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 #1 - 10-07-2012 09:24:48

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2706
Lieu: Luxembourg

angles dividés

Enoncé initial
Il existe des triangles dont tous les angles sont des diviseurs de 360°. Combien en existe t-il ?

Edit:
Enoncé modifié
Il existe des triangles dont tous les angles sont des parties aliquotes de l'angle plan (faisant un tour complet). Combien en existe t-il ?



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 #2 - 10-07-2012 12:17:27

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

Anles divisés

Une dizaine :

120 20 40     120 15 45    120 24 36     120 30 30
90 18 72    90 30 60     90 45 45    
72 72 36    72 48 60
60 60 60

 #3 - 10-07-2012 12:37:35

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

angmes divisés

On décompose en facteur premier 360 soit :
[TeX]360=36*10=6*6*5*2=2*5*6^2[/TeX]
Les diviseurs de 360 sont donc : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360.
Après il faut trouver la sommes des trois angles qui font 180° mais ça c'est une autre affaire...
A plus
Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #4 - 10-07-2012 15:45:39

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 679

Angles diviéss

Il existe 9 triangles dont tous les angles sont des diviseurs de 360°, à savoir
[15, 45, 120]
[18, 72, 90]
[20, 40, 120]
[24, 36, 120]
[30, 30, 120]
[30, 60, 90]
[36, 72, 72]
[45, 45, 90]
[60, 60, 60]
Voilà !

 #5 - 10-07-2012 16:18:35

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Angles divsiés

Les diviseurs de 360 sont:
1-2-3-4-5-6-8-9-10-12-15-18-20-24-30-36-40-45-60-72-90-120-180-360
Dans un triangle la somme des angles est égale à 180. Donc il y a les triangles dont les angles sont:
120-45-15
120-40-20
120-36-24
120-30-30
90-72-18
90-60-30
90-45-45
72-72-36
60-60-60

Donc il existe 9 triangles différents

 #6 - 10-07-2012 18:32:29

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Anglles divisés

J'en ai 9 vrais (non plats):
120 40 20
120 45 15
120 36 24
120 30 30
90 45 45
90 60 30
90 72 18
72 72 36
60 60 60

 #7 - 10-07-2012 20:01:35

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Anglles divisés

Beaucoup:)
Non, je vais réfléchir à la question


Un promath- actif dans un forum actif

 #8 - 11-07-2012 12:50:43

cyprino
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5

Angles diisés

Ah oui, c'est vrai, il y a un dixième triangle ( TC/3, TC/7 et TC/42) :

TRIANGLE    1 : 120.000  51.429   8.571 ->   3   7  42.

TRIANGLE    2 : 120.000  45.000  15.000 ->   3   8  24.
TRIANGLE    3 : 120.000  40.000  20.000 ->   3   9  18.
TRIANGLE    4 : 120.000  36.000  24.000 ->   3  10  15.
TRIANGLE    5 : 120.000  30.000  30.000 ->   3  12  12.
TRIANGLE    6 :  90.000  72.000  18.000 ->   4   5  20.
TRIANGLE    7 :  90.000  60.000  30.000 ->   4   6  12.
TRIANGLE    8 :  90.000  45.000  45.000 ->   4   8   8.
TRIANGLE    9 :  72.000  72.000  36.000 ->   5   5  10.
TRIANGLE   10 :  60.000  60.000  60.000 ->   6   6   6.

J'aime bien cet énigme.



Ancienne réponse :

TRIANGLE    1 :  15  45 120.
TRIANGLE    2 :  18  72  90.
TRIANGLE    3 :  20  40 120.
TRIANGLE    4 :  24  36 120.
TRIANGLE    5 :  30  30 120.
TRIANGLE    6 :  30  60  90.
TRIANGLE    7 :  36  72  72.
TRIANGLE    8 :  45  45  90.
TRIANGLE    9 :  60  60  60.

 #9 - 11-07-2012 13:43:16

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

angles dividés

Techniquement, une infinité, mais ce n'est probablement pas la réponse que tu attends.

Un petit code (fait en deux minutes) m'en donne 9, avec les angles suivants :

15          45         120
18          72          90
20          40         120
24          36         120
30          30         120
30          60          90
36          72          72
45          45          90
60          60          60

Problème : la case réponse valide 10, donc je me demande ce que j'ai raté...

Autre approche. Les diviseurs de 360, différents de 180 et 360 bien sûr, sont 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120. Je prends trois de ces diviseurs a, b et c, tels que a<=b<=c, et dont la somme fait 180. Résultat obtenu en faisant boucler ça ? Exactement le même. Et toujours 9 solutions.

Il en existe vraiment une dixième ?..


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #10 - 11-07-2012 14:20:28

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1744

angled divisés

Bonjour

J'en trouve 9 pour l'instant (hors angles à 0)

120/45/15
120/40/20
120/36/24
120/30/30
90/72/18
90/60/30
90/45/45
72/72/36
60/60/60

A compléter car 9 ne valide pas la case réponse,

ou alors on considère que 120/15/45 n'est pas le même triangle que 120/45/15 ce qui porterait le total à 14, mais ce n'est pas non plus la réponse attendue ...

