Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 16-09-2010 11:34:41

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

oRtation de chiffres

Bonjour,

Toujours de l'arithmétique smile
Dans tout le problème on considère la base 10 et l'écriture des nombres dans cette base.

On cherche le plus petit nombre entier positif de 3 chiffres ou plus tel que si l'on déplace ses 2 derniers chiffres en première position (sans changer leur ordre), le nouveau nombre obtenu soit le double de l'ancien.

Voici un exemple de l'opération: 12345 -> 45123.
Ce nombre ne convient pas car 45123 n'est pas le double de 12345.

Je ne demande pas le nombre en question mais simplement le nombre de chiffres de ce nombre (que l'on peut trouver sans calculer le nombre lui-même).
Que ceux qui veulent me donner le nombre lui-même n'hésitent pas.

Bonne chance et amusez-vous bien.



Annonces sponsorisées :

 
Réponse :
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 16-09-2010 15:29:41

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

Rotation de cihffres

On pose X entier positif quelconque, Y entier positif ou nul inférieur à 100

Le nombre de base: 100X + Y, son double: 200X + 2Y
Le nombre permuté: Y*10^a + X, où a est le nombre de chiffre de X
199X = Y*(10^a-2)
Y est inférieur à 100, et 199 est premier: PGCD (199,Y) = 1
Donc 10^a-2 est un multiple de 199
10^a-2 s'écrit 99999.......998, on va poser la division à la main: si on peut descendre le 8 et avoir un résultat entier, super, on s'arrêtera là, sinon on descend un 9. Un tableur pour aller plus, vite, et on trouve a = 97 (autrement dit, (10^97-2) est un multiple de 199

Du coup, X fait 97 chiffres et le nombre total 99, même si la case réponse me jette et je ne sais pas pourquoi.

Pour la suite X = Y * (10^97-2)/199. Vu que X doit faire 97 chiffres, Y >= [latex]\frac{10^{96}}{\frac{(10^{97}-2)}{199}}[/latex] donc Y >= 20 et le plus petit nombre est:

100.502.512.562.814.070.351.758.793.969
849.246.231.155.778.894.472.361.809.045
226.130.653.266.331.658.291.457.286.432
160.804.020

dont le double vaut

201.005.025.125.628.140.703.517.587.939
698.492.462.311.557.788.944.723.618.090
452.261.306.532.663.316.582.914.572.864
321.608.040

 #3 - 16-09-2010 17:28:04

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Rotation de chifres

Très bonne réponse de scarta, qui en plus me fait remarquer que je me suis trompé dans la case réponse, ça devrait être bon maintenant.

Bonne chance aux autres.

 #4 - 16-09-2010 17:36:17

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Rotation de hiffres

Mais ca marche pas ouin^^
8712 est bien le quadruple de 2178!!!!!!!!!!!!!!!
2178*4=8712, son inversé parfait!!!!!


Un promath- actif dans un forum actif

 #5 - 16-09-2010 18:21:34

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Rotation de chifrfes

Le nombre de départ s'écrit :
D=100x+y avec y un entier de deux chiffres et x un entier de n chiffres .

Le nombre d'arrivée :
A=10^ny+x .

La condition demandée pour le double s'écrit :
A=2D soit (10^n-2)y=199x

Comme 199 est premier il faut que 10^n-2 soit divisible par 199 ce qui se réalise la première fois pour n=97 . Si on note R=(10^n-2)/199 alors la condition s'écrit x=Ry . On peut choisir y au hasard et alors x vaut Ry .

Vasimolo

PS : il faut quand même vérifier que le nombre de chiffres de x est bien n smile

 #6 - 18-09-2010 10:47:14

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Rotaion de chiffres

arghhhh... j'y arrive pas !

2*Nab=abN with a et b de 0 à 9, et N un entier
[TeX]200N+20a+2b=N+10^{x}(10a+b)[/TeX]
avec [latex]x=E(Log10(N))+1[/latex]
c'est a dire quand N est entre 10 et 99 => x=2
N entre 100 et 999 => x=3
[TeX]199N=(10a+b)(10^x-2)=(10a+b)(999...9998)[/TeX]
N étant entier, 999...9998 doit être divisible par 199 (qui est premier)

je note que le reste de la division de 998/199 est 3
que 9998=998*10+18 donc 9998=(k199+3)*10+18=10k199+48

Je multiplie donc le reste de la division de 998/199 par 10 et ajoute 18 et répète le processus jusqu’à obtenir un reste divisible par 199.

[latex]10^{97}-2[/latex] = 99...(96 fois le chiffre 9)...998 est divisible par 199

ce qui donne [latex]N =\frac{(10a+b)(10^{97}-2)}{199}[/latex]  et N contient 97 chiffres

Nab en contient donc 99 chiffres

La réponse est validée ! Eurêka quelle satisfaction car j'en ai bavé ! cool


The proof of the pudding is in the eating.

