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 #1 - 29-07-2011 18:02:43

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Combien d emultiples ?

Soient m et n deux entiers naturels non nuls.
Combien de multiples de m comporte la suite n,2n,3n,...,mn ?

C'est assez simple. Bon travail.smile



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 #2 - 29-07-2011 18:44:23

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Cobien de multiples ?

Shadock, c'est une suite finie : n,2n,3n,4n,....,mn. Il y a m termes.


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 #3 - 30-07-2011 00:15:50

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

Combien de multiples

PGCD(m,n)

 #4 - 30-07-2011 08:42:33

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

Comben de multiples ?

autant que de multiples de m / pgcd(n, m) entre 1 et m ?

 #5 - 30-07-2011 15:05:28

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

combien de muktiples ?

aïe... avec 17 et 23, je donne 1, mais il y a une explication logique, je suppose.


Un promath- actif dans un forum actif

 #6 - 30-07-2011 17:57:33

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Combin de multiples ?

D'instinct : la réponse est PGCD(m,n).



Première démonstration (trouvée avec beaucoup d'efforts) :

Soit k le plus petit entier strictement positif tel que kn est divisible par m. kn, plus petit multiple de n divisible par m... kn=PPCM(m,n).

k est forcément un diviseur de m : seuls les jkn, avec j entier quelconque, sont divisibles par m, donc il existe un J tel que Jk=m.

Dans la suite susmentionnée, il y a bien entendu m/k multiples de m, soit J multiples de m. J=m/k=mn/kn=mn/PPCM(m,n)=PGCD(m,n).



Deuxième démonstration (for fun) :

Construisons un carré de côté mn. A l'intérieur, on trace une ligne verticale toutes les n unités de longueur, et une ligne horizontale toutes les m unités de longueur, scindant ainsi ce carré en mn rectangles de largeur n et de longueur m.

La question "combien y a-t-il de multiples de m dans la suite des kn (k allant de 1 a m) ?" se ramène a la question "combien de fois une des diagonales du carré décrit ci-dessus passe-t-elle par un sommet d'un des petits rectangles (en ne comptant pas le point de départ de la diagonale, mais en comptant celui d'arrivée) ?"

On divise toutes les largeurs par n et toutes les hauteurs par m ; cela devient "dans un rectangle de dimensions entières m et n, par combien de points aux coordonnées entières une diagonale passe-t-elle (en omettant un des deux sommets du rectangle) ?" et j'ai déja du passer par cette question ici.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #7 - 30-07-2011 18:21:35

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Combien de multiple ?

Le PGCD de m et de  n doit être très proche du résultat.

 #8 - 30-07-2011 19:17:22

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2710
Lieu: Luxembourg

cpmbien de multiples ?

Bonjour,
Si m=n, alors la réponse triviale est N=m=n.
Si m et n sont premiers entre eux, alors la réponse triviale est N=1.
Si m et n ne sont pas premiers entre eux, alors la réponse est leur PGCD.
On voit que dans tous les cas (que m et n soient ou ne soient pas premiers entre eux, ou même égaux), la réponse est PGCD(m;n).
Bonne journée.
Frank

 #9 - 01-08-2011 15:04:55

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Combien de multiles ?

Soit p le PGCD de m et n.
m=p.m'
n=p.n'

n' et m' premiers entre eux.

Le problème est équivalent à chercher le nombre de multiples de m' dans la suite de m nombres:
n', 2n', 3n', ..., mn'

Puisque m' et n' sont premiers entre eux, il est évident qu'il y en a E(m/m') soit p.

Il y a donc PGCD(m,n) multiples de m dans la suite.

Merci pour cette énigme, j'espère ne pas avoir faux, je n'ai pas le temps de tout vérifier entre des 500 mails de congés à traiter smile

 #10 - 02-08-2011 09:31:39

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Combien ed multiples ?

Merci à tous les participants.smile


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