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 #1 - 26-12-2014 19:07:05

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Gâteau 6

Nous avons fêté Noël avec notre pâtissier smile

Pour l'occasion il a préparé deux gâteaux , un gros pour les enfants et un petit pour nous et nos épouses .

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-les2gateaux.png
Mais avec lui , rien n'est jamais simple lol

Les deux gâteaux triangulaires sont de forme semblable mais pas de même taille . Les côtés des deux gâteaux sont des nombres entiers de centimètres et ne diffèrent que pour une valeur .

Pour confectionner la bordure des gâteaux il a utilisé un ruban de 4m qu'il a découpé de la façon suivante :
http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-Bande.png

A la fin du repas il me donne le reste du ruban ( un petit morceau de moins de 10 cm ) et il me demande de retrouver la taille de ses gâteaux yikes

Il m'énerve smile

Et vous ?

Vasimolo



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 #2 - 26-12-2014 20:40:32

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Gâtea 86

19, 38, 76 et le double :  38, 76, 152 ce qui donne 399 cm

 #3 - 26-12-2014 20:41:31

enigmatus
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Enigmes résolues : 0
Messages : 401

gâreau 86

Bonsoir,
J'ai trouvé 2 solutions (valeurs en cm) :
a=19 b=38 c=76 d=152 reste=1
a=27 b=45 c=75 d=125 reste=8


Ajouté :
Si on accepte que le gâteau de gauche puisse être le plus grand, on a en plus
a=125 b=75 c=45 d=27 reste=8
a=152 b=76 c=38 d=19 reste=1


Édité : Si je tiens compte de la remarque (tout à fait justifiée) de Vasimolo en #4, il ne me reste plus aucune solution.

 #4 - 26-12-2014 21:11:53

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Gâtea 86

Ne pas oublier qu'il existe une inégalité dite "triangulaire" smile

Vasimolo

 #5 - 26-12-2014 21:24:21

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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gâreau 86

oups oui 19+38 c'est dur d'avoir un triangle à 76  lol

 #6 - 26-12-2014 23:15:41

golgot59
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1374
Lieu: Coutiches

Gâteua 86

Après de vains efforts de résolution "carrée" (d'un polynôme de degré 3), la meilleure solution a été une bête recherche sur excel par tatonnement, qui me donne :
a=27; b=45; c=75 et d=125, avec un rapport de 5/3 pour une longueur totale de 392 cm, et donc un reste de 8 cm.

Bien prise de tête celle-ci ! J'attends avec impatience une réponse argumentée ^^

 #7 - 27-12-2014 09:31:34

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Gâteau 8

Deux solutions qui ne correspondent pas tout à fait à l'énoncé :

Deux triangles équilatéraux de 65 ou 66 cm de côté, il n'a qu'à faire celui des parents plus épais lol

Sinon , on est limités par un rapport de (1+rac(5))/2 , donc pas de solution entière.

 #8 - 27-12-2014 10:05:06

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
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hâteau 86

salut.

j'ai une solution avec un reste de ruban de 20 cm (moins de 10 je ne vois pas)

les 2 triangles sont semblables et tous leurs côtés sont entiers .

appelons n le plus petit côté . alors :

n.(1 + 2q + 2q^2 + q^3) = 390+u  avec   q rationnel et 1<q<(1+V5)/2 et enfin 0<u<10

q = a/b alors  n est divisible par  b^3

avec n=32 et q=3/2 , j'ai les triangles 32 , 48 , 72  et 48 , 72 & 108  dont la somme des côtés vaut 380.

je continue à chercher.

 #9 - 27-12-2014 10:18:21

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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âteau 86

Si on laisse de côté la longueur du reste de ruban , il n'y a que cinq paires de gâteaux qui satisfont aux exigences du pâtissier . Il n'y a plus qu'à calculer le reste pour chacune d'entre elles .

C'est bien plus simple et plus rapide que ça en a l'air smile

Vasimolo

PS : Gwen tu as la bonne borne du rapport entre les deux gâteaux , n'oublie pas que ce rapport doit être rationnel et supérieur à 1 .
PPS : Unecoudée : il te reste une paire de gâteau à trouver .

 #10 - 27-12-2014 10:40:58

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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hâteau 86

Sauf erreur, j'en trouve 13 et aucune ne correspond à l'énoncé.

64    96    144    216    760
56    84    126    189    665
48    72    108    162    570
64    80    100    125    549
54    72    96    128    518
40    60    90    135    475
32    48    72    108    380
24    36    54    81    285
27    36    48    64    259
16    24    36    54    190
8    12    18    27    95
2    4    8    16    42
1    2    4    8    21

 #11 - 27-12-2014 11:13:54

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 200

Gâteau 866

j'ai une somme de 392 mais pas de triangle constructible  avec:  27 , 45 , 75 & 125 et le rapport:  5/3 > nb d'or 1.6180339...

 #12 - 27-12-2014 11:28:20

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

gâtezu 86

@Gwen : je ne comprends pas à quoi correspondent les différentes valeurs de ta table sad

@Tous : ceux qui ont suivi du coin de l’œil les péripéties de mon pâtissier savent que le mensonge ne lui fait pas peur mais qu'alors il faut lui faire entendre raison autrement qu'avec un argument du style : "j'ai tout essayé et il n'y a rien qui marche" lollollollol

Vasimolo

 #13 - 27-12-2014 12:44:13

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Messages : 5,474E+3

gâtzau 86

Bah ce sont a, b, c, d et la longueur totale.

