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 #1 - 04-06-2017 12:24:30

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4958

hâteau 134

Mon pâtissier avait commandé quatre feuilles carrées pour recouvrir son gâteau carré . La taille des feuilles devait être moitié de celle du gâteau mais une erreur de fabrication a fait qu'elle est très légèrement inférieure à celle qui était prévue . Pour réparer cette erreur on propose à mon pâtissier une cinquième feuille gratuite ( identique aux précédentes ) .     

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-gateau134.png

Doit-il accepter l'offre sachant que les feuilles peuvent être orientées n'importe comment , se chevaucher , déborder du gâteau mais ne jamais être découpées ?

Amusez-vous bien smile

Et venez nombreux , ici ou ailleurs ( le forum est un peu triste en ce moment sad )

Vasimolo



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 #2 - 05-06-2017 15:10:44

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 209

Gâteau 1334

Bonjour,
vraiment intéressant ce problème, la conjecture semble assez facile, mais c'est une autre paire de manche pour la démontrer...
Après avoir chercher à démontrer que l'on ne pouvait pas recouvrir le pourtour, je me suis aperçu que c'était en réalité possible avec un epsilon très petit (epsilon était Taille de la moitié du gâteau - Taille de la feuille )
En tout cas, il est possible de montrer sans trop de calculs que l'on ne peut pas recouvrir le pourtour avec seulement 4 feuilles, et qu'il y aura toujours au moins 1 petit bout sur l'un des côtés restant libre.
Il doit aussi être possible de montrer que si l'on cherche à recouvrir 3 des 4 côtés du pourtour complètemement, il y aura des très légères "fissures" qui s'éloigne suffisamment du centre (à plus du quart de la taille du gateau).
La 5eme feuille ne pourra donc pas recouvrir chacune de ces fissures + le bout restant sur le bord. Le même raisonnement s'applique à quelques détails près si l'on ne recouvre complètement que  deux ou moins des côtés avec les 4 premières feuilles.

Je me rend bien compte que ce n'est vraiment pas clair, je vais essayer de faire un figure, si je ne suis pas trop flemmard, pour expliquer mon propos...

Edit:
Voila une image, j'ai un peu triché pour que ça montre ce que je voulais, car ça ne marche que si epsilon est vraiment très petit.
Les 4 premières feuilles sont les rouges, on voit bien que les fissures entre chacune des feuilles deviennent de plus en plus grande. La cinquième feuille (en vert) ne pourra jamais recouvrir tout le reste.

Pour démontrer que l'on ne peut pas recouvrir le pourtour avec 4 feuilles, il suffit de montrer qu'une feuille ne recouvrira jamais plus de 2x la moitie de la taille du gateau, ce n'est pas très dur...

http://www.prise2tete.fr/upload/caduk-gateau134.JPG

Si il y a une démo propre (et si possible plus simple), je serai très curieux...

 #3 - 05-06-2017 17:35:58

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4958

fâteau 134

Bonsoir Caduk smile

Je pense avoir une explication simple . Tu es sur la bonne voie mais il te manque quelques éléments .

Vasimolo

 #4 - 05-06-2017 23:04:33

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 2173
Lieu: 94110

Gâteau 34

Doit-il accepter l'offre sachant que les feuilles peuvent être orientées n'importe comment , se chevaucher , déborder du gâteau mais ne jamais être découpées ?

De la manière dont est posée la question, je suppose que "Oui", mais je suppose aussi que cette réponse ne te suffit pas lol .
Si c'est le cas, je ne vois pas trop d'autres possibilités de placer ces feuilles autrement qu'ainsi :

http://www.prise2tete.fr/upload/Jackv-Gateau134.png

Il faudrait ensuite pour le montrer, calculer le pourcentage minimum que doivent faire les cotés des feuilles par rapport à celui du gâteau.
Mais cela me paraît un calcul assez difficile qui risque de me demander trop de temps hmm ...

Et venez nombreux , ici ou ailleurs ( le forum est un peu triste en ce moment )

Je suis bien d'accord, et c'est pour cela que je suis là tongue !
Je trouve que l'élite de P2T a un peu déserté le navire ces dernier temps, et qu'on se retrouve bien seuls à essayer de le maintenir à flot sad .

 #5 - 06-06-2017 14:16:34

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4958

Gâtea u134

@Jack : j'ai bien peur que ta construction ne couvre pas l'ensemble du carré sad

Vasimolo

 #6 - 06-06-2017 17:41:58

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 2173
Lieu: 94110

Gâteau 34

Exact ! Après quelques calculs, je m'aperçois qu'elle ne couvre qu'un carré un peu plus petit que 4 feuilles hmm !
Dommage. J'aurais au moins essayé wink .

Mais je suis curieux de voir ta méthode smile .

 #7 - 06-06-2017 18:01:59

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4958

Gâteauu 134

Il y a une idée simple derrière ce gâteau mais il faut y penser smile

Pour ceux qui ont pris la saga des gâteaux en route il y a un Gâteau 14 qui peut donner quelques pistes ( http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=6846 )

En tout cas merci de participer car je sais que tu préfères largement les petites promenades hexagonales à la consommation d'indigestes gâteaux lollollollol

Vasimolo

 #8 - 07-06-2017 09:02:33

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 473

Gâtea 134

Je sèche : ça a l'air impossible, mais comment le démontrer ?

On peut déjà remarquer que si on considère les 4 coins et le centre du gâteau, ces 5 points doivent appartenir à 5 feuilles différentes. Après, j'ai essayé de considérer les points du contour du gâteau, mais je n'ai pas réussi à aboutir.

 #9 - 07-06-2017 12:11:56

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4958

âGteau 134

Tu as la bonne intuition Ebichu mais il faut regarder un peu plus que les quatre sommets et le centre du carré . La démonstration est vraiment très simple et tout de même assez intuitive ( suffisamment pour que je la trouve lollollol) .

Bon amusement smile

Vasimolo

PS : le renvoi au gâteau 14 est une aide véritable .
PPS : j'ajoute un peu de temps car je suis certain que beaucoup vont trouver .

 #10 - 07-06-2017 18:13:09

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,691E+3

gâtezu 134

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-g134.PNG

Chaque carré ne peut contenir qu'un seul point bleu,
donc, chacun en contient exactement 1.

Le carré « central » contient, au plus, 1 point vert , associé à un des 4 coins
et dans ce cas, pas plus de 2 points jaunes.

Si, dans un coin, aucun point vert n'est recouvert par le carré central,
ils ne peuvent l'être que par le carré situé dans ce coin.
Ce carré doit donc contenir l'intégralité des deux segments rouges.
Mais dans ce cas, il ne pourra contenir qu'un seul point jaune.

Conclusion :
Si le carré central contient un point vert,
on arrive à un total maximum de 7 points jaunes recouverts. Impossibilité.

Si le carré central ne contient pas de point vert, il doit contenir 4 points jaunes
qui sont obligatoirement les 4 points « centraux ».
Seulement, dans ce cas, il ne participe pas à recouvrir le périmètre de la figure
qui sera strictement inférieur à 16 segments rouges. Impossibilité.

 #11 - 07-06-2017 18:42:08

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4958

gâtzau 134

C'est bien vu Gwen et très malin comme d'habitude smile

On peut éviter l'étude de tous ces cas en diminuant le maillage mais il faut passer par une étape intermédiaire qui est masquée par tes points jaunes et verts .

Le trop plein d'astuces cache un peu la clé du problème , je prends quand même .

Je savais qu'on y arriverait smile

Vasimolo

 #12 - 07-06-2017 22:43:04

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,691E+3

Gâteau 14

Oui, j'ai la même avec 9 points...

Un coin = un milieu des côtés, un seul.
Le centre, idem.

Mais dans ce dernier cas, le coup du périmètre coince un peu...
Chaque milieu des côtés exclut un point jaune central "différent" et donc on aboutit à une contradiction pour que le carré central touche le milieu d'un côté, mais c'est plus facile à intuiter qu'à démontrer.

 #13 - 08-06-2017 16:18:41

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 473

Gâtea u134

J'ai trouvé une méthode basée sur tes indications, mais elle n'est pas très élégante. Elle nécessite l'étude de nombreux cas (études que je passe sous silence, mais que je peux expliquer si nécessaire).

Tout d'abord, on recouvre le gâteau par un réseau de 25 points comme ci-dessous. Le gâteau est supposé de côté 2, aussi la distance entre deux points voisins vaut 0,5.

http://www.prise2tete.fr/upload/Ebichu-gateau134-2.png

Ensuite, on démontre un lemme affirmant qu'aucune de ces 3 figures ne peut être contenue dans un carré de côté strictement inférieur à 1 :

http://www.prise2tete.fr/upload/Ebichu-gateau134-1.png

À l'aide de ce lemme, on cherche à répartir les 25 points en 5 ensembles, chaque ensemble devant être recouvrable par un carré de côté <1. En étudiant quelques cas, on aboutit à ce que la seule répartition possible (à symétrie près) est celle que l'on visualise avec les couleurs de la première figure.

