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 #1 - 13-07-2016 22:46:12

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 143

Origami pour le nuls

Un classique qui n'est pourtant pas sur le forum :

Combien de fois peut-on plier en 2 de façon unidirectionnelle une feuille de papier ?

(On se place dans les hypothèses d'Euler-Bernoulli et on néglige le phénomène de rupture)

http://libon.turbolapin.com/images/carnet_5.jpg



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 #2 - 13-07-2016 22:57:10

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,464E+3

prigami pour les nuls

La seule réponse possible, sans taille ni épaisseur est : dans l'absolu, aucune fois.

En pratique : plier 7 fois une feuille A4 en alternant longueur et largeur est déjà quasiment impossible.

 #3 - 14-07-2016 00:09:22

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 143

origami ppur les nuls

@gwen27 :

Certes, mais qu'en est-il pour une feuille bien réelle de longueur [latex]l > 0[/latex] et d'épaisseur [latex]e > 0[/latex] ?

La question ne porte pas sur la difficulté du pliage, mais sur ce qu'il est physiquement possible d'atteindre (à quelques approximations près) smile

 #4 - 14-07-2016 03:47:45

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
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origami pour les nils

 #5 - 14-07-2016 09:56:40

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
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Origami pour lles nuls

@Franky1103 :

Ok ! Une démonstration peut être ? lol

 #6 - 14-07-2016 10:55:58

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

origami pour lzs nuls

Un petit dessin avec trois plis :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-pliage1.png


La longueur est limite quand la partie grisée disparaît :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-pliage2.png

Ce qui donne sauf erreur :
[TeX]L=\displaystyle{\frac{\pi  e}{6}(2^n+4)(2^n-1)+(2-\pi)e}[/TeX]
Vasimolo

 #7 - 14-07-2016 12:04:07

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 143

origami piur les nuls

@Vasimolo :

Oui c'est presque ça : le dernier terme est de trop cependant !

 #8 - 14-07-2016 12:18:49

masab
Expert de Prise2Tete
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Messages : 679

origami pour led nuls

Tout dépend si plier en 2 signifie
[latex]\quad\bullet\ [/latex]plier pour faire 2 parties égales
[latex]\quad\bullet\ [/latex]ou plier pour faire  2 parties.
Le problème change suivant le point de vue !
Dans le second cas, on peut songer à plier en accordéon...
On a alors une croissance linéaire de l'épaisseur du pliage en fonction du nombre de plis ! Sinon la croissance est exponentielle et 7 pliages est déjà difficile à faire...

 #9 - 14-07-2016 12:27:59

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 143

Origmai pour les nuls

@masab :

Plier pour faire 2 parties égales bien sur smile

 #10 - 14-07-2016 16:51:41

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

origami poyr les nuls

L: longueur de la feuille
e: épaisseur de la feuille
n: nombre de pliages (dans le même sens)

L = pi.e.somme{[2^(k-1)+4^(k-1)]/2} pour k variant de 1 à n
ce qui donne: L=pi.e.(2^n+4).(2^n-1)/6

 #11 - 15-07-2016 11:19:34

Vasimolo
Le pâtissier
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Origami pour lees nuls

Je dois faire une erreur logique quelque part car je n'arrive pas à me débarrasser du terme correctif ( même si je n'avais pas proposé le bon ) :
[TeX]L=\displaystyle{\frac{\pi  e}{6}(2^n+4)(2^n-1)+\frac{(4^{n-1}+2)e}{3}}[/TeX]
Un exemple à quatre plis :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-n=4.png

Les lignes rouges représentent le papier qu'il faut ajouter pour autoriser ce nouveau pli . Il me semble bien qu'en plus des demi-cercles il faut ajouter quelques segments .

