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 #1 - 05-05-2011 20:10:56

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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Lieu: Annecy

J'ai pass le temps...

Monsieur Pendule a décidé que les aiguilles de l'horloge seront désormais de même longueur.

Quelle erreur maximale pourrions-nous commettre en confondant les heures et les minutes ?



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C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
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 #2 - 06-05-2011 02:55:18

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Paris

J'ai pas le ttemps...

Si j'ai bien compris le problème, quand il est 5h40, la grande aiguille indique le 5 et la petite le 8 ?
Parce que si je considère que la grande aiguille avance comme en pratique proportionnellement aux minutes pendant chaque heure, la seule configuration possible où on peut confondre 2 heures potentielles est ... midi !

 #3 - 07-05-2011 09:41:21

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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Lieu: Annecy

J'ai pas le temps..

On ne peut se tromper de plus de 6 h, ça c'est sûr... mais de combien exactement ?


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #4 - 07-05-2011 09:56:27

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
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J'aii pas le temps...

6h30 lol


http://enigmusique.blogspot.com/

 #5 - 07-05-2011 10:06:34

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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J'ai as le temps...

Ce serait plutôt de l'autre côté ! wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #6 - 07-05-2011 10:18:12

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
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J'ai pass le temps...

certes mais avec un jour de différence, non ?
Dans le même jour ok pour 5h30 smile


http://enigmusique.blogspot.com/

 #7 - 07-05-2011 10:20:52

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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J'ai pas le tems...

Je ne te suis pas, désolé. Tu es trop abscons pour moi, Kosmo !
Tu balances une réponse comme ça, il faut être plus précis, que diable !


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #8 - 07-05-2011 13:30:53

NickoGecko
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j'ai pas le tzmps...

Bonjour,


Pour une heure HH:MM donnée, déterminons les angles formés par les aiguilles, en prenant la position "midi" comme origine et en tournant .... dans le sens des aiguilles d'une montre ... :

- L'aiguille des minutes forme un angle (en degrés) correspondant à 6 fois les minutes (90° au quart, 180° à la demie ....)

- L'aiguille des heures forme alors un angle égal à 30 fois l'heure + 1/2 des minutes. (exemple 01:30 -> 45°)

On déduit alors l'heure "réciproque" H'H':M'M' à partir de ces positions angulaires.
Or, en raisonnant ainsi, il conviendrait d'éliminer les positions "inexistantes"

J'en suis à ce filtrage pour le moment ...
Une autre question est de voir si l'on part sur du modulo 12 ou 24 ...

A suivre ....


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #9 - 08-05-2011 01:27:14

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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k'ai pas le temps...

Je me suis replongé dans la résolution de cette énigme, et je n'arrive toujours pas à trouver deux heures autres que midi ...

On a donc une configuration de la pendule qui donne deux heures différentes :
[TeX]h_1 m_1 s_1
h_2 m_2 s_2[/TeX]
les heures, minutes, secondes.

Le secteur angulaire entre la verticale (le 12) et la "grande" aiguille, représente une fraction du cadran entier égale à :
[TeX]H_1=\frac{h_1}{12}+\frac{m_1}{12.60}+\frac{s_1}{12.60.60}
H_2=\frac{h_2}{12}+\frac{m_2}{12.60}+\frac{s_2}{12.60.60}[/TeX]
Pour la petite aiguille, ce rapport vaut :
[TeX]M_1=\frac{m_1}{60}+\frac{s_1}{60.60}
M_2=\frac{m_2}{60}+\frac{s_2}{60.60}[/TeX]
Les conditions de l'énoncé nous imposent que [latex]H_1=M_2[/latex] et [latex]H_2=M_1[/latex]

Après quelques calculs, on arrive à la relation suivante :
[TeX]
143(s_2+60m_2)=3600(12h_1+h_2)[/TeX]
Si [latex]h_1[/latex] et [latex]h_2[/latex] ne sont pas tous les deux nuls, ils doivent être égaux à 11, car 143 ne divise pas 3600. Mais alors on ne peut pas avoir [latex]s_2+60m_2=3600[/latex] !

Donc seule solution : [latex]h_1=h_2=s_2=m_2=0[/latex]. On en déduit [latex]m_1=s_1=0[/latex].

Donc la seule configuration est les deux aiguilles sur le 12, avec une différence nulle entre les deux heures !

Soit je n'ai rien compris à l'énoncé, soit l'horloge n'est pas une horloge "normale" dont les aiguilles tournent progressivement à chaque seconde.

 #10 - 08-05-2011 10:40:51

SaintPierre
Banni
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J'ai pas le temp.s..

C'est plus simple, L00ping ! Il faut trouver une marge d'erreur. Facilement, on peut s'approcher de la bonne réponse. Prenons 12h30 et 6h02 et des poussières... Un petit calcul te permet de trouver l'erreur maximale.


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #11 - 08-05-2011 10:46:00

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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J'ai pas lle temps...

