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 #76 - 10-04-2012 19:45:30

nodgim
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duagonale de cantor

Oui peut être Rivas, ta position se défend dans le cas général, 0*inf=ce qu'on veut. Mais ce n'est pas ce que j'ai trouvé pour ce cas particulier là.

#0 Pub

 #77 - 10-04-2012 23:31:11

rivas
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Diagonale ed Cantor

Je pense aussi que "ma" position qui doit être celle de pas mal de mathématiciens se défend bien en effet...

Mais par contre je ne suis pas sûr de "ce que tu as trouvé" dans ce cas. De quoi parles-tu?

 #78 - 11-04-2012 09:42:27

Clydevil
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Diagonale de Cator

Salut,
Je suis tombé sur le post avec la diagonale, j'ai eu le courage de lire la première page et la flemme de lire les suivantes donc je ne sais pas ou tu en es.

Voici ma contribution pour tenter de te faire comprendre cette démonstration simple et absolument rigoureuse.

Déjà je précise ce que veut dire dénombrable car il me semble parfois avoir vu des phrases pas claires à ce sujet.

Un ensemble E est dénombrable lorsqu'on peut le mettre en bijection avec N.
De manière enfantine ceci veut dire que sur chaque élément de E tu peux mettre une étiquette avec dessus un entier toujours diffèrent et que chaque élément de E aura son étiquette.

Lorsqu'on se demande si un ensemble est dénombrable la question n'a de sens que si cet ensemble contient un nombre infini d'éléments.

Remarque sur l'écriture décimale:
C'est pénible mais la démonstration ne peut être faite proprement avec cette écriture car aussi impressionnant que cela puisse paraitre il n'y a pas unicité de écriture en décimale:

0.9999999....     et  1  c' est le même chiffre.    Pas "presque le même"   mais exactement le même.   (demo:  x=0.999...     10x = 9.999...   10x = 9+x  9x=9  x = 1)

Donc pour être plus propre en général on utilise plutôt un autre ensemble de même taille que les réels mais plus commode,  les suites infinies de 0 et de 1.

Donc ce que je propose de démontrer ici c'est que l'ensemble des suites infinies de 0 et de 1 n'est pas dénombrable, je vais mettre des lettres a) b) c) et tu me diras ou tu buttes.

a) On suppose que l'ensemble des suites infinies de 0 et 1 est dénombrable.

b) Ce ci veut dire qu'on pourrait construire un tableau infini du genre ci dessous, ou on placerait toutes les étiquettes entiers à gauche et la suite hypothétiquement associée a droite.   La supposition faite en a) veut dire qu'à gauche on a tous les entiers et qu'à droite on a toutes les suites infinies de 0 et de 1. Pour le moment a) n'est qu'une supposition mais si on la fait alors on a bien un tableau de ce genre.

1 ->   000010000...
2 ->   000010110...
3 ->   000010000...
... ->  100010001...
...

c) On considère la suite infinie de 0 et de 1  issue de ce tableau hypothétique formée par le premier élément de la suite associé à l'entier 1, le 2eme élément de la suite associé a l'entier 2 etc....  En d'autres termes la diagonale de la partie de droite.

d) on considère l'opposé de cette diagonale ou tous les 1 seraient des 0 et tous les 0 des 1.

e) toujours si notre hypothèse sur le tableau est correcte alors cette diagonale inversée doit se trouver dans le tableau, peut être très loin mais elle doit y être car par supposition notre tableau contient à droite toutes les suites infinies de 0 et de 1.

f) Or si elle s'y trouve il y aura une contradiction sur le terme qu'elle a en commun avec la diagonale car si cette diagonale c'est le contraire d'elle comment pourrait elle se couper sur le même 0 ou 1 ?

g) Conclusion par l'absurde l'hypothèse a) de base est fausse, l'ensemble des suites infinies de 0 et de 1 n'est pas dénombrable. CQFD

D'instinct je pense que c'est f) qui te posais probleme, (à l'époque de la page 1) car quelque soit le moment ou cette suite construite se trouvera dans le tableau même très tard, il est impossible qu'elle ait en commun le même terme avec son propre opposé. C'est l'argument fondamental de la demo.


