Je me suis replongé dans la résolution de cette énigme, et je n'arrive toujours pas à trouver deux heures autres que midi ...
On a donc une configuration de la pendule qui donne deux heures différentes :
[TeX]h_1 m_1 s_1
h_2 m_2 s_2[/TeX]
les heures, minutes, secondes.
Le secteur angulaire entre la verticale (le 12) et la "grande" aiguille, représente une fraction du cadran entier égale à :
[TeX]H_1=\frac{h_1}{12}+\frac{m_1}{12.60}+\frac{s_1}{12.60.60}
H_2=\frac{h_2}{12}+\frac{m_2}{12.60}+\frac{s_2}{12.60.60}[/TeX]
Pour la petite aiguille, ce rapport vaut :
[TeX]M_1=\frac{m_1}{60}+\frac{s_1}{60.60}
M_2=\frac{m_2}{60}+\frac{s_2}{60.60}[/TeX]
Les conditions de l'énoncé nous imposent que [latex]H_1=M_2[/latex] et [latex]H_2=M_1[/latex]
Après quelques calculs, on arrive à la relation suivante :
[TeX]
143(s_2+60m_2)=3600(12h_1+h_2)[/TeX]
Si [latex]h_1[/latex] et [latex]h_2[/latex] ne sont pas tous les deux nuls, ils doivent être égaux à 11, car 143 ne divise pas 3600. Mais alors on ne peut pas avoir [latex]s_2+60m_2=3600[/latex] !
Donc seule solution : [latex]h_1=h_2=s_2=m_2=0[/latex]. On en déduit [latex]m_1=s_1=0[/latex].
Donc la seule configuration est les deux aiguilles sur le 12, avec une différence nulle entre les deux heures !
Soit je n'ai rien compris à l'énoncé, soit l'horloge n'est pas une horloge "normale" dont les aiguilles tournent progressivement à chaque seconde.