 #7 - 21-09-2010 19:47:43

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

rotayion de chiffres

Bonne réponse aussi de Vasimolo et de Franck.

Désolé pour le retard.
Je vais quand même donner ma solution car elle donne une astuce qui n'est pas dans les autres réponses.

Soit N un nombre de n chiffres, n > 2.
On écrit [latex]N=100a+b[/latex] avec [latex]b \in [0,99] \cap \mathbb{N} [/latex]et[latex] a \in \mathbb{N}[/latex]
Cherche donc à résoudre [latex]10^{n-2}b+a=2(100a+b)[/latex]
C'est à dire [latex](10^{n-2}-2)b=199a[/latex]

Voila où se situe l'astuce. On se ramène d'abord à une congruence à 1:
Soit (en multipliant par 100 de chaque coté): [latex]10^n \equiv 1 [199][/latex]
Comme 199 est premier [latex](\mathbb{Z}/198\mathbb{Z}^*, .)[/latex] est un groupe multiplicatif (on a même plus: [latex] (\mathbb{Z}/198\mathbb{Z}^*, +,.) [/latex]est un corps fini mais on n'a pas besoin d'une condition si forte).
Or dans un groupe fini, l'ordre d'un élément divise le cardinal du groupe.
Donc n divise 198. Ce qui réduit considérablement la recherche.
Les diviseurs de 198 sont au nombre de 12:
1, 2, 3, 6, 9, 11, 18, 22, 33, 66, 99, 198
[TeX]
10^1 \equiv 10 [199]
10^2 \equiv 100 [199]
10^3 \equiv 1000 \equiv 5 [199]
10^6 \equiv ({10^3})^2 \equiv 25 [199]
10^9 \equiv 10^6 \times 10^3 \equiv 125 [199]
10^{11} \equiv 10^9 \times 10^2 \equiv 162 [199]
10^{18} \equiv ({10^9})^2 \equiv 103 [199]
10^{22} \equiv (10^{11})^2 \equiv 175 [199]
10^{33} \equiv 10^{22} \times 10^{11} \equiv 92 [199]
10^{66} \equiv (10^{33})^2 \equiv 106 [199]
10^{99} \equiv 10^{66} \times 10^{33} \equiv 1 [199]
[/TeX]
Donc n=99, N a 99 chiffres.
Comme [latex](10^{n-2}-2)b=199a[/latex], pour trouver le plus petit entier il suffit de prendre b=1 et n=99, on calcule a comme l'on fait ceux qui ont répondu (le plus simple est de poser la division) et le nombre N.

Comme vous l'avez compris, j'aime bien l'arithmétique.
Merci d'avoir joué.

 #8 - 21-09-2010 20:13:52

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Rotation d echiffres

Pourquoi n'ai-je pas eu l'idée de poser l'équation ? Je suis bête quand je veux...


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #9 - 21-09-2010 23:34:15

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Rotation de chifres

Mais non Mathias, mais non smile

 #10 - 22-09-2010 09:24:39

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Rotation d chiffres

Mais si, Rivas, mais si.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #11 - 22-09-2010 12:03:31

emmaenne
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3057
Lieu: Au sud du Nord

Rotation de chiffress

Ce n'est pas "quand tu veux" Mathias lol


Dans le cadre de la quinzaine du beau langage, ne disez pas disez, disez dites. (Julos Beaucarne)

 #12 - 22-09-2010 12:33:36

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Rotation d echiffres

Bon, si tu insistes smile

 #13 - 22-09-2010 13:49:53

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

rptation de chiffres

emmaenne a écrit:

Ce n'est pas "quand tu veux" Mathias lol

Va crever, toi lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #14 - 01-01-2011 18:21:53

maroua
Visiteur

rotation de chiffees

Bonjour,
je cher che la solution pour :
MOT=3 *TOM+1
Il faut trouver les trois chiffre qui résoudent cette équation
TOm est bien évidement l'inverse de MOT
Merci d'avance

 #15 - 01-01-2011 18:33:01

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

royation de chiffres

"résoudent" ? Ah ouais, quand même...

Allez, je te file un coup de main : http://lmgtfy.com/?q=solveur+cryptarithme&l=1


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #16 - 01-01-2011 18:45:06

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3311

Rotatoin de chiffres

maroua a écrit:

Bonjour,
je cher che la solution pour :
MOT=3 *TOM+1
Il faut trouver les trois chiffre qui résoudent cette équation
TOm est bien évidement l'inverse de MOT
Merci d'avance

J'ai aussi décidé de faire un peu plus de grammaire. Ne dites pas "en résoudent", dites plutôt : "en résolvant". tongue

NB : Mathias lol


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : 

Dans une course, vous doublez le 31ème, en quelle position êtes-vous ?

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete