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#1 - 19-12-2012 22:54:33
- Vasimolo
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#2 - 20-12-2012 22:41:15
- Vasimolo
- Le pâtissier
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Gâteeau 58
Vu l'absence de réactions j'ai ajouté un petit indice
Vasimolo
#3 - 20-12-2012 22:58:12
- halloduda
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gâreau 58
EDIT suite à complément d'énoncé
Pour un gâteau 3x4 = 12 parts, les résultats sont :
2 familles de 2 et 2 familles de 3 personnes
1 part 100 soit 100 g pour Vasimolo brun 2 parts 120 soit 240 g pour famille 1 de 2 personnes bleu 3 parts 140 soit 420 g pour famille 2 de 3 personnes jaune 3 parts 160 soit 480 g pour famille 3 de 3 personnes vert 2 parts 180 soit 360 g pour famille 4 de 2 personnes blanc 1 part 200 soit 200 g pour le pâtissier rose
Total 1800 g
#4 - 20-12-2012 23:02:21
- Vasimolo
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gâtzau 58
Le gâteau est partagé en 4X3 comme sur le modèle proposé
Vasimolo
#5 - 21-12-2012 11:22:26
- Vasimolo
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Gâteu 58
C'est une possibilité Halloduda
Est-ce la seule et pourquoi ????
Vasimolo
#6 - 22-12-2012 23:45:00
- Vasimolo
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Gâteua 58
J'ai ajouté un deuxième indice
Vasimolo
#7 - 23-12-2012 06:08:58
- halloduda
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Gâteau 588
C'est la seule répartition 3x4 que j'aie pu trouver.
Pour le principe, gâteau nxm, ce n'est pas la seule, on peut construire une répartition nxn pour n quelconque. Vérification Geogebra faite pour 5x5. La progression arithmétique est alors 8, 9, 10, ..., 16.
Pour nxm on en prend un sous-ensemble de nxn en corrigeant le rapport (2 pour nxn). Il me semble que pour tout n les diagonales (perpendiculaires) du gâteau nxn sont dans le rapport 3/2. Ça ressemble à un cerf-volant.
Je ne sais pas le démontrer. Je ne sais pas non plus démontrer les spoilers.
#8 - 23-12-2012 13:02:13
- Vasimolo
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Gâteau 588
@Halloduda
Les indices sont certainement deux nouvelles énigmes mais ils peuvent se résoudre avec de la géométrie de collège .
J'ai trouvé une seule solution pour le gâteau , j'ai pu me tromper
Vasimolo
#9 - 28-12-2012 13:16:05
- Vasimolo
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Gâteua 58
Merci Halloduda pour la participation et la réponse
Vasimolo
#10 - 28-12-2012 17:01:37
- nodgim
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gâyeau 58
J'ai bien fait quelques essais mais sans réussite....
#11 - 28-12-2012 18:22:04
- Vasimolo
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Gâteau 558
Une explication pour le premier indice
On considère un quadrilatère [latex]ABCD[/latex] et des points [latex]E,F,G[/latex] et [latex]H[/latex] sur les côtés [TeX][AB],[BC],[CD][/latex] et [latex][DA][/latex] tels que [latex]\frac{EB}{EA}=\frac{GC}{GD}=p[/latex] et [latex]\frac{FC}{FB}=\frac{HD}{HA}=q[/latex] .
Il faut montrer qu’alors [latex]\frac{OF}{OH}=p[/latex] et [latex]\frac{OG}{OE}=q .[/TeX] On trace les parallèles à [latex](HF)[/latex] passant par [latex]B,C,E,G .[/latex]
Comme [latex]\frac{HD}{HA}=q , d=fq[/latex] et alors [latex]\frac{OG}{OE}=q[/latex] . De même [latex]\frac{OF}{OH}=p[/latex] .
On en déduit aisément que les différentes coupes du gâteau sont partagées en parts égales .
A suivre ...
Vasimolo
#12 - 29-12-2012 11:03:05
- Vasimolo
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Gtâeau 58
Pour le deuxième indice une explication quasiment sans un mot :
[TeX]A+B=C+D.[/TeX] Alors [latex]A+C,C+D[/latex] et [latex]B+D[/latex] sont en progression arithmétique .
A suivre ...