Un exercice très amusant en tout cas smile

Vasimolo

 #12 - 16-07-2016 08:35:06

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Origami pour les nus

Salut Sydre,
Pour une feuille assimilée à un rectangle de longueur L et d'épaisseur e, chaque pliage divise par 2 la longueur du rectangle et multiplie par 2 l'épaisseur. Pour n pliages, n est tel que :
L/2^n >= e * 2^n.
A l'égalité on a un carré, et on ne peut plus plier à ce moment là.

n vaut au mieux ln(L/e) / ln4

 #13 - 16-07-2016 15:13:42

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 143

Origami pour les nul

@Vasimolo :

Ok c'est tout bon smile

@nodgim :

Spoiler : [Afficher le message]
Dans la réalité plier en 2 ne reviens pas à couper en 2 puis empiler les 2 moitiés !

http://www.prise2tete.fr/upload/Sydre-Pli1.png

 #14 - 17-07-2016 00:12:29

Vasimolo
Le pâtissier
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Origami pour le nuls

Même si ça reste très théorique , il me semble qu'il manque un petit quelque chose à la longueur fournie dans le lien de Franky smile

Vasimolo

 #15 - 17-07-2016 16:13:25

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 143

origami pour les nums

En fait dans le lien donné par Franky1103 on considère que "plier en deux" se fait en alignant les centres des demi-cercles : il n'y a donc pas de terme correctif.

Mais au final je trouve qu'aligner les sommets des demi-cercles a plus de sens même si la formule qui en résulte est légèrement plus compliquée smile

Solution :

On considère une feuille de papier d'épaisseur [latex]e[/latex] et de longueur [latex]L[/latex]

Pli n°1 :

http://www.prise2tete.fr/upload/Sydre-aPli1.png

Pli n°2 :

http://www.prise2tete.fr/upload/Sydre-aPli2.png

Pli n°3 :

http://www.prise2tete.fr/upload/Sydre-aPli3.png

Il est possible de plier la feuille tant que l'opération ne fait pas disparaitre la zone quadrillée.

On désigne maintenant par perte de longueur la longueur de papier qui sort de la zone quadrillée lors du pliage.

1) Perte totale de longueur à gauche [latex]G[/latex] :

Pour le pli n°1 il n'y a pas de perte de longueur à gauche.

Pour le pli n°2 la perte de longueur à gauche vaut [latex]2e[/latex]

Pour le n-ième pli [latex]2^{n-1}[/latex] segments perdent une longueur [latex]2^{n-3}e[/latex] donc la perte de longueur à gauche est [latex]4^{n-2}e[/latex]

La perte totale de longueur à gauche après n plis vaut donc :
[TeX]G=2e+\sum_{k=3}^n4^{k-2}e=\frac{4^{n-1}+2}{3}e[/TeX]
2) Perte totale de longueur à droite [latex]D[/latex] :

En considérant que la fibre moyenne conserve sa longueur :

Pour le n-ième pli [latex]2^{n-1}[/latex] segments de longueur initiale [latex]2^{n-2} \pi e[/latex] deviennent des demi-cercles donc la perte de longueur à droite est [latex]\frac{4^{n-1} \pi e}{2}[/latex]

La perte de longueur à droite après n plis vaut donc :
[TeX]D=\sum_{k=1}^n \frac{4^{k-1} \pi e}{2}=\frac{\pi (4^n-1)}{6}e[/TeX]
3) Longueur dans la zone quadrillée [latex]Q[/latex] :

On cherche la longueur minimale pour plier la feuille n fois.

Pour une telle longueur la partie quadrillée est de forme carrée au n-ième pli (elle disparait au prochain pli) de coté [latex]2^ne[/latex]

La longueur dans la zone quadrillée est alors répartie sur [latex]2^n[/latex] segments et vaut donc :
[TeX]Q=4^ne[/TeX]
Conclusion :
[TeX]L=G+Q+D=\frac{4^{n-1}+2}{3}e+4^ne+\frac{\pi (4^n-1)}{6}e[/TeX]
Formule que l'on peut simplifier en :
[TeX]\frac{L}{e}=\frac{\pi}{6}(2^n+4)(2^n-1)+\frac{4^{n-1}+2}{3}[/TeX]

 #16 - 17-07-2016 17:58:33

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Origami pour les unls

Jolie solution smile

Il ne faut donc jamais hésiter à revisiter les classiques .

On peut aussi imaginer des feuilles cassantes à plis carrés lollollollol

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-pliagecarre.png

Merci pour le problème smile

Vasimolo

 

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