Alors,
[TeX]\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}
= \frac{ab+bc+ca}{a+b}+\frac{ab+bc+ca}{b+c}+\frac{ab+bc+ca}{c+a}
=\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}+\frac{c(a+b)}{a+b}+\frac{a(b+c)}{b+c}+\frac{b(a+c)}{a+c}
= \frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a} +a+b+c[/TeX]
Il reste donc à montrer que[latex] a+b+c \ge \sqrt 3[/latex]
[TeX]\forall (x,y)\in \R^2
(x-y)^2 \ge 0
x^2-2xy+y^2 \ge 0
x^2+y^2 \ge 2xy
\frac{x^2+y^2}{2} \ge xy[/TeX][TeX]a^2+b^2+c^2
=\frac{2a^2+2b^2+2c^2}{2}
=\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{b^2+c^2}{2}+\frac{c^2+a^2}{2}
\ge ab+bc+ca
\ge 1[/TeX][TeX]a^2+b^2+c^2+2 \ge 3
a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) \ge 3
(a+b+c)^2 \ge 3
a+b+c \ge \sqrt 3[/TeX]
d'où l’inégalité recherché

Pfff, ça m'a donné du fil à retordre ! (et désolé mais c'est un peu long).

ab+bc+ac=1  (eq1)

Donc on ne peut pas avoir 2 des 3 nombres a, b et c nuls en même temps. (sinon ab+bc+ac = 0 + 0 + 0)

On a donc tous les dénominateurs de l'énoncé non nuls.

En "passant" tous les quotients du membre de droite de l'équation à démontrer vers la gauche, et en conservant les dénominateurs, on obtient l'inéquation équivalente :

(1-ab)/(a+b) + (1-ac)/(a+c) + (1-bc)/(b+c) >= racine(3)   (eq2)

Or, 1-ab = bc+ac = c(a+b),
1-ac = ab + bc = b(a+c), et
1-bc = ab + ac = a(b+c)

En remplaçant dans (eq2) et en simplifiant par les dénominateurs (qui sont bien non nuls), on obtient : c + b + a >= racine(3)   (eq3)

Tous les termes sont positifs, on obtient donc à nouveau l'inéquation équivalente en élevant au carré :

(a+b+c)² >= 3, avec :

(a+b+c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
              = a² + b² + c² + 2(ab+ac+bc)
              = a² + b² + c² + 2

Donc : a² + b² + c² + 2 >= 3, c'est à dire :

a² + b² + c² >= 1 (eq4)

L'équation 4 est donc équivalente à l'équation 1, il suffit de la démontrer pour démontrer celle de l'énoncé.



Maintenant, je calcule (a-b)² + (a-c)² + (b-c)² >= 0 (car somme de carrés), et je développe :

a²-2ab+b²+a²-2ac+c²+b²-2bc+c²>=0
2a²+2b²+2c²>=2ab+2ac+2bc
a²+b²+c²>=ab+ac+bc

a²+b²+c²>=1 CQFD !

Déjà que des bonnes réponses, avec des démonstrations différentes ples unes des autres, même avec le produit scalaire

Continuez bien, et si vous avez besoin MP dispo

Ah bah oui c'était tout c** !

Spoiler : [Afficher le message] Vous êtes des grands malades