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 #1 - 09-06-2018 19:46:03

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

gâyeau 152

Il m'agace ce pâtissier sad

Il a une boîte cubique qu'il oriente un peu n'importe comment .

Il affirme que les sommets sont à 10 , 20  , 30 , 40 , 50 , 60 , 70 et 80 cm du sol .

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-gateau152.png

C'est possible ce truc ??????

Amusez-vous bien smile

Vasimolo



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 #2 - 10-06-2018 12:39:59

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 216

Gtâeau 152

Bonjour.

Ce cube doit logiquement posséder une arrête de longueur :
[TeX]a = 10.\sqrt{21}[/TeX]

 #3 - 10-06-2018 15:01:08

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 749

Gâteau 1552

Salut Vasimolo,

oui, c'est possible (et c'est joli).

Voici les coordonnées de 8 sommets qui fonctionnent :
A(0 0 10)
B(20V5 0 20)
C(18V5 4V105 40)
D(-2V5 4V105 30)
E(-4V5 -2V105 50)
F(16V5 -2V105 60)
G(14V5 2V105 80)
H(-6V5 2V105 70)

J'ai trouvé ça analytiquement : après avoir posé A(0 0 10), on pose B(x 0 20).

L'angle droit en BAD, la relation AB=AD et zD=30 permettent d'exprimer xD et yD en fonction de x.

On fait pareil avec E, et on tombe sur une équation bicarrée qui permet de trouver x=20V5. Tout le reste s'en déduit.

 #4 - 10-06-2018 17:41:48

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

Gâteau 15

Bonnes réponses de Unecoudée et Ebichu

C'est un peu calculatoire mais le jeu en vaut la chandelle smile

Vasimolo

 #5 - 10-06-2018 19:38:11

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3533

âGteau 152

Tiens ! Ma réponse de ce matin n'est pas passée....

Je disais que là j'assurais le service minimum....



La réponse est oui, et ça se montre sans calcul.

Tout d'abord, pas de  changement si au lieu de 10, 20,....80, on prend 0,1,2,...7. C'est à dire si le point le plus bas touche le sol plan et qu'on divise les valeurs par 10.

On regarde seulement la base du cube, le carré du bas. On suppose le sommet diagonalement opposé au sommet le plus bas à la hauteur 3, supposition justifiée à partir d'une dimension minimale du coté du cube. Si les 2 sommets de la seconde diagonale sont à la même hauteur, alors ils sont à 1,5. Il est évident qu'en pivotant ce carré selon l'axe 1ère diagonale, les 2 sommets de la 2ème diagonale vont voir leur hauteur respective, du fait de la symétrie, varier de la même valeur, l'un vers le haut, l'autre vers le bas. Aussi, on ne peut manquer d'obtenir 1 pour l'un et 2 pour l'autre (1,5 + - 0.5). 

Voila donc déjà les valeurs 1,2 et 3 atteintes. Celles ci peuvent être atteintes pour n'importe quelle longueur de coté du cube, à condition bien sûr d'un minimum. Pour un coté de longueur 3, ça marche déjà, avec la 1ère diagonale de la base inclinée à 45°. Bien entendu, pour cette valeur, le sommet le plus bas du carré du haut est inférieur à la hauteur 4. Or, on a dit que, au dela de ce minimum, on savait obtenir 1,2, et 3 pour les 3 sommets les plus bas. On peut donc obtenir toutes les valeurs continues de la hauteur du sommet le plus bas du carré du haut à partir d'une valeur inférieure à 3. On peut donc obtenir 4. Et ensuite, les 2 carrés étant inclinés de la même façon, on obtient immédiatement les valeurs 5,6 et 7 pour les 3 autres sommets.

 #6 - 11-06-2018 09:14:05

Bastidol
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 75

Gâteau 15

Bonjour,smile
Soit C le coté de la boite et a et b les angles d'inclinaison/horizontale.
On peut ecrire que c = 20/sin(a) = 10/sin(b) .
Il suffit que le coin  le plus bas soit à 10cm du sol que au moins un des angles soit inférieur à 30 degrés et que le coté soit > à 10 cm.
@+

 #7 - 11-06-2018 18:36:32

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

Gâteau 15

@Nodgim : oui , ça marche , tu as essayé de trouver la valeur de l'arête ?
@Bastidol : c'est un bon début mais avec c quelconque les quatre sommets restants risquent de ne pas avoir la bonne altitude .

Vasimolo

 #8 - 11-06-2018 22:42:06

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2883
Lieu: Luxembourg

Gâteeau 152

Les coins diagonalement opposés du carré inférieur du cube sont respectivement aux altitudes 10 + 40 et 20 + 30; ceux du carré supérieur à 50 + 80 et 60 + 70.
Dans le sens d'un des deux rectangles diagonales c x cV2, les arêtes verticales du cube se décalent de (40-10)/V2 = 15V2; dans l'autre de (30-20)/V2 = 5V2
Au final, ce décalage est de: V[(15V2)²+(5V2)²] = 10V5
L'arête c du cube est donc telle que: V(c²-500) = 40, soit c = 10V21, sans garantie smile

 #9 - 12-06-2018 00:35:05

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 378

hâteau 152

Dans le repère orthonormé (A,B,D,E), on construit le cube ABCDEFGH.
Dans ce repère, un plan P quelconque peut avoir une équation de la forme ax+by+cz+d=0, avec a²+b²+c²=1 et d>=0.
Soit d(M,P) la distance d'un point M(xM,yM,zM) à P, on a d(M,P)=|axM+byM+czM+d|/rac(a²+b²+c²)=|axM+byM+czM+d|.

En prenant a=d, b=2d et c=4d, on a :
d(A,P)=|d|=d
d(B,P)=|a+d|=2d
d(C,P)=|a+b+d|=4d
d(D,P)=|a+d|=3d
d(E,P)=|a+c|=5d
d(F,P)=|a+c+d|=6d
d(G,P)=|a+b+c+d|=8d
et d(H,P)=|a+c+d|=7d

On a dans ce cas a²+b²+c²=d²+(2d)²+(4d)²=21d², donc d=1/rac(21) en unité de longueur du repère, c'est-à-dire la longueur L de l'arête du cube.
On veut d=10cm, soit L/rac(21)=10cm. D'où L=10rac(21) ~ 45,8cm

Donc en prenant un cube d'arête L=10rac(21) et en l'orientant "comme il faut", on peut avoir les 8 sommets à des altitudes régulièrement espacées de 10 à 80cm.
Merci pour ce problème sympa.

 #10 - 12-06-2018 08:23:14

Bastidol
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 75

Gâtea u152

Bonjour,

......et que  le sinus d'un angle soit le double de celui de l'autre.
Si l'arête  avait été donnée on aurait pu faire le calcul .
@+

 #11 - 12-06-2018 08:57:43

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3533

Gâteau 512

Le coté du cube vaut 10V21 si je ne me suis pas trompé. Calcul relativement simple si on a posé les 3 bonnes équations de départ....

 #12 - 12-06-2018 11:14:41

LeJeu
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 19
Messages : 17

gâtrau 152

Bonjour,

Mon premier gâteau !

Je me propose de montrer sans calcul que l'on peut arriver à orienter un cube dans l'espace , tel que tous sommets soient à des hauteurs 0, a, 2a, .....7a

Je commence par poser le cube sur le plan et je trace sur la face du dessus ; deux  segments, parallèles passant par un sommet et le milieu d'un coté

http://www.prise2tete.fr/upload/LeJeu-Cube_1.jpg

Je trace un axe parallèle à ces segments , et je fais tourner le cube autour cet axe

http://www.prise2tete.fr/upload/LeJeu-Cube_2.jpg

Par construction, la hauteur des bandes jaunes et vertes sont égales (ce sont  les trois  différences de hauteur entre les 4 sommets de la face du dessus)

La hauteur de la bande rouge ( la différence de hauteur entre le point le plus bas de la face du haut et le point le plus haut de la face du bas) , varie entre

Zero :
http://www.prise2tete.fr/upload/LeJeu-Cube_3.jpg

et la hauteur du cube
http://www.prise2tete.fr/upload/LeJeu-Cube_4.jpg

Donc il existe une position intermédiaire où la bande rouge est de même hauteur  que les bandes jaunes et vertes

Pour donner la solution cherchée :

http://www.prise2tete.fr/upload/LeJeu-Cube_5.jpg


PS - on peut tracer les trois bandes sur la face du bas à l'identique

 #13 - 12-06-2018 15:24:44

enigmatus
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 513

Gâteua 152

Bonjour,
Ton pâtissier a raison.

En posant :
sq5 = sqrt(5); sq21=sqrt(21)

Voici par exemple les coordonnées des sommets d'un cube qui répond au problème, de côté 10*sq21 = 45.83 cm.

Code:

         X            Y    Z
         0            0   10
    20*sq5            0   20
    -2*sq5   4*sq5*sq21   30
    18*sq5   4*sq5*sq21   40
    -4*sq5  -2*sq5*sq21   50
    16*sq5  -2*sq5*sq21   60
    -6*sq5   2*sq5*sq21   70
    14*sq5   2*sq5*sq21   80

Code:

         X          Y          Z
  0.000000   0.000000  10.000000
 44.721360   0.000000  20.000000
 -4.472136  40.987803  30.000000
 40.249224  40.987803  40.000000
 -8.944272 -20.493902  50.000000
 35.777088 -20.493902  60.000000
-13.416408  20.493902  70.000000
 31.304952  20.493902  80.000000

 #14 - 12-06-2018 22:59:59

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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hâteau 152

@Dylasse : oui .
@Bastidol : Tu dois pouvoir trouver l'arête .
@Nodgim : oui .
@LeJeu : Je n'ai pas compris autour de quel axe tu tournes sad
@Enigmatus : oui , les calculs peuvent être faits aisément à la main .

