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 #1 - 04-04-2011 14:34:19

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 805
Lieu: Seahaven island

Feeu à volonté

Bonjour, celle ci n'est pas de moi j'espère donc ne pas avoir loupé le doublon éventuel. smile

Un mobile se déplace sur les entiers relatifs à vitesse constante inconnue (il fait des bonds de tailles égales à chaque pas de temps, ca vitesse peut très bien être -10^5, 0 ou 2). Il est parti d'une position initiale elle aussi inconnue. Vous avez le droit à chaque pas de temps de lancer un obus sur un entier de votre choix, cet obus ne détruira le mobile que ci celui ci se trouve sur l'entier en question précisément à ce pas de temps, pas avant, pas après.

Seriez vous capable de me trouver une stratégie pour être sur de finir par flinguer le mobile?

PS:Je n'aime pas les mobiles.



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 #2 - 04-04-2011 14:49:23

clementmarmet
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1329
Lieu: I'm in spaaaace!!

fei à volonté

il a toujours la même vitesse, mais a t-il toujours le même sens?
PS: saloperie de mobile lol


eki eki eki pa tang!!

 #3 - 04-04-2011 14:56:57

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 805
Lieu: Seahaven island

feu à volinté

On me demande:
"il a toujours la même vitesse, mais a t-il toujours le même sens?"
La réponse est oui, en fait la vitesse est donnée algébriquement, elle contient le sens, par exemple une vitesse de -5 veut dire qu'à chaque pas de temps il recule vers -inf.

 #4 - 04-04-2011 17:20:54

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

Fe uà volonté

La trajectoire du mobile est définie par un couple (p,v) d'entiers relatifs ou p est la position initiale et v la vitesse algébrique.
L'ensemble des trajectoires est donc dénombrable.
A chaque temps on fait correspondre une unique trajectoire de façon à couvrir toutes les trajectoires. A chaque temps on lance un obus sur l'entier où devrait se trouver l'obus si il suit la trajectoire associée.
Pauvre mobile quand même.

 #5 - 04-04-2011 17:42:36

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Feu à volnoté

La trajectoire du mobile est donnée par (P,V) € Z x Z, où P est la position au temps 0 et V le pas.

Il existe une bijection de N vers Z x Z, donc pour chaque trajectoire donnée (P,V), il existe un temps n que l'on peut associer à (P,V), en tirant sur le point de coordonnée P+nV, on dézinguera le mobile.

 #6 - 04-04-2011 18:32:09

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

Feu à ovlonté

Non. sad

Si le mobile est parti d'une position réelle qui n'est pas rationnelle et que son pas est un rationnel, il ne sautera jamais sur un rationnel (donc un entier).
Il en est de même si il est partie d'une valeur rationnelle et que son pas est un réel qui n'est pas rationnel.
Il ne peut passer sur un entier que si il est parti d'un rationnel et que son pas est rationnel.

 #7 - 04-04-2011 19:28:07

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Feu à voolnté

S'il part d'un entier et se déplace d'un irrationnel a chaque pas de temps, tu es foutu. Il n'y a donc pas de stratégie universelle, a mon sens.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #8 - 04-04-2011 20:31:54

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 805
Lieu: Seahaven island

feu à volinté

Visiblement certains ont vu une incertitude dans l'énoncé?
Donc pour eux je précise:
"se déplace sur les entiers relatifs" ca veut dire qu'il se trouve initialement sur un entier relatif et que ses bonds sont des entiers relatifs. Pour tout le reste revoir l'énoncé de départ.

Bravo aux autres.

 #9 - 04-04-2011 21:09:53

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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fzu à volonté

Si la position initiale [latex]u_0[/latex] est connue, on peut facilement trouver la raison q de la suite arithmétique du mobile ([latex]u_n=u_0+q.n[/latex])
Il suffit à chaque instant n de viser l'entier suivant :
[TeX]v_n=u_0+(-1)^{n+1}n\lfloor{\frac{n+1}2}\rfloor[/TeX]
[TeX]v_0=u_0
v_1=u_0+1
v_2=u_0-2
v_3=u_0+6
v_4=u_0-8
v_5=u_0+15[/TeX]
...
Ainsi au bout de n=2q-1 pas de temps (ou -2q si q < 0), on aura
[TeX]v_n=u_n[/TeX]
Mais si la position initiale est inconnue, je ne vois pas trop comment on peut y arriver hmm

 #10 - 05-04-2011 09:00:03

clementmarmet
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
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Lieu: I'm in spaaaace!!