Voila voila.

 #79 - 11-04-2012 10:14:06

MthS-MlndN
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Diagonale de Canto

rivas a écrit:

oo.0=1
ou plutôt:
Somme de 1 à oo de 0 = 1

L'infini n'est pas un nombre, et n'est SURTOUT PAS à traiter comme tel. Ecrire oo.0=1 revient à mon sens à violer l'histoire des mathématiques (dans le trou noir qu'on crée en divisant par 0 lol).

Désolé d'être un peu acerbe, mais je n'aurais pas été outré par ces écritures confuses si elles n'étaient pas venues d'un ardent défenseur des mathématiques pour les nuls.

On pourrait arrêter avec l'infini, maintenant ? C'est un sujet à laisser aux vrais matheux, et visiblement, aucun de nous ne l'est vraiment.


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 #80 - 11-04-2012 10:34:06

rivas
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siagonale de cantor

Salut Mathias,

Tu me cites hors contexte.
Jamais au grand jamais je n'écris 0.oo=1. Je l'ai écrit ici pour mieux le dénoncer, pour mieux mettre en évidence l'absurde de la situation. C'est cela le contexte.

Je pense avoir moi-même dit des dizaines de fois ici que l'infini n'est pas un nombre et que l'on ne peut pas y appliquer les opérations usuelles des nombres...

J'ai toujours essayé dans mes écrits d'être vraiment rigoureux sur la manipulation de l'infini dans l'écriture des "expressions mathématiques" comme dans la prose qui va autour.

Je ne veux justement pas laisser l'infini aux vrais mathématiciens (qu'est-ce qu'un vrai mathématicien d'ailleurs? Pourquoi n'en serions nous pas?) parce que j'aimerais pouvoir aider le plus grand nombre à appréhender correctement les difficultés de l'infini et à en éviter les pièges. En ce sens, tu as tout à fait raison, je suis un ardent défenseur de la vulgarisation des maths pour les néophytes smile mais je pense que toi aussi et la plupart des habitués de ce forum aussi...

Et d'ailleurs à ce sujet: la démonstration que 0,9999....=1 en passant par x et 10x n'est pas correcte non plus A PRIORI car on utilise la multiplication par 10 sans justifier que c'est légitime. Pour être tout à fait précis il faudrait justifier que 0,99999.... est bien un nombre réel et non pas une écriture dénuée de sens (comme on l'a fait pour racine(-1)). L'argument est simple mais il faudrait commencer par:
0,99999.... est bien un nombre réel car c'est la limite d'une série convergente et R étant complet, cette limite appartient à R. On peut donc appliquer les opérations usuelles à ce nombre. Et la ça a tout son sens.

Toutes les écritures n'ont justement pas de sens. Comme 0/0, 0xoo, ...

 #81 - 11-04-2012 10:39:21

rivas
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Diagonal de Cantor

Clydevil a écrit:

Donc pour être plus propre en général on utilise plutôt un autre ensemble de même taille que les réels mais plus commode,  les suites infinies de 0 et de 1.

Salut Clydevil et merci pour ta participation smile
Cette démonstration est effectivement équivalente à la Diagonale et évite la difficulté de l'écriture impropre des décimaux. Tu peux aussi noter que l'on évite cette difficulté dans la démo classique en ne choissant tout simplement pas de 9 pour le chiffre de substitution. Ou parfois on explicite même le chiffre que l'on choisit. Si le chiffre original est 0, on prend 1, sinon on prend 0, ce qui revient au même.

Par contre la partie en quote ci-dessus reste à prouver si on veut appliquer cette démonstration à la non dénombrabilité de N...

