encore inutilisés : 8

2 080 = 2.6! + 640
Le chiffre suivant est donc le 3ème dans l'ordre de ceux encore inutilisés : 2

640 = 5. 5! + 40
Le chiffre suivant est donc le 5ème dans l'ordre de ceux encore inutilisés : 9

40 = 1.4! + 16
Le chiffre suivant est donc le 2ème dans l'ordre de ceux encore inutilisés : 1

16 = 2.3! + 4
Le chiffre suivant est donc le 3ème dans l'ordre de ceux encore inutilisés : 5

4 = 2.2! + 0
Le chiffre suivant est donc le 2ème dans l'ordre de ceux encore inutilisés : 4

Et les deux derniers sont rangés du plus grand au plus petit : 6 puis 0.

 #4 - 27-04-2011 13:09:45

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Dix chfifres

Enigme intéressante. J'ai déjà du en faire dans le passé parce que ça me rappelle quelque chose mais ça fait plaisir d'y replonger.

On part du plus petit:
1023456789
Sachant que plus on augmente les chiffres de gauche, plus le nombre augmente, pour passer au suivant, on permute les 2 chiffres les plus à droite, puis on joue sur les 3 chiffres les plus à droite, ...

Les 6 premiers nombres sont obtenus par les permutations des 3 derniers chiffres dans l'ordre croissant. 6 puisque 3!=6.
Les 24=4! premiers nombres sont obtenus par permutation des 4 chiffres de droite.
Ainsi, les 362880=9! premiers nombres sont obtenus par permutation des 9 chiffres de droite. Ensuite on passe aux nombres commençant par 2.
Les 362880 suivants commencent par 2 avec les permutations des 9 derniers chiffres, ce qui donne les 725760 premiers nombres.
On voit que 362880*3 est >1000000 donc le nombre cherché est dans la tranche suivante de permutation des 9 derniers chiffres et donc commence par 3. C'est le 1000000-725760=274240ème nombre respectant la même consigne que celui qu'on cherche sauf qu'il s'écrit avec 9 chiffres sans le 3 déja pris.

Le premier nombre s'obtient sans aucune opération de permutation à partir de 1023456789. On cherche donc celui qu'on obtient après 999999 opérations.
On décompose 999999 en factorielles décroissantes en prenant le plus grand coefficient possible à chaque fois (condition pour que le nombre obtenu soit le plus petit possible). A noter: cela donne une autre forme de décomposition des entiers que la décomposition en facteurs premier. A-t-elle les mêmes propriétés (unicité, ...)?

999999=2.9!+6.8!+6.7!+2.6!+5.5!+1.4!+2.3!+1.2!+1.1!
Le premier coefficient est 2. Le premier chiffre est donc le 3ème disponible pour ce premier chiffre. Le 0 n'étant pas possible pour le premier chiffre, c'est donc le 3 (résultat qu'on retrouve).
Ensuite on écrit les chiffres disponibles:
012456789
Et on avance coefficient par coefficient: coefficient de 8!: 6 on prend donc le 7ème chiffre disponible: 7. On écrit le 7: 37 et on barre le 7 de la liste des chiffres disponibles et on continue:
Coefficient de 7!: 6, 7ème chiffre disponible: 8 => 378
Coefficient de 6!: 2, 3ème chiffre disponible: 2 => 3782
...

Et on obtient: 3782915460 qui est validé par la case réponse.

Merci pour cette énigme.

 #5 - 27-04-2011 13:10:34

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Dix chiffre

je trouve 9530768124 qui ne valide pas....mais c'est normal puisque mes nombres ne sont pas dans l'ordre...
maintenant je trouve 3782915460


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #6 - 27-04-2011 13:35:16

Bamby2
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 152

Dix ciffres

pour chaque chiffre il y a n! possibilité, donc il suffit de compte combien de fois on peut avoir de n! dans ce qui nous reste :
1 000 000 = 2*9! + 274240 donc le 1er nombre est 3 ( 1+ 2 decalages)
274240 = 6 *8! +32320 donc le 2eme chiffre est 7 (0+ 6 decalages + le 3 deja pris)
en procedant de meme on obtient :
3782915460 !

 #7 - 27-04-2011 16:51:59

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Dix chifffres

3782915460
Ce problème ressemble un peu au problème du mois MP103 de mars 2011
de la Centrale des Maths, basé sur 26 lettre au lieu de 10 chiffres.
Ici, il fallait penser à retirer les 9! nombres qui auraient commencé par zéro.

EDIT 26 lettres

 #8 - 29-04-2011 00:01:55

Kikuchi
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 46
Messages : 91

dix choffres

En voilà un problème qu'il est marrant!

D'abord et avant tout, réécrivons un million en facteurs de factorielles:
1 000 000 = 2x9! + 6x8! + 6x7! + 2x6! + 5x5! + 1x4! + 2x3! + 2x2!

Il y aura 9! façons d'écrire un tel nombre commençant par 1 et 9! autres pour les nombres commençant par 2.
Il nous en faut plus que 2x9! mais moins que 3x9!. Donc notre nombre commencera par un 3.
3012456789 étant notre (2x9!+1)ième nombre.

Avec les nombres restants étant 0,1,2,4,5,6,7,8 et 9, et en suivant la même logique que précédemment, le deuxième chiffre du nombre sera le septième de cette liste (6+1 car on a 6x8!)
3701245689 étant notre (2x9!+6x8!+1)ième nombre.

Nous restent maintenant 0,1,2,4,5,6,8,9 et 0. On prends de nouveau le septième (6+1 car on a 6x7!) et ainsi de suite jusqu'à obtenir:
3782915604 qui est... notre 1 000 001ième nombre.

La réponse est donc 3782915460.


There's no scientific consensus that life is important

 #9 - 29-04-2011 00:12:30

FRiZMOUT
Verbicruciste binairien
Enigmes résolues : 49
Messages : 2209

Dix chiffress

3782915460.

 #10 - 29-04-2011 04:57:41

thedoums
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 223

Dix chiffress

42?

 #11 - 05-05-2011 08:21:35

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

Dix chffres

Bravo a tous, beaucoup de bonnes réponses et bien détaillées.
Rien à ajouter ^^.

 

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