Fe à volonté

si x la position de départ et y la taille de ses bonds (inconnus donc) il faut piloner en ay+x en espérant que le mobile n'y est pas encore passé tongue


eki eki eki pa tang!!

 #11 - 05-04-2011 14:06:39

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Fue à volonté

Le mouvement du mobile est déterminé par un couple [latex](p,v)[/latex] qui détermine une trajectoire telle que la position à l'instant [latex]k[/latex] est [latex] p+v.k[/latex].

L'ensemble de ces couples est précisément  [latex]\mathbb{Z}^2[/latex].

[latex]\mathbb{Z}^2[/latex] étant dénombrable, pour tout entier [latex]k[/latex] on peut poser [latex]c(k) =[/latex] le [latex]k[/latex]-ième couple de [latex]\mathbb{Z}^2[/latex], et on note [latex]c(k) = (p(k),v(k))[/latex].

Supposons que le mobile suive la trajectoire [latex](p,v)[/latex] et que [latex](p,v)[/latex] soit le [latex]k[/latex]-ième couple de[latex] \mathbb{Z}^2[/latex] (et donc [latex](p,v)=c(k)[/latex]), alors en tirant à l'instant [latex]k[/latex] sur l'entier relatif où serait le mobile si son mouvement était animé par le couple [latex]c(k)[/latex], c'est-à-dire en [latex]p(k)+v(k).k[/latex] on est sûr de le dézinguer...

Bref, il suffit à chaque instant [latex]k[/latex] de viser l'entier où serait le mobile s'il suivait la trajectoire [latex]c(k)[/latex], on dégomme le mobile s'il est sur la trajectoire numéro [latex]k[/latex]... et bing !

Ca marcherait aussi bien si la position de départ et/ou la vitesse étaient des rationnels (car [latex]\mathbb{Q}^2[/latex] est dénombrable aussi) mais pas si l'un des deux pouvait prendre ses valeurs dans [latex]\mathbb{R}[/latex].

Sympa comme problème illustrant la différence dénombrable/non dénombrable big_smile

 #12 - 05-04-2011 16:40:50

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 805
Lieu: Seahaven island

eFu à volonté

@Gasole:
Spoiler : [Afficher le message] Oui moi je trouve aussi que c'est sympa pour illustrer la différence entre une approche par construction et une approche explicite. Car autant par construction c'est relativement trivial, autant tenter d'expliciter ou on tire ca aurait toujours une tête atroce smile, c'est d'ailleurs ce qui nous gène lorsqu'on aborde le probleme un peu empiriquement.
Spoiler : [Afficher le message] On remarque aussi qu'avec l'accélération en plus et une vitesse variable, ou plus généralement considérant n'importe quelle famille dénombrable de trajectoires ca ne poserait aucun probleme. Donc comme tu dis frontiere du dénombrable/pas dénombrable.

 #13 - 05-04-2011 17:12:20

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

FFeu à volonté

Je range ton énigme dans mon p'tit carnet d'ailleurs ;-)

 #14 - 07-04-2011 13:37:13

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Paris

feu à vplonté

Ok j'ai compris l'idée !

[latex]Z^2[/latex] étant dénombrable, en comptant ses éléments de manière intelligente on arrivera forcément à tomber à un moment sur le couple [latex](u_0,q)[/latex] qui représente la position initiale du mobile et son pas.
Il suffit pour le n-ième couple (x,y) de [latex]Z^2[/latex] compté de viser l'entier [latex]x+ny[/latex].

Une manière de parcourir [latex]Z^2[/latex] serait par exemple de commencer en (0,0), et de faire un escargot autour de cette position : (0,1) , (1,-1) , (0,-1) , (-1,-1) , (-1,0) , (-1,1) , (0,1) , (1,1) , (2,1) , (2,0) , etc...

 #15 - 07-04-2011 14:21:24

Clydevil
Expert de Prise2Tete
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fzu à volonté

Voila voila, beaucoup de bonnes réponses ^^ je n'ai donc rien à ajouter.
La réponse la plus claire est sans doute celle de Gazole.
Bravo à tout le monde.

 

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