 #82 - 11-04-2012 19:59:07

nodgim
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Diaognale de Cantor

Merci Clydevil pour ta belle démo.
Cantor extirpe de l'ensemble un élément différentiable de tous les autres et en déduit que cet élément n'est pas dans le dénombrable. Très bien.
Je fais à mon tour une démo sur les entiers par différentiation:
On prend le 1er entier de la liste (ces entiers ne sont pas forcément dans l'ordre), on lui ajoute 1, ça donne NN.
On prend le second entier de la liste, on le teste avec NN, si NN> à ce nombre, on garde NN, sinon, on prend ce nouveau et on lui ajoute 1.
Etc...
Il est donc évident que NN sera différent de tous les entiers de la liste (ce sera le plus grand en fait) et à la fin j'en déduis que l'ensemble des entiers n'est pas dénombrable.
Je ne vois pas où se cache le sophisme....

 #83 - 12-04-2012 00:21:40

Clydevil
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Diagonale de aCntor

@Nodgim:
J'aurais tendance à te dire de relire ma démonstration qui est exactement celle de Cantor, et si tu vois un argument douteux, comme j'ai dit j'ai mis une lettre a)b)c) etc. pour pointer plus facilement l’étape qui te pose problème.

Sur ce que tu viens de dire par contre.

Cantor extirpe de l'ensemble un élément différentiable de tous les autres et en déduit que cet élément n'est pas dans le dénombrable. Très bien.

Heu ça tel que c'est écrit ça n'a aucun sens. Ça ne veut rien dire "n'est pas dans le dénombrable".
Et pourquoi "le" d'ailleurs. Cantor ce qu'il fait c'est exactement mes étapes, a) supposer que c'est dénombrable, b) construire un élément d’après la supposition précédente. c) montrer que l'existence de cet élément mène à une contradiction est conclure que l’hypothèse a) était fausse.

Sur ton truc avec les entiers je ne comprend pas en détails ce que tu fais mais je crois vaguement voir ce qui te pose problème.  Tu dis "à la fin" mais c'est la que se trouve le problème, tu n'as pas le droit de dire que ça termine et ce n'est pas du tout ce que Cantor fait, ce n'est pas le principe de la demo. Si tu penses avoir construit d'après la liste un entier qui ne s'y trouve nécessairement pas alors demande toi lequel c'est, et tu verras qu'il n'y a pas de réponse -> tu ne construis aucun entier précis.
Dans la démonstration de Cantor la suite infinie de 0 et de 1 (ou le réel) qui permet de mener facilement à une contradiction est construit à l'étape d) relis bien cette étape et tu verras que l'élément exhibé est clairement défini.

-> relis ma dernière demo et pointe l’étape problématique.

 #84 - 12-04-2012 10:31:41

rivas
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diahonale de cantor

@nodgim: à propos de ta démonstration.

La démonstration de la diagonale est une démonstration par l'absurde. On suppose qu'un certain intervalle est dénombrable, que donc l'on peut numéroter tous les réels de cet intervalle et on en construit un du même intervalle qui n'a pas été numéroté, ce qui contredit l'hypothèse.
Si tu veux faire une démonstration équivalente, il faut donc choisir N ou un sous ensemble infini de N (s'il est fini, il n'y a rien à montrer), supposer qu'il  est dénombrable, numéroter ses éléments et en exhiber un DE CET ENSEMBLE qui n'a pas été numéroté.

Tu ne précises pas l'ensemble que tu utilises. Tu dis seulement: "une démo sur les entiers". Je suppose que cela veut dire que l'ensemble que tu considères est N. Sinon précise l'ensemble que tu considères.
Vu la construction de ton NN, il faut que pour chaque élément de l'ensemble le suivant soit aussi dans l'ensemble car c'est le nouveau NN. S'il n'est pas dans l'ensemble le NN final n'est potentiellement pas dans l'ensemble non plus et on ne pourrait rien conclure. On travaille donc sur N entier ou ou moins sur un intervalle de N du type [latex]E=]n_0,+\infty[[/latex]. Sinon tu ne peux pas garantir que NN est dans E vu sa construction.

D'autre part, je ne vois pas ce que viens faire la supposition sur l'ordre. La démo ne change pas quelque soit l'ordre que l'on choisisse, on peut donc prendre l'ordre naturel à condition de ne pas ensuite se servir de cet ordre particulier comme argument.