Bon courage à ceux qui cherchent encore smile

Vasimolo

 #15 - 13-06-2018 08:59:07

Bastidol
Passionné de Prise2Tete
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Gâteau 512

Bonjour,

Oui en effet.
arête = 40/cos(a) = 20 /sin(a)  =  44,7 Cm
@+

 #16 - 13-06-2018 14:15:38

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâteau 1522

Non Bastidol , il faut creuser un peu plus smile

Vasimolo

 #17 - 13-06-2018 15:47:22

LeJeu
Habitué de Prise2Tete
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Messages : 17

Gââteau 152

Bonjour Vasimolo,

Je vois que me dessins ne font pas impression .... du coup sur la même idée , je me lance dans le calcul du coté du cube, quitte à être privé de gâteau , autant prendre des risques :-)

pour un cube de coté 1:

Je reprends ma vue de dessus et dessine l'axe Delta de rotation
http://www.prise2tete.fr/upload/LeJeu-Cube_6.jpg


Et j'exprime qu’après rotation autour de Delta  la hauteur du  point C doit arriver au trois quart de la hauteur du point E

http://www.prise2tete.fr/upload/LeJeu-Cube_7.jpg

Soit L* sin(a) = 3/4 * cos(a)
avec L = 3/racine(5)


soit tan(a) =racine(5) /4
et donc H = cos(a) = 4 /racine(21)


Dans le problème cette hauteur vaut 40 cm ,
le coté du cube est donc 10 Racine(21)

 #18 - 13-06-2018 17:10:34

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Gâteau 15

Si j'ai bien compris , on tourne autour d'un axe [latex]\Delta[/latex] contenu dans le plan de la face supérieure . Je ne pense pas que ça marche , en tout cas la valeur que tu donnes n'est pas la bonne smile

Pas facile de suivre les déplacements des sommets d'un cube dans l'espace smile

Vasimolo

 #19 - 13-06-2018 18:05:06

LeJeu
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 19
Messages : 17

âteau 152

Merci de ta relecture, Vasimolo, je retourne à mes fourneaux donc ....

 #20 - 14-06-2018 07:44:07

LeJeu
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 19
Messages : 17

Gâteeau 152

dernière fournée....
après relecture j'ai corrigé le calcul du cos à partir de la tg .... ( le 41 est devenu 21)

Mais j'imagine que je dois être à coté de la plaque car tu as l'air de douter fortement de la méthode utilisée ....

 #21 - 14-06-2018 08:57:31

nodgim
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Gâteu 152

On peut trouver des cubes à arête entière dont toutes les hauteurs sont entières.

Exemple : un cube d'arête 18 avec les hauteurs 0, 2, 8, 10 , 16, 18, 24, 26.

 #22 - 14-06-2018 18:25:15

Vasimolo
Le pâtissier
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gâtezu 152

@LeJeu : oui c'est bon smile

@Nodgim : oui , c'est facile à faire par exemple avec un triplet pythagoricien abc , un entier d et une petite bascule du plan vert .

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-gateau152tousentiers.png

Vasimolo

 #23 - 17-06-2018 12:00:33

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâtaeu 152

Un grand merci à tous les participants smile

Le jour je ne m'émerveillerai plus devant ces petits problèmes , je laisserai tomber les maths et tout le reste .

Personnellement j'étais passé par les coordonnées , ce n'est pas très élégant mais très efficace .

A bientôt pour un prochain gâteau smile

Vasimolo

 #24 - 17-06-2018 18:21:12

nodgim
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Gâteau 125

Une autre approche que les coordonnées :
A = sin a x V2, A est le sommet le plus haut du carré du bas. (A= 3 )
B = cos a sin b x V2/2 est un décalage par rapport à A/2. (B = 1/2 )
C = cos a cos b x,  C étant le point le plus bas du carré du haut. (C = 4 ) 

x étant la longueur de l'arête.

On trouve facilement que x = V((A² + 4B² + 2C²)/2)

Et on peut aussi facilement trouver des valeurs de x entières avec les 8 hauteurs de sommets entières et distinctes.

J'espère, Vasimolo, que tu te ne lasseras jamais de ces petits problèmes, ce serait dommage.

 

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