 #14 - 27-12-2014 12:48:34

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Gteau 86

Tu me montres un triangle 1 2 4 wink

Vasimolo

 #15 - 27-12-2014 13:35:38

nodgim
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Messages : 2956

gâteay 86

@Tous : ceux qui ont suivi du coin de l’œil les péripéties de mon pâtissier savent que le mensonge ne lui fait pas peur mais qu'alors il faut lui faire entendre raison autrement qu'avec un argument du style : "j'ai tout essayé et il n'y a rien qui marche"

Bon, je préfère ça....
L'équation de toutes lee données du problème se résume par
390<a(1+2k+2k²+k^3)<400 avec k<nb d'or et a,ka,ka²,k^3*a entiers.

On pose k=p/q. il faut a=a'q^3.
390<a'(q^3+2pq²+2p²q+p^3) avec p>q
Pour p=q, limite inf----->6q^3<400  donc q<5

ça ne marche pas avec q=2 (3/2) q=3(4/3) q=4(5/4).
 
il n'y a pas de solution.

 #16 - 27-12-2014 17:13:56

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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âGteau 86

C'est ça Nodgim smile

Avec une minoration plus fine tu peux même te limiter à q<4 .

Vasimolo

 #17 - 27-12-2014 18:22:21

Jackv
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Lieu: 94110

Gâteu 86

Après une petite réflexion, on s'aperçoit que les relations entre les cotés des triangles imposent que :
     A soit de la forme i*n^3,
     B de la forme i*n^2*m,
     C de la forme i*n*m^2,
et   D de la forme i*m^3.

Il ne reste plus beaucoup de solutions à tester pour trouver i, n et m.
1er essai :
Avec i= 1, n= 3 et m = 5, on obtient:
   A = 27, B = 45, C= 75 et D = 125, soit L = 392 cm.
mais on ne respecte pas l'inégalité triangulaire : A+B = 72 < C  sad

2ème essai :
Avec i= 4, n= 2 et m = 3, on obtient:
   A = 32, B = 48, C= 72 et D = 108, soit L = 380 cm.
L'inégalité triangulaire est bien respectée mais il reste plus de 10 cm ... sad sad

3ème essai :
Avec i= 2, n= 3 et m = 4, on obtient:
   A = 54, B = 72, C= 96 et D = 128, soit L = 518 cm.
L'inégalité triangulaire est bien respectée mais les 4 m de ruban sont loin de suffire ... sad sad sad

Ton pâtissier se serait-il moqué de toi tongue , ou bien serais-je passé à coté de quelque chose ??? hmm

 #18 - 27-12-2014 18:47:44

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâetau 86

Oui et non Jack smile

Je donne un petit indice pour ceux qui n'arrivent pas à démarrer ( les autres vont râler car ils savent ça depuis longtemps , mais bon , ils se débrouilleront bien tout seuls smile )

Les côtés des deux triangles sont : a ; ak ; ak² et ak ; ak² ; ak³ et k est loin d'être quelconque .

Amusez-vous bien smile

Vasimolo

 #19 - 27-12-2014 19:14:45

Promath-
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Gâteaau 86

Est-ce qu'il existe une solution?


Un promath- actif dans un forum actif

 #20 - 27-12-2014 19:16:04

Promath-
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Au fond de l'univers

Gâteau 8

C'est pas plutôt ak^3?


Un promath- actif dans un forum actif

 #21 - 27-12-2014 19:20:12

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
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fâteau 86

A cause de l'inégalité triangulaire, je n'ai trouvé que les triangles équilatéraux de côtés 65 et 66.

 #22 - 27-12-2014 19:23:27

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâtea 86

@Promath : j'ai corrigé ( je me suis embêté avec les caractères spéciaux de windows et j'ai mélangé a et k smile )
@Halloduda : non smile

Vasimolo

 #23 - 27-12-2014 19:46:52

Promath-
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

gâteay 86

Est-ce qu'il existe une solution?

Soit k=b/a=c/b=d/c

On majore k.
Selon l'inégalité triangulaire, c<a+b donc k²a<ka+a donc k<PHI (trivial)

Selon la découpe, a+2ka+2k²a+k^3<400 mais c'est en même temps supérieur à 390. On simplifie tout ça!
390<a(k+1)*(k²+k+1)<400
On note k=p/q irréductible. Donc q^3 divise a, on note d'ailleurs a=q^3*m avec m entier aussi.
Ainsi 390<m(p+q)(p+q+1)(p+q-1)<400 après une très lourde simplification

On cherche un nombre compris entre 390 et 400 multiple de 6.

396 est le seul.
396=2²*3²*11
On fait ressortir le m=11 car 10 et 13 ne sont pas atteignables par les facteurs premiers de 396
d'où (p+q)(p+q-1)(p+q+1)=36 et on voit très vite que c'est impossible.

Donc il n'existe aucune solution


Edit: d'ailleurs c'est facile à vérifier, on a soit k=3/2 ce qui débouche sur 4 cas avec a=8m,m<->[1;4] ou k=4/3 avec a=27 mais les cas ne marchent pas


Un promath- actif dans un forum actif

 #24 - 27-12-2014 21:21:05

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Gtâeau 86

Oui Promath- smile

Vasimolo

 #25 - 27-12-2014 21:36:24

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

gâtzau 86

Oui c'est bon ou oui il y a une solution?


Un promath- actif dans un forum actif

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