Or cette répartition ne convient pas, car du fait de la position des points orange, la feuille carrée qui recouvre les points orange ne peut toucher le tour du gâteau ; et comme chacune des 4 autres feuilles carrées ne peut recouvrir que strictement moins de 2 unités du périmètre du gâteau qui vaut 8 unités, on ne peut recouvrir tout le gâteau de cette manière.

 #14 - 08-06-2017 17:49:46

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,691E+3

Gâteau 1334

Aller, on va simplifier à l'extrême...  big_smile
Un carré peut recouvrir 5 points au maximum dont un seul bleu.
Chaque carré contient donc 5 points dont un point bleu.

Il reste 20 points ( 8 rouges et 12 blancs )

Un carré dans un coin ne peut recouvrir que 2 rouges et deux blancs.

Si le carré central ne participe pas au périmètre, il peut couvrir les 4 blancs qui manquent, mais le périmètre sera incomplet.

S'il participe au périmètre, il ne peut pas couvrir 4 points blancs. CQFD smile
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-g134-2.PNG

 #15 - 09-06-2017 16:30:24

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4958

Gâtaeu 134

Des idées assez proches pour Gwen et Ebichu smile

J'étais parti sur idée différente :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-gateau134indice0.png

Une feuille de côté inférieur à 1 posé sur un des angles du gâteau de côté 2 va recouvrir une longueur inférieure à 2 sur l'ensemble des lignes noires . La dernière feuille ne pourra donc jamais recouvrir le reste .

Vasimolo

 #16 - 09-06-2017 17:04:55

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,691E+3

Gâteeau 134

Avec uniquement l'argument du périmètre, tu te trompes. Couvrir tout le périmètre est parfaitement possible.

Ta conclusion semble être un superbe raccourci...

 #17 - 09-06-2017 17:26:51

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4958

Gteau 134

Je n'ai pas donné la solution mais l'idée smile

Attention les lignes noires sont constituées des côtés mais aussi des médiatrices des côtés du carré .

Vasimolo

 #18 - 10-06-2017 07:56:53

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,691E+3

hâteau 134

Effectivement, chaque carré est lié au centre ou à un coin.

Dans un coin, pas plus de 2 traits recouverts (en terme de longueur) et au centre pas plus de 2 rac(2).

10,8 < 12 c'est donc impossible.

 #19 - 11-06-2017 10:06:39

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 2173
Lieu: 94110

gâtzau 134

Doit-il accepter l'offre sachant que les feuilles peuvent être orientées n'importe comment , se chevaucher , déborder du gâteau mais ne jamais être découpées ?

Finalement, la réponse est non ! Je commençais à m'en douter lol !
Mais je suis très déçu. J'espérais que tu avais une solution miracle à proposer.

En tout cas merci de participer car je sais que tu préfères largement les petites promenades hexagonales à la consommation d'indigestes gâteaux.

Pour te montrer que je sais faire autre choses que des promenades hexagonales, je me suis lancé dans une énigme mathématique :
             http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=13412
J'espère que tu me montreras que tu sais faire autre chose que des gâteaux wink !

 #20 - 11-06-2017 18:02:27

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4958

Gâteau 314

Les solutions de Gwen et Ebichu sont tout à fait acceptables mais elles peuvent être longues à justifier proprement si on est tatillon à l'extrême .

Je m'étais en fait inspiré du gâteau 14 qui dit que si les deux carrés ont la même taille les sommes des longueurs bleues et rouges sont égales :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-gateau134indice1.png

Le même raisonnement donne des longueurs rouges inférieures aux bleues si le carré rouge est inférieur au carré bleu et comme bleues et rouges réunies sont inférieures au périmètre du carré horizontal on obtient les inégalités annoncées dans les quatre coins . Pour être complet il faudrait regarder ce qui se passe si le carré oblique récupère un peu dans le prolongement des lignes du carré horizontal mais dans ce cas , on perd plus qu'on ne gagne .

Il est clair que recouvrir le reste des lignes est une mission impossible pour le dernier carré smile

Un grand merci aux participants smile

Vasimolo

PS @Jack :

Ton problème est un gâteau non ? J'ai récupéré 14 000 miettes de gâteaux dont la masse totale est 28 kg , ... lollollollol

Je ne suis pas fan de stats mais voilà la solution ( facile ) de ton gâteau : Spoiler : [Afficher le message] je déconne , voir le message sur ton sujet lollol

 

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