Je dois passer à côté de qq chose ...

Bonne journée


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #11 - 11-07-2012 15:53:22

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2706
Lieu: Luxembourg

anglzs divisés

Bonjour à tous,
Curieusement (et je présens déjà une polémique à ce sujet), vous avez tous trouvé le même nombre de triangles (pour gwen, j'ai enlevé celui avec un angle de 48°: cette petite coquille corrigée le ramène aussi au même nombre).
Et pourtant, je trouve un triangle de plus, possédant deux angles distincts qui, bien que divisant 360° en un nombre entier d'angles, ne s'expriment pas en nombre entier de degrés.
Je réfléchis encore un peu si ma solution répond réellement à l'énoncé. Pour info, je n'ai pas cité le nombre d'angles en question pour éviter de le révéler à ceux qui chercheraient encore.
A+
Frank

 #12 - 11-07-2012 16:47:13

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 679

Angles diviisés

Si l'on en croit wikipedia, un diviseur d'un nombre entier n est un entier m, tel que n/m est encore un entier.

 #13 - 11-07-2012 17:26:14

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2706
Lieu: Luxembourg

angles dovisés

@masab
Un diviseur est donc forcément un entier et tu as "vocabulairement" raison.
Suivant mon idée, j'aurais dû indiquer un angle plan (faisant un tour complet) au lieu d'écrire 360 degrés (ou 400 grades ou 2.pi radians): je voulais que ce tour complet
soit divisé en un nombre entier (dont l'angle résultant exprimé en degrés ne serait donc pas forcément un entier). Je ne sais pas si je suis vraiment clair.
Edit: j'ai modifié l'énoncé.

 #14 - 11-07-2012 19:01:20

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

angles diviséq

Perso, je ne saisis pas la nuance....

 #15 - 11-07-2012 19:26:12

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

Angles divisé

Oups ! Qu'est-ce qu'il fait là ce 48 ? La prochaine fois je prendrai un tableur... lol

Tu parles d'un triangle plat pour le dixième en considérant 360 au lieu de 0° ?
C'est discutable...

 #16 - 11-07-2012 20:16:37

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

Anggles divisés

Non, je n'ai pas de triangles "dégénérés" (comme un triangle plat) dans ma liste.
Mon triangle "mystère" pourrait avoir des angles multiples de TC/17, de TC/13 ou de TC/11 par exemple (TC étant un "tour complet"). Je divise mon tour complet par un nombre qui ne divise pas 360 ou 400 (et encore moins 2.pi lol). Chaque angle de ce triangle pourrait s'écrire TC/n (n étant un entier), mais dont la mesure en degrés ou en radians n'est pas un entier.
Sincèrement, je n'avais pas prévu ce "mystère" big_smile, qui n'en est d'ailleurs pas un si on a la solution sous les yeux.
A+

 #17 - 11-07-2012 20:40:41

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

angles dividés

Franky1103 a écrit:

Curieusement...
Je trouve un triangle de plus, possédant deux angles distincts qui, bien que divisant 360° en un nombre entier d'angles, ne s'expriment pas en nombre entier de degrés.

Donc qui ne sont pas des diviseurs.
Curieusement, la majorité a eu raison cette fois-ci lol

Si on part sur les aliquotes, la question devient "trouver trois fractions de la forme 1/a dont la somme fait 1/2", et il y en a, euh... Un certain nombre...

1/3+1/7+1/42
1/3+1/8+1/24
1/3+1/9+1/18
1/3+1/10+1/15
1/3+1/12+1/12
1/4+1/5+1/20
1/4+1/6+1/12
1/4+1/8+1/8
1/5+1/5+1/10
1/6+1/6+1/6

Et voilà les dix solutions. Multiplier par 360 pour trouver les vrais angles, bien sûr smile La dixième correspond à la première ligne de cette liste, avec un angle de 120° et les deux autres valant approximativement 51,43° et 8,57°.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #18 - 11-07-2012 21:02:30

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Anngles divisés

Sinon, il y a aussi des sommes de fractions ne passant pas par une écriture décimale  du nombre :

360/42 + 360/7 + 360/3 par exemple C'est vrai que aliquote de 360° est mieux que diviseur de 360 , ca n'exclut pas les résultats décimaux.