Mais à 6h02m30s, la grande aiguille n'est pas alignée sur le 6 exactement, elle a un peu avancé.
On ne peut donc pas confondre ces heures, pas moi en tout cas big_smile

 #12 - 08-05-2011 10:53:27

SaintPierre
Banni
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J'ai pas e temps...

L'énoncé est pourtant clair... roll
On ne peut pas distinguer les 2 aiguilles, elles ont même longueur. Tu ne sais donc pas laquelle est celle des heures et laquelle est celle des minutes !


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #13 - 08-05-2011 11:19:30

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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J'ai pas le tempps...

C'est justement ce que je dis : à 6h02 et quelques si on échange petite et grande aiguille, on ne retombe pas sur une heure valide ...

 #14 - 08-05-2011 11:31:01

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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J'ai pas le temps....

Tu regardes l'horloge de Mr Pendule. Sachant que les deux aiguilles ont même longueur, tu ne peux deviner l'heure avec exactitude. De combien d'heures minutes secondes au maximum te tromperas-tu ?

Je ne sais pas si c'est plus clair. roll


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #15 - 08-05-2011 11:34:21

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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J'ai pas le ttemps...

Avec ma démo je peux s'il n'est pas midi, à condition de pouvoir voir une différence d'angle suffisamment petite à l'oeil nu.

 #16 - 08-05-2011 15:19:51

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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J'ai pas le tmeps...

Ok, j'ai compris notre quiproquo : les secondes ne sont pas nécessairement entières !

Je me replongerai dedans plus tard wink

 #17 - 08-05-2011 17:00:32

halloduda
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Lieu: Ardèche

j'au pas le temps...

L'erreur maximale est obtenue quand les aiguilles sont à 180° l'une de l'autre.
Cette situation se rencontre 11 fois par période de 12 heures.
L'écart entre deux de ces fois est 12/11 heure=1 heure 5 minutes 27 secondes.

A mi-distance entre ces instants, les aiguilles sont en opposition, cela se produit aux instants [latex]\frac{12n+6}{11}[/latex] heures.
Cela correspond à 11 positions sur le cadran, qui se trouve ainsi "marqué" par 11x12=132 "points".

La première opposition se produit à 6/11 heure = 0h32mn44s,
on pourrait la confondre avec 67/11 h = 6h05mn27s.

L'erreur maximale est 61/11 heure = 5h32mn43s.

En fait, l'angle polaire de la paire d'aiguilles opposées ne sera jamais le même en direct et en inversé.
Il n'y aura donc jamais confusion.

 #18 - 08-05-2011 21:12:09

SaintPierre
Banni
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Lieu: Annecy

j'ai pas lz temps...

En guise de correction, la solution de halloduda, bien sûr...
La mienne amène à un résultat légèrement différent (copié/collé du MP envoyé à L00ping):

Je raisonne dans le cadre où l'on peut vraiment confondre les aiguilles.
Exemple : si je vois une aiguille sur le 12 et l'autre sur le 6, j'en déduis
qu'il est 6h et non 12h30.

Soit 2 heures que l'on peut confondre (h1;m1) et (h2;m2) (avec par exemple
h1>h2 et donc m1<m2)
J'écris les égalités d'angles
30h1+m1/2=6m2
30h2+m2/2=6m1
D'où l'on tire que
60(h1+h2)=11(m1+m2)
60(h1-h2)=13(m2-m1)
m1=60(h1+12h2)/143
m2=60(12h1+h2)/143
(h1;m1)-(h2;m2) = (h1-h2-1;60+m1-m2)
h1-h2-1=5 (puisqu'on ne peut se tromper de plus de 6h)
m2-m1=360/13
D'où un écart maximum de 5h32m18s
Par exemple:
h1=7, h2=1
m1=60*19/143=7m58s, m2=60*85/143=35m40s


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #19 - 09-05-2011 01:13:30

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Paris

J'ai pas l temps...

Effectivement je n'étais pas loin, il suffisait de considérer que le temps n'était pas discontinu, et qu'on ne comptait pas en secondes entières.

Je ne pense pas que la solution de halloduda soit optimale, car les aiguilles ne sont pas alignées dans le cas optimal.
On peut le voir simplement avec le cas h1=6, h2=0

Forme générale :
[TeX]h_2 \in [0;5]
h_1=h_2+6
m_1=\frac{60(13h_2+6)}{143}
m_2=\frac{60(13h_2+72)}{143}[/TeX]
Avec h1=6 et h2=0, on arrive aux heures :
06h02m31s et 00h30m12s

Ceci explique sans doute la différence d'une petite trentaine de secondes hmm

 #20 - 09-05-2011 14:47:28

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

J'ai pas le tepms...

En fait, la démo de halloduda n'est pas bonne.

Je préfère celle de SaintPierre qui ressemble déjà nettement plus à la mienne. ^^

Joli problème.
J'ai bien cru qu'il n'existait pas de position pour lesquelles il existait 2 heures possibles.

 

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