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 #1 - 11-04-2012 21:40:50

pyrofoux
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 57

Les carréss pyramidaux.

Attention ! Ceci est à ma connaissance, un problème auquel personne jusqu'à présent (ou du moins personne qui n'en aie parlé) ne s'est intéressé.

Mais il y a une histoire. Sortez vos pyjamas, père Castor passe par là.

C'était un jour ordinaire, je m' amusais à marcher sur les traces de Gauss.
Pouf ! Une histoire dans une histoire.

Le professeur de Gauss leur avait demandé d'additionner les nombres de 1 à 100.
Il pensait qu'il les occuperait bien longtemps. Peu après Gauss au tableau se présenta et la bonne réponse donna. Pris au dépourvu, le professeur vît en lui une marque de génie. Il y avait bien une formule pour faciliter la tâche mais Gauss la redécouvrit.

Happy End

La formule, que j'ai cherchée est, vous la connaissez sans doute,
(n(n+1))/2

Puis, j'ai cherché à trouver un tableau carré qui pouvait contenir, par exemple, 1 fois le nombre 1, 2 fois le nombre 2, 3 fois le nombre 3... Jusqu'au maximum possible.
J'ai compris qu'il fallait que je trouve un nombre où
la racine de (n(n+1))/2 tombait sur un nombre entier.

J'avais programmé une veille calculette qui testait chaque nombre et je devais appuyer tout le temps sur égal pour faire avancer le programme.
(Ouille mes doigts. yikes)
Je voulais trouver un calcul, un moyen, une formule, une solution pour dénicher sans douleurs aux doigts (mais à la tête) ces fichus carrés pyramidaux.

Après plusieurs recherches, je me suis rendu auprès de mon ancien professeur de mathématiques.  Je vous épargne les nombreuses recherches, voici les résultats.

Dans un carré  de 6 sur 6, donc de 36 cases, vous pouvez mettre 1 nombre 1, 2 nombres 2 ... jusqu'à 8.

Il y a bien sûr d'autres carrés.  Quelques-uns :

0 : 0
1 : 1
8 : 6
49 : 35
288 : 204
1681 : 1189
9800 : 6930

Mon professeur a remarqué la chose suivante :

0) 0 x 0 = 0
1) 1 x 1 = 1
2) 2 x 3 = 6
3) 5 x 7 = 35
4) 12 x 17 = 204
5) 29 x 41 = 1189
6) 70 x 99 = 6930

Chaque résultat est un des carrés pyramidaux possibles.
Il est sous la forme a*b.
Prenez la ligne 3.    5 = 2*2 + 1 et 7 = 3*2+1
Vous pouvez remarquer que le facteur d'une liste est égal au double du précédent + le second précédent.

Maintenant voyons ce que j'ai trouvé :

0) 0 x 0 = 0
1) 1 x 1 = 1
2) 2 x 3 = 6
3) 5 x 7 = 35
4) 12 x 17 = 204
5) 29 x 41 = 1189
6) 70 x 99 = 6930

Prenez une liste.  a*b = c ou c est un carré pyramidal et a<b
a+b = d. 2a+b = e.
d*e = f où f est le prochain carré pyramidal !

Mais ce n'est pas tout ! 

0) 0 x 0 = 0
1) 1 x 1 = 1
2) 2 x 3 = 6
3) 5 x 7 = 35
4) 12 x 17 = 204
5) 29 x 41 = 1189
6) 70 x 99 = 6930

Ligne 0 & 1: 0+1 = 1.  1-0 = 1. 1*1  = 1. Le premier carré pyramidal.
Ligne 1 & 2: 6+1 = 7. 6-1 = 5. 7*5 = 35. le troisième carré pyramidal.
ect...

Deux carré pyramidaux consécutifs a et b où a<b,
(a+b)(b-a) = un prochain carré pyramidal où son ordre est impair.
(Le 1er, le 3eme, le 5eme...)

Voilà. Ces carrés pyramidaux sont une vraie prise de tête.
Je voulais mettre à profit la communauté P2Tienne pour trouver des propriétés ou des solutions à ce problème-jeu.

Je vous remercie de m'avoir et lu, et peut être de m'aider. big_smile

Pyrofoux.


PS
: J'ai uploadé 2 fichiers qui peuvent vous aider.
CarreScript cherche des carré pyramidaux entre deux nombres.
CarreScript2 lui est plus pratique : il vous donne les listes de facteurs de carré pyramidaux, avec leurs rangs !

Attention !
Les 2 fichiers sont en .txt, changez leurs extensions en .html pour les exécuter !

http://www.prise2tete.fr/upload/pyrofou … Script.txt
&
http://www.prise2tete.fr/upload/pyrofou … cript2.txt



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 #2 - 12-04-2012 18:03:52

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Les carré pyramidaux.