Tu demandes ensuite où se trouve l'erreur.
Elle est assez énorme quand même:
"Il est donc évident que NN sera différent de tous les entiers de la liste (ce sera le plus grand en fait)"

N (ou E) n'a pas de plus grand élément... C'est quand même énorme non?
Si un sous-ensemble d'entiers à un plus grand élément [latex]n_{max}[/latex]c'est qu'il est fini et inclus dans [latex]N \cap [0, n_{max}][/latex]. Et si l'ensemble est fini la démo n'a plus aucun intérêt.

De plus si NN n'appartient pas à N (ou E) tu ne peux rien conclure sur N (ou E) quant à sa dénombrabilité (voir ci-dessus). Il faut donc qu'il y appartienne et dans ce cas vu sa forme, il a déjà été numéroté...

En fait ta démonstration permet presque de montrer qu'un ensemble fini ne peut-être en bijection avec une de ses parties, ce qui est un critère de finitude (à condition d'accepter l'axiome du choix).

Je pense vraiment que tu devrais investir ton temps à lire des références sur ces sujets avec l'objectif d'accepter ces concepts plutôt que de le passer à le srejeter et à essayer de produire des démos impossibles sans même les relire calmement (sinon tu dois quand même bien voir le problème d'annoncer un plus grand élément d'un ensemble infini d'entiers non?).

Wikipedia a de bonnes pages sur la dénombrabilité, l'infini, ...

 #85 - 12-04-2012 19:44:33

nodgim
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Diagonael de Cantor

rivas a écrit:

Et d'ailleurs à ce sujet: la démonstration que 0,9999....=1 en passant par x et 10x n'est pas correcte non plus à priori car on utilise la multiplication par 10 sans justifier que c'est légitime.

Rivas, tu ne peux t'imaginer à quel point cette petite phrase vient de me taper dans l'oeil. J'avais un réel problème avec ma "machine" à fabriquer les nombres réels à cause de cette maudite égalité, je crois que tu viens de m'apporter un début de solution....
A suivre sur le fil "la machine à comptant continu"....

 #86 - 14-04-2012 11:08:28

nodgim
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Diagonale dee Cantor

Merci à tous pour votre contribution à ce thème. En particulier à Clydevil et Rivas qui ont fait preuve de beaucoup de patience.
Ma conclusion est que l'infini est très complexe, et qu'on ne peut pas y aller comme ça sans prérequis minimum....

 #87 - 14-04-2012 14:53:01

nodgim
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Diagonaale de Cantor

Tout de même, un dernier exemple avec N:
On écrit les nombres entiers précédés d'autant de 0 que l'on veut. Et on construit le tableau de Cantor avec les nombres dans l'ordre.
Avec un tableau de 4*4, ça donne:
0001
0002
0003
0004

le nombre sélectionné par Cantor, la diagonale, sera 0004 avant modif.

Pour un tableau n*n plus grand, par exemple 1585, le nombre sélectionné sera:
0000...1585. avec 1581 "0".

Le transformé deviendra 11111...2696.
Il est bien évident que le nombre transformé est bien supérieur aux nombres précédents.

Et ça ne risque pas de s'arranger à l'infini, sinon il faudrait m'expliquer comment...

 #88 - 15-04-2012 00:38:09

rivas
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diagonale dr cantor

nodgim a écrit:

Merci à tous pour votre contribution à ce thème. En particulier à Clydevil et Rivas qui ont fait preuve de beaucoup de patience.
Ma conclusion est que l'infini est très complexe, et qu'on ne peut pas y aller comme ça sans prérequis minimum....

De rien.
J'espère que ce que j'ai écrit a pu te donner (et aux autres pas encore au fait de ces sujets aussi) des pistes pour mieux appréhender ces sujets qui sont en effet complexes.

Mon dernier conseil: pour appréhender l'infini, il faut le faire globalement et non itérativement...

