$o$ est un symbole qui obéi au lois de l'algèbre par exemple $o^3=o^2o=0$. C'est juste de simple calcul algébrique, est-ce trop simple? Vous retrouverez toutes les formules classiques $(fg)'=...$  ou les découvrirez sans difficulté!

Il ne faut pas se servir des formules connues Shadock!
Pour la somme il faut partir de $(f+g)(x+oy)=f(x+oy)+g(x+oy)$ or $f(x+oy)=f(x)+oyf'(x)$...

Shadock: pour la multiplication par un réel il faut distinguer les cas k=0 et se rendre compte que dans le cas contraire  k*y décrit tous les réels (il n'y a pas la relation que tu supposes).
Pour la composé il faut commencer par calculer $f(g(x+oy))$ en sachant que $g(x+oy)=...$ et penser que dans la définition c'est pour tout y réel donc tout y multiplié par quelque chose convient.
Et le produit ? C'est pourtant facile et instructif.

Pas de succès pour cette énigme....Vos commentaires sont les bienvenus.

Un petit exemple: le produit de deux fonctions dérivables en x:
on part de l'éxistence de  $f'(x),g'(x)$ tels que
$$f(x+oy)=f(x)+oyf'(x) \ g(x+oy)=g(x)+oyg'(x) [/latex] on fait le produit membre à membre et on arrive à [latex](fg)(x+oy) \\ =f(x+oy)g(x+oy)\\ = (f(x)+oyf'(x))(g(x)+oyg'(x)) \\ =f(x)g(x)+oy(f'(x)g(x)+f(x)g'(x))$$
car $o^2=0$

d'où$fg$ dérivable en $x$ et $(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$.



Un peu de rigueur entraîne aux raisonnements corrects.
Rien "d'intuitif", je l’accorde.


Un grand merci à Shadock!

Bien Cédric mais je pensais à l'inverse d'une fonction :1/f mais bravo! Tu nous fais ce dernier calcul (j'accepte la dérivée de x car la définition permet de l'obtenir mais pour 1/x un petit travail). Merci d'avance.

Si ca peut faire plaisir
$$f(x)=\frac{1}{x}$$ $$f(x+oy/2)-f(x-oy/2)=oyf^'(x)=\frac{1}{x+oy/2}-\frac{1}{x-oy/2}$$
d'ou :
$$oyf^'(x)=-\frac{oy}{x^2-o^2y^2/4}$$
$$f^'(x)=-\frac{1}{x^2}[/latex] car [latex]o^2=0$$

Je crains qu'il y ait un problème avec cette définition. En effet, on peut montrer que o=0. Ainsi, la définition se traduit par :
Une fonction $f$ est dérivable en $x$ s'il existe un réel $f'(x)$ tel que pour tout réel $y$ on a :
$$f(x) = f(x)[/latex] !!! Ce qui est tautologique et ne permet pas de définir une notion non triviale de la dérivabilité. Montrons que o=0 : par l'absurde , supposons que [latex]o\neq0$$
D'abord, il est évident que pour cette définition, la fonction  identité f(x)=x est dérivable et que notre hypothèse implique que $f'(x)=1$ quel que soit le réel x.


Ensuite, on a les équivalences suivantes :
$$f(x+oy) = f(x) + oyf'(x) \Longleftrightarrow of(x+oy) = of(x) + o^2yf'(x)$$
$$\Longleftrightarrow of(x+oy) = of(x)$$
$$\Longleftrightarrow o(f(x+oy)-f(x)) =0$$
D'après l'hypothèse, c'est équivalent à dire que :
$$f(x+oy) - f(x) = 0$$
ou encore que $f(x+oy)=f(x)$

On vient de montrer que dans l'hypothèse ou $o\neq0$ la définition peut s'énoncer de la façon suivante  :
$f$ dérivable $\Longleftrightarrow f(x+oy)=f(x)$ pour tout y.
                  $\Longleftrightarrow$ il existe un réel $f'(x)$ tel que $oyf'(x)=0$ pour tout y.   
                  $\Longleftrightarrow f'(x)=0$ pour tout y.   

Absurde !!! (relire le cas où $f=Id$).


Bref, formellement cette définition qui peut sembler élégante, n'a pas de consistance mathématique, car elle contient une contradiction.

"c'est pas faux"

Merci à toi aussi

©

!!
On travaillait dans R[X]/(X²) !!!
Mon discours n'avait pour but que de montrer que l'on ne pouvait pas travailler dans le plus petit corps (donc intègre) contenant R et un symbole magique o vérifiant o²=0.