 #19 - 11-07-2012 23:05:26

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

zngles divisés

Pas mal de participation cette fois: merci à tous.
@ mathias & gwen: ben, le voilà, le dernier triangle auquel je pensais
@ masab, gabrielduflot, cyprino & nickogecko: si on remplace diviseurs par aliquotes (voir énoncé modifié), il y a un triangle supplémentaire qui traîne
@ nodgim: il semble bien qu'il y ait une nuance entre diviseurs et aliquotes (si tant est
que la majorité l'accepte)
@ shadock & promath: alors, vous la crachez votre valda lol

 #20 - 12-07-2012 00:43:37

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

Angles divisé

Ca veut dire quoi "un angle aliquote" je connais aliquote mais un angle... jamais entendu parler hmm


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #21 - 12-07-2012 04:11:56

dhrm77
L'exilé
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Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

AAngles divisés

un peu en retard:

liste des triangles dont les angles divisent 360 degrés:
15 45 120
18 72 90
20 40 120
24 36 120
30 30 120
30 60 90
36 72 72
45 45 90
60 60 60


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #22 - 12-07-2012 11:32:38

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 679

Angles dvisés

Avec l'énoncé modifié, les angles sont de la forme
A=360/p, B=360/q, C=360/r avec A+B+C = 180.
On est ramené à chercher p,q,r entiers >0 tels que 1/p + 1/q + 1/r =1/2

On trouve un 10ième triangle en plus : [120, 360/7, 60/7]
Voilà !

 #23 - 12-07-2012 12:20:40

cyprino
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5

Angles diisés

Ah oui, c'est vrai, il y a un dixième triangle ( TC/3, TC/7 et TC/42) :

TRIANGLE    1 : 120.000  51.429   8.571 ->   3   7  42.

TRIANGLE    2 : 120.000  45.000  15.000 ->   3   8  24.
TRIANGLE    3 : 120.000  40.000  20.000 ->   3   9  18.
TRIANGLE    4 : 120.000  36.000  24.000 ->   3  10  15.
TRIANGLE    5 : 120.000  30.000  30.000 ->   3  12  12.
TRIANGLE    6 :  90.000  72.000  18.000 ->   4   5  20.
TRIANGLE    7 :  90.000  60.000  30.000 ->   4   6  12.
TRIANGLE    8 :  90.000  45.000  45.000 ->   4   8   8.
TRIANGLE    9 :  72.000  72.000  36.000 ->   5   5  10.
TRIANGLE   10 :  60.000  60.000  60.000 ->   6   6   6.

J'aime bien cet énigme.

 #24 - 12-07-2012 12:28:50

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 639

Angls divisés

1/3;1/7;1/42
1/3;1/8;1/24
1/3;1/9;1/18
1/3;1/10;1/15
1/3;1/12;1/12
1/4;1/5;1/20
1/4;1/6;1/12
1/4;1/8;1/8
1/5;1/5;1/10

Je n'en ai que 9

 #25 - 14-07-2012 00:00:47

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2706
Lieu: Luxembourg

Angles diviisés

Merci à tous pour votre participation et voici, en cas de besoin, la solution détaillée:

Désignons par: a = 360 / x; b = 360 / y; c = 360 / z, les angles du triangle.
Comme: a + b + c = 180, il vient: 1/x + 1/y + 1/z = 1/2, équation à trois inconnues entières, dont aucune ne peut être inférieure ou égale à 2.
Etant donné la symétrie de l’équation, on peut supposer, sans perte de généralisation que: x <= y <= z
Remarquons tout de suite que x est obligatoirement inférieur ou égal à 6; en effet, dans le cas contraire, on aurait x > 6 et 1/2 = 1/x + 1/y + 1/z > 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2, ce qui est absurde.
Examinons les différents cas:
x = 3: on a alors 1/y + 1/z = 1/6, et: 7 < y <= 12
   si: y = 7 alors: z = 42
   si: y = 8 alors: z = 24
   si: y = 9 alors: z = 18
   si: y = 10 alors: z = 15
   si: y = 11 alors: z = 5/66 (solution à rejeter)
   si: y = 12 alors: z = 12
x = 4: on a alors 1/y + 1/z = 1/4, et: 4 < y <= 8
   si: y = 5 alors: z = 20
   si: y = 6 alors: z = 12
   si: y = 7 alors: z = 3/28 (solution à rejeter)
   si: y = 8 alors: z = 8
x = 5: on a alors 1/y + 1/z = 3/10, et: 4 < y <= 6
   si: y = 5 alors: z = 10
   si: y = 6 alors: z = 2/15 (solution à rejeter)
x = 6: on a alors 1/y + 1/z = 1/3, et: 5 < y <= 6
   si: y = 6 alors: z = 6

Résumé des solutions:
1°) x = 3; y = 7; z = 42; a = 120°; b = 51°3/7; c = 8°4/7: (le triangle "mystère")
2°) x = 3; y = 8; z = 24; a = 120°; b = 45°; c = 15°
3°) x = 3; y = 9; z = 18; a = 120°; b = 40°; c = 20°
4°) x = 3; y = 10; z = 15; a = 120°; b = 36°; c = 24°
5°) x = 3; y = 12; z = 12; a = 120°; b = 30°; c = 30°
6°) x = 4; y = 5; z = 20; a = 90°; b = 72°; c = 18°
7°) x = 4; y = 6; z = 12; a = 90°; b = 60°; c = 30°
8°) x = 4; y = 8; z = 8; a = 90°; b = 45°; c = 45°
9°) x = 5; y = 5; z = 10; a = 72°; b = 72°; c = 36°
10°) x = 6; y = 6; z = 6; a = 60°; b = 60°; c = 60°

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