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 #26 - 01-07-2011 09:07:50

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

Premiers modulo 12 : étappe 2

C'est vrai que c'est drôle, tiens je vais poster un problème là dessus

#0 Pub

 #27 - 01-07-2011 20:30:26

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Premmiers modulo 12 : étape 2

scarta a écrit:

Je cite ce que tu as écrit tantôt
Comme 4n²+3 est un 12k+7 (si n non triple), ça ne peut être obtenu que par un produit de premiers dans lequel il y a au moins un 7 modulo 12: en effet, modulo 12, on peut avoir comme premier autre que 7: un 1 un 5 ou un 11, mais leur produit ne donne aucun 7. il y aura donc nécessairement un premier 7 modulo 12 dans un 4n²+3 si n non triple.

Pour moi 5*11=7 [12] donc ton raisonnement ne tient plus (désolé)

Sinon pour la preuve de yanyan ok en admettant ce qu'il fait en effet (je pense qu'en le démontrant effectivement ta demo risque d'être encore plus complexe que la mienne ^^)

Scarta, il est facile de prouver que les nombres 4n²+3 sont exclusivement des produits de facteur(s) premier(s) 3 ou 6k+1. modulo 12, les 6k+1 valent 1 ou 7.
Or les 4n²+3 valent tous 7 modulo 12 (sauf si n triple). Donc pour un n non triple, pour obtenir 7 modulo 12, il faut bien au moins un facteur premier 7 modulo 12. L'exemple de 5*11 est  donc exclus, car c'est un produit de 2 facteurs de la forme 6k-1.

 #28 - 01-07-2011 21:48:05

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Preemiers modulo 12 : étape 2

Si tu pouvais montrer le point facile, Nodgim.
Merci.smile


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #29 - 02-07-2011 11:13:10

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Premiers modlo 12 : étape 2

Je l'ai déja décrit:
4n²+3 donne du +1 mod 6 (sauf quand n triple). J'ai montré que les nombres premiers de décomposition de 4n²+3 ne pouvaient apparaitre qu'un seul à la fois . Le premier premier de la liste est 7 pour n=1. 7 divise 4n²+3 pour n=7k+-1 (on rencontrera donc 7 dans la décomposition de 4n²+3 pour n=6).Le second est 4(2²)+3=19 qui divise 4n²+3 pour tout n=19k+-2.
n=1 donne 7, (7 apparaitra à nouveau pour n=6)
n=2 donne 19 (19 apparaitra à nouveau pour n=19-2=17)
n=3 donne 3*13 (13 apparaitra à nouveau pour n=10, et 3 pour tout 3n)
n=4 donne  67 qui apparaitra à nouveau pour n=67-4=63
n=5 donne 103 qui...
n=6 donne un multiple de 7 et de 3 (attendu):3*7*7: pas de premier nouveau.
n=7 donne un premier, pas besoin de tenter la décomposition.
etc...
Donc si pour un n suivant je connais un facteur premier, c'est un 6k+1. Or 4n²+3 est lui même un 6k+1: le nouveau facteur premier éventuel sera donc forcément un 6k+1. 

La seule chose que j'ignore sur 4n²+3 c'est pourquoi tous les premiers 6k+1 sont dans la liste (conjecture)
De même 4n²+1, qui ne donne que des 12k+5 ou +1, contient tous les premiers de cette forme (conjecture).

 #30 - 03-07-2011 00:41:15

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

PPremiers modulo 12 : étape 2

Ok !!!! Je pense que la démo de nodgim est bonne (et très astucieuse)

 

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