Désolé, mais je n'ai rien compris.


Un promath- actif dans un forum actif

 #3 - 12-04-2012 18:51:53

FRiZMOUT
Verbicruciste binairien
Enigmes résolues : 49
Messages : 2209

Les carés pyramidaux.

[TeX]F_n = 6 \times F_{n-1}-F_{n-2}[/TeX]

 #4 - 13-04-2012 10:26:51

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

les carrés pyramifaux.

Tu trouveras la un autre problème sur les nombres triangulaires carrés avec beaucoup de réponses très claires sur le sujet.

http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=10050

 #5 - 13-04-2012 22:14:49

pyrofoux
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 57

Les carrés pyramiduax.

Un grand merci. smile

 #6 - 15-04-2012 19:11:24

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2710
Lieu: Luxembourg

Les carrés pramidaux.

Avec F(n)² = n.(n+1)/2 et F(n) = a(n).b(n), il semble bien que:
a(n) = a(n-1) + b(n-1) et b(n) = a(n) + a(n-1)
Mais je n'arrive pas non plus à le démontrer rigoureusement.

 #7 - 16-04-2012 10:09:58

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Les carrés pyarmidaux.

Ca y est, je viens de comprendre! smile


Un promath- actif dans un forum actif

 #8 - 16-04-2012 12:36:28

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2710
Lieu: Luxembourg

Les carrés pyramdiaux.

Bonjour,
Voici la curiosité de pyrofoux exprimée autrement: on a effectivement:
a(n) = a(n-1) + b(n-1) et b(n) = a(n) + a(n-1) avec:

      n             S(n)          F(n)    a(n)    b(n)
            =n(n+1)/2   =V[S(n)]
                             =a(n).b(n)

      0                 0              0        0         0
      1                 1              1        1         1
      8               36              6        2         3
    49           1 225            35        5         7
   288         41 616          204      12       17
1 681     1 413 721       1 189      29       41
9 800   48 024 900       6 930      70       99
     ...                ...            ...      ...        ...

Voici un article wikipédia sur les nombres carrés triangulaires:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_car … iangulaire
Mais je n'arrive pas à démontrer la relation entre F(n); a(n) et b(n) ci-dessus.
Bonne journée à tous.

 #9 - 19-04-2012 22:56:15

pyrofoux
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 57

les carrés pyramidauc.

Je sens que même jusqu'au lycée (car je suis encore jeune) je vais me casser les dents là-dessus. big_smile

 #10 - 20-04-2012 10:52:22

luce36
Visiteur

les caerés pyramidaux.

Bonjour,

Un 1er bnjr, car tout nouveau pour ce genre d'échanges.
il me semble que pour la 1ère partie de ta question, tu pourrais te rendre sur OEIS à A002262.
Puis tenter de résoudre la 2de partie : en ta basant sur la fonction oscillante selon la parité- imparité de n, de 0 à n'en plus finir....donc en jouant avec l'alternance 0, 1.
j'ai une sorte de formulation ( 1 peu alambiquée....et en cours de vérif.) que je pourrai avancer si elle fonctionne!
A 1 des ces 4.
Luce

 #11 - 20-04-2012 11:41:28

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Les carrés pyramidauux.

Tu veux dire que tu est au collège et tu as compris tout ca??? yikes


Un promath- actif dans un forum actif

 #12 - 20-04-2012 22:18:43

pyrofoux
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 57

es carrés pyramidaux.

A peu près bien sûr. big_smile

(L'histoire du singe et du bouton "banane", vous connaissez ? )

 #13 - 23-04-2012 10:30:05

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2710
Lieu: Luxembourg

les carrés puramidaux.

@pyrofoux
Soient les suites suivantes (n entier naturel):
a(n) = (V2 /4).[ (1+V2)^n - (1-V2)^n ]
b(n) = (1/2).[ (1+V2)^n + (1-V2)^n ]
c(n) = a(n).b(n)
(désolé, je ne sais pas écrire en beau latex)
On arrive à démontrer sans problème que:
1°) a(n+1) = a(n) + b(n)
2°) b(n+1) = a(n) + a(n+1)
3°) c(n) est la suite des nombres carrés triangulaires
CQFD (ou presque)
Bonne journée.

 #14 - 24-04-2012 11:03:41

pyrofoux
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 57

Les carrés pyramdiaux.

Okay, désolé de faire le nain culte mais le symbole ".", que signifie-t-il ?  neutral

 #15 - 24-04-2012 11:57:59

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2710
Lieu: Luxembourg

Les carrrés pyramidaux.

"." ou "x" = opération de multiplication
"V" = racine carrée et "^" = puissance
Bonne journée.

 

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