Vasimolo
#13 - 29-12-2012 16:02:00
- shadock
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Gâteau 8
J'aimerai bien répondre à l'énigme mais je ne comprends pas ça :
Il partage les côtés en parts égales avant de trancher en ligne droite. Comme deux parts se sentent un peu seules , il prend la plus grosse et me confie l'autre, deux fois plus petite.
Enfin je ne vois pas le rapport, n'y ce que ça représente par rapport à ton schéma...
Shadock
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#14 - 29-12-2012 18:01:58
- Vasimolo
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#15 - 29-12-2012 21:06:20
- shadock
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âGteau 58
Oui merci c'est déjà beaucoup plus clair, bon il n'y a plus qu'à réfléchir
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#16 - 30-12-2012 21:58:58
- gwen27
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Gâteeau 58
Pour moi, le "beaucoup plus clair" reste un problème ardu qui demande un raisonnement poussé même à partir de bases simples.
Ce n'est pas du gâteau...
#17 - 30-12-2012 23:35:33
- Vasimolo
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#18 - 31-12-2012 01:25:55
- shadock
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hâteau 58
Vasimolo a écrit:Il reste à prouver l'unicité de la solution
Euh ouai...ou un contre exemple
J'ai cherché et je rejoins Gwen c'est tordu ton truc. As-tu songé à consulter? De quoi rêves-tu la nuit? Tu es marié? Ta femme t'énerve? Tu as peur d'être seul pour le réveillon?...
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#19 - 31-12-2012 19:24:35
- Vasimolo
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#20 - 01-01-2013 18:56:09
- Vasimolo
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Gâtau 58
Bon , la solution est bien unique et j'ai une preuve très courte . J'essaierai d'envoyer ça ce soir
Bonne année à tous .
Vasimolo
#21 - 01-01-2013 20:05:04
- titoufred
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Gâteauu 58
Salut, j'ai trouvé également une démonstration de l'unicité :
Si l'on note la grille :
Alors, pour ne pas avoir de part isolée à part a et l, il faut b=e et k=h.
en notant b=a+r et f=a+r+s, on obtient alors :
k=h donne a+4s=a+r+3s donc r=s, ce qui donne :
De 2a=l, on en déduit que a=5r. Puis en utilisant que la somme fait 1800, on trouve que a=100 et r=20.
#22 - 01-01-2013 20:47:55
- Vasimolo
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Gâtaeu 58
Pourquoi les parts isolées ne serait-elles pas "a et i" ou "a et d" ou même i=j=k=l et les parts isolées "e et h" ?
J'ai trouvé un moyen d'éviter ces disjonctions de cas mais je n'ai pas le temps de l'illustrer pour le moment .
Vasimolo
#23 - 01-01-2013 22:50:06
- Vasimolo
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gâteai 58
Aux symétries près les possibilités sont résumées sur les graphiques suivants
Un seul réalise une progression arithmétique sur les ordonnées , il correspond aux calculs de Titou .
Vasimolo
#24 - 02-01-2013 01:01:24
- titoufred
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Gâtteau 58
Vasimolo, je n'ai pas tout compris à ton dernier message "sans paroles".
Pour ma part, voici comment je vois que les parts extrêmes se trouvent à des coins opposés :
Les parts sont plus petites du côté où les droites portant les côtés du quadrilatère vont se couper. Sur l'exemple de ton dessin, une part est plus petite que sa voisine de droite, ou que sa voisine du dessus. Pour s'en convaincre :
Les aires de A et D sont proportionnelles aux hauteurs de ces triangles, qui augmentent lorsqu'on s'éloigne du côté où les droites portant les côtés du quadrilatère vont se couper (admettons que c'est à gauche) : donc D > A et de même B > C. Et il en sera de même à "l'étage" du dessus : la progression se fera dans le même sens (par exemple la plus petite part à gauche).
Par conséquent, les parts extrêmes sont opposées.
#25 - 02-01-2013 09:41:38
- Vasimolo
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Gâteauu 58
En effet c'est bien plus rapide comme ça
On peut remarquer que s'il y a plusieurs petites parts ou plusieurs grandes parts , les coupes dans une des deux directions sont parallèles et alors les parts dans chaque bande sont toutes égales , ce qui contredit l'hypothèse .
Il n'était pas si difficile ce gâteau .
Vasimolo
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