 #89 - 16-04-2012 19:04:34

nodgim
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duagonale de cantor

Clydevil a écrit:

C'est pénible mais la démonstration ne peut être faite proprement avec cette écriture car aussi impressionnant que cela puisse paraitre il n'y a pas unicité de écriture en décimale:

0.9999999....     et  1  c' est le même chiffre.    Pas "presque le même"   mais exactement le même.   (demo:  x=0.999...     10x = 9.999...   10x = 9+x  9x=9  x = 1)

Je soutiens la position de Rivas, et je montre la différence entre 0.999... et 1:
1/3=0.3333....oui mais avec tout de même un reste:0,000....1
Donc 3*0.3333=0.9999...n'est pas 1, puisqu'on a oublié le reste.
Maintenant, c'est quoi ce 0.000...01 ? Nul oui mais....
0.000....001* infini=un nombre autre que 0
0.000...*infini=0
Donc tout de même une nuance entre le zéro absolu et le zéro qui vient de l'infiniment petit.
D'ailleurs, cette valeur 0.000...001 représente pour moi la séparation entre 2 points sur une droite, un intervalle nul ou presque.
Pour mettre tous les points sur un segment ]0;1[ il n'y qu'à incrémenter de 1 unité en partant de 0.00...001 et à aller jusqu'à 0.9999....Une incrémentation de plus, et on obtient 1.
L'ensemble de ces points a le même cardinal que les entiers compris entre 1 et 9999.....
Par ailleurs, la démo de Cantor, appliquée aux entiers, et conduisant au même résultat, comme je l'ai montré, ne fait que dire qu'un ensemble écrit dans le système décimal est plus petit que la représentation unitaire de cet ensemble.
15 est plus petit à écrire que 111111111111111.

 #90 - 16-04-2012 19:39:09

rivas
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Diagonle de Cantor

Euh, ce qui est écrit dans ton post précédent n'est pas ma position smile ou alors je me suis mal compris moi-même...

 #91 - 16-04-2012 21:20:59

Clydevil
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Diagonale de Cantro

Il y arrive toujours un moment ou, après tentatives d'explications et concessions diverses, on est en droit légitime de le déclarer certaines choses, et dans le contexte présent ça donnerait:

(en tout bien tout honneur, l'exagération et le caractère direct n’étant que figure humoristique avec toutefois leur part de vérité)


Non mais nodgim tu fumes complètement :p, les mathématiques ce n'est pas l'idée que tu t'en fais, il n'y a pas la place pour l'environ ni même l'intuition, c'est une mécanique exacte et clairement définie. En maths on fait ce qu'on désire pour les axiomes et on ne fait plus ce qu'on désire pour les conclusions ni le raisonnement y menant! A mon avis l'infini ça te dépasse et je suis sur que des problème comme la flèche qui ne touche jamais l'arbre ça te pose problème smile (la fameuse flèche qui avant de toucher l'arbre parcourt la moitié de la distance, puis la moitié de ce qu'il reste, puis la moitié de ce qu'il reste etc...)

Le principe général en maths: Tu définies tout ce que tu utilises. (par exemple 0.999... n'est qu'une notation mais à laquelle correspond un concept bien défini  ce n'est pas une écriture donnant libre interprétation) et d’après définitions de ce que tu manipules, axiomes, et déduction (au sens logique formelle) tu démontres de propriétés conséquences.

Si tu as une question précise je serais toujours la pour y répondre point par point, mais si on se trouve dans un monde de concepts indéfinis et aux règles d"inductions pifométriques je ne pourrais jamais rien y construire de solide smile par définition du sus-cité monde big_smile

et puis:

Par ailleurs, la démo de Cantor, appliquée aux entiers, et conduisant au même résultat, comme je l'ai montré...

> Non tu n'as rien montré du tout.

 #92 - 16-04-2012 22:32:20

shadock
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Diagonale de Cantoor

En mathS pardi ! mad ..... désolé j'ai des spasmes parfois tongue

Bon te pe rajouter le S à math s'el te ple *.* [Dit-il avec une voix d'enfant]

Shadock


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #93 - 16-04-2012 22:35:13

Clydevil
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Diagnoale de Cantor

C'est fait, mais j'aurais pu aussi le mettre en majuscules gras souligné mal écrit pour voir si tu arrivais à dormir. :p

 #94 - 16-04-2012 22:39:03

shadock
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Diagonlae de Cantor

Merki big_smile

Je suis un peu foufou, mais c'est-à-écrire que dans les mathématiques, il y a l'analyse, la géométrie, l'arithmétique... Et comme on a l'habitude de dire "les" cela veut aussi dire que l'analyse au même titre que la géométrie euclidienne est une mathématique des mathématiques.

Je sors --------> [] Spoiler : [Afficher le message] big_smiletonguebig_smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #95 - 17-04-2012 19:13:19

nodgim
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Diagonale dde Cantor

Il est bien entendu que ce que j'ai écrit vient de moi seul, et je sais bien que ce n'est pas ça les maths. Disons que c'est une vision très basique qui a l'avantage de la simplicité. Un jour peut être je m'intéresserai à ce que les grands ont conçu (ou découvert).

 #96 - 17-04-2012 21:43:26

MthS-MlndN
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Diagoale de Cantor

"L'avantage de la simplicité" smile

"Everything should be made as simple as possible, but not simpler." Albert Einstein (et celle-ci n'est probablement pas apocryphe)


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 #97 - 17-04-2012 22:11:19

Clydevil
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Diagonale de CCantor

@Nodgim: J'ai été un peu dur, mais garde en tête que même les choses les plus fondamentales se démontrent proprement,  par exemple:

A un moment tu parles de "réel juste après un autre" ou "d'incrémentation de réel" et on peut parfaitement démontrer que ceci est incohérent par l'absurde:  Supposons que la notion de "réel suivant" ait un sens on prend un réel x et son hypothétique successeur y alors a priori ce qu'on désire c'est que y soit différent de x et supérieur c'est à dire x<y (i) Or on peut construire
m = (x+y)/2 qui est lui aussi un réel et on remarque que m = (x+y)/2 = (x/2 + y/2) > (x/2 + x/2) d’après (i) ce qui amène m > x  mais aussi que  m = (x+y)/2 = (x/2 + y/2) <  (y/2 + y/2) toujours d’après (i) ce qui amène m < y.
Autrement dit on a construit un réel m différent de x et supérieur à celui ci qui est strictement plus petit que notre hypothétique successeur y. Un meilleur successeur donc  -> conclusion l’hypothèse de base est fausse la notion de successeur n'a pas de sens avec les réels. ie "le successeur de x ne désigne aucun réel".

Une autre remarque a propos de ton utilisation de l'infini, le grand débat de fond des pages précédentes ou on entendait "l'infini n'est pas un nombre etc". Personnellement et comme je l'ai dit les maths c'est affaire de définition, tu peux multiplier des patates et des triangles si ça te fait plaisir du moment que ce que tu fais est DÉFINI par tes soins avant. Donc je ne jetterais pas la pierre sur le fait de réaliser des opérations avec l"infini mais bien sur le fait de ne pas définir avant ce que tu fais.  CAR est c'est la qu'est tout le fond de la remarque, le titre de ce thread dont tu es le créateur concerne justement la démonstration qu'il y a plusieurs types d'infini, certains bien plus petits que d'autres, c'est ce que Cantor démontre, donc si tu écris "infini" ça ne veut rien dire de précis.

 #98 - 18-04-2012 18:48:12

nodgim
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Diagonle de Cantor

Voilà un argument qui ne me plait pas, car ça démonte mon jugement, et contre lequel je n'ai rien à répondre: On arrivera toujours à glisser la moyenne entre 2 réels...
Merci Clydevil, enfin un argument imparable.

 #99 - 18-04-2012 19:44:28

rivas
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diagobale de cantor

La je me sens un peu vexé.
J'ai écrit je ne sais combien d'arguments dans cette discussion, je me demande si tu as finalement lu tout cela...

Au fait entre 2 rationnels aussi tu peux ajouter leur moyenne, cela n'est pas une propriété discriminantes des réels non rationnels ni cela ne découle de la non-dénombrabilité. Et comme les rationnels sont en bijection avec les entiers....

 #100 - 19-04-2012 15:13:30

MthS-MlndN
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diagonale de xantor

rivas a écrit:

La je me sens un peu vexé.

Comme je te comprends... Gaspiller sa salive pour rien ne fait